GABEsferas2013

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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU 
 
www.professorwaltertadeu.mat.br 
 
 
Esferas – 2013 - GABARITO 
1. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm 
do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência é: 
 
a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cm 
 
Solução. Utilizando a Relação de Pitágoras, temos: 
 
( ) cm525r144169r12r13 2222 ==−=+= . 
 
 
 
 
 
2. Uma esfera cuja superfície tem área igual a 676cm2 é cortada por um plano situado a uma distância de 
12cm do seu centro, determinando um círculo. Nessas condições, determine: 
 
a) a área deste círculo; 
 
Solução. A área da superfície da esfera é calculada com a fórmula A = 4R2, onde R é o raio da esfera. 
 
O raio do círculo é r. 
 
( )
222
2222
222
2
cm25)5.(r.)círculo(A)iii
cm525r144169r12r13)ii
cm13R169R
4
676
R676R4
676)esfera(A
R4)esfera(A
)i
===
==−=+=
==


==



=
=
. 
 
b) o comprimento da circunferência máxima dessa esfera; 
 
Solução. A circunferência máxima é a que possui o raio com mesma medida do raio da esfera. 
 
cm26)13(2R2)máximo(C === . 
 
c) o volume do cone reto cujo vértice é o centro da esfera e a base é o círculo determinado pela intersecção 
do plano com a esfera. 
 
Solução. O cone possui como base o círculo determinado pelo plano secante e 
como altura a distância do plano secante ao centro da esfera. 
 
 
3
2
cm100)4).(25(
3
)12.()5(
)cone(V ==

= . 
 
 
 
3. Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construção na forma de uma semiesfera. Nessa 
maquete, o diâmetro da semiesfera é 20cm. Sabendo que a escala utilizada foi 1:400, responda: ( = 3,14) 
 
a) Qual a área da superfície dessa construção? 
 
Solução. Calculando o raio da construção, temos: 
 
222
2
m10048)1600)(14,3.(2)40(2R2
2
R4
)semiesfera(Área)ii
m40cm4000)10).(400()maquete(R).400()construção(R
400
1
).construção(R)maquete(R
cm10)maquete(R
)i
====

=
====





=
=
. 
 
b) Qual o volume dessa construção? 
 
Solução. O volume será a metade do volume da esfera. 
 
3
33
cm133973
3
)128000)(14,3(
3
)64000(2
3
)40(4
2
1
3
R4
2
1
)construção(V =

=




 
=




 
= . 
 
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4. (UFJF) Duas esferas são concêntricas, a menor tem cm19 de raio. A área da secção feita na esfera 
maior por um plano tangente a esfera menor é de 81cm2. Calcule: 
 
a) o raio da esfera maior; 
 
Solução. O raio da secção é r. Será calculado com a área da secção. O 
raio da esfera menor é a distância entre o plano tangente e o centro. 
Aplicando a relação de Pitágoras, temos: 
 
( ) cm101008119919R)ii
cm981r81r81r
r)ção(secA
81)ção(secA
)i
2
2
22
2
==+=+=
====



=
=
. 
 
b) o volume da esfera maior. 
Solução. Utilizando a fórmula, temos: 
 
3
33
esfera cm
3
4000
3
)1000(4
3
)10(4
3
R4
)maior(V

=

=

=

= . 
 
 
5. (UNITAU) Uma esfera esta inscrita em um cubo de aresta 4cm. Calcule a área da superfície esférica e o 
volume da esfera. 
 
Solução. O diâmetro da esfera possui a mesma medida da aresta do cubo. Temos: 
 
3
33
222
cm
3
32
3
)8(4
3
)2(4
3
R4
V)ii
cm16)4(4)2(4R4Área)i
cm2R4R2

=

=

=

=
====
==
. 
 
 
6. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem 
exceder a sua altura, que é 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem 
obter com toda a massa é: 
 
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100 
 
Solução. O volume de doce da panela do cilindro será o mesmo da soma dos volumes das bolinhas. 
 
150)3).(50(
32
3
.1600
3
32
1600
)bolinhas(Número
cm
3
32
3
)2(4
3
R4
)bolinha(V)ii
cm1600)16.()10(h.R)doce(V)i
cm10Rcm20)panela(Diâmetro
3
33
322
==

=


=






=

=

=
===
==
. 
 
7. (PUC) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha 
esférica nesse recipiente, o nível da água subirá cerca de 1,2cm. O raio da bolinha vale, aproximadamente: 
 
a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm 
 
Solução. O volume de água que sobe no cilindro corresponde ao volume da bolinha. 
 
 
21,8R
4
4,32
R8,10
3
R4
3
R4
)bolinha(V
cm8,10)2,1(9)2,1.()3(h.R)sobe(V
33
3
3
322
=


==








=
====
. 
 
8. (UFMG) Na figura, ABC é um quadrante de circulo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, cujo lado mede 
1cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 360°, em torno da reta AB, da região hachurada na figura. 
Esse sólido tem um volume de: 
 
a) 14cm3 b) 15cm3 c) 16cm3 d) 17cm3 
 
Solução. Após a rotação foi gerado um sólido cujo volume será a diferença 
entre os volumes da semiesfera e do cilindro indicados na figura. 
 
=−=





===
=

=






 
=
1718)sólido(V
)1.()1(h.R)cilindro(V
18
3
)27(2
3
)3(4
.
2
1
)semiesfera(V
22
3
. 
9. (UEL) Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes (mesmo volume). Se o raio da esfera e o raio 
de base do cilindro tem medida 1, calcule a área lateral desse cilindro. 
 
Solução. Igualando os volumes temos: 
 
3
8
3
4
).1.(2h.R.2)cilindro(A)ii
3
4
h
3
4
h.
h.h.)1()cilindro(V
3
4
3
)1(4
)esfera(V
)i
lateral
2
3

=





==
=

=





==

=

=
. 
 
10. Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4cm, contém perfume em 1/4 de seu volume total. 
Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2mL, do perfume, das alternativas abaixo, a que indicará o maior 
período de tempo de duração do perfume será: 
 
a) 16 dias b) 31 dias c) 26 dias d) 54 dias e) 43 dias 
 
Solução. Calculando o volume do frasco e do perfume no interior dela, aproximando  = 3, temos: 
 
dias32
mL2
dia
.mL
3
)3.(64
dia/mL2
mL
3
64
Período
mL
3
64
3
256
.
4
1
)frasco(V.
4
1
)perfume(V
mL
3
256
cm
3
256
3
)64(4
3
)4(4
)frasco(V 3
3
=

=








=




 
==

=

=

=

=
. 
 
11. (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o raio da esfera inscrita 
nesse cone, em centímetros? 
 
Solução. Calculando a geratriz do cone e observando a semelhança dos 
triângulos OBD e CTD são semelhantes, temos: 
 
 
cm
3
10
18
60
R60R18R560R13
5
R
13
R12
)ii
cm1316925144)5()12(g)i 22
===−==
−
==+=+=
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (MACK) Qual a razão entre a área lateral do cilindro equilátero e a superfície esférica nele inscrita? 
 
Solução. No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base que é também o diâmetro da 
esfera. Temos: 
 
1
R4
R4
)esfera(A
)cilindro(A
:Razão)iii
R4)esfera(A)ii
R4)R2(R2Rh2)cilindro(A)i
2
2
laterak
2
2
laterak
=


=
=
===
.