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lista_3_(limite_e_esboco_de_grafico)

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
Lista 3 - Ca´lculo I
OBS.: Procure justificar todas as suas respostas.
1) Calcule os limites das func¸o˜es a seguir
(a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7 (b) limx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
(c) lim
s→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4 (d) limy→−2
y3 + 8
y + 2
(e) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 (f) limh→0
3
√
h + 1− 1
h
(g) lim
x→−1
2x2 − x− 3
x3 + 2x2 + 6x + 5
(h) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3
(i) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
(j) lim
t→2
t2 − 5
2t3 + 6
2) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e ache o limite indicado, se existir, se na˜o
existir indique a raza˜o
(a) f(x) =


x2 − 4 se x < 2
4 se x = 2
4− x2 se x > 2
lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x), lim
x→2
f(x)
(b) f(x) =
{
3
√
t se t < 0√
t se t ≥ 0 limt→0+ f(t), limt→0− f(t), limt→0 f(t)
(c) f(x) =
|x|
x
lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x)
(d) f(x) = |2x− 3| − 4 lim
x→3/2+
f(x), lim
x→3/2−
f(x), lim
x→3/2
f(x)
(e) f(x) =


√
x2 − 9 se x ≤ −3√
9− x2 se −3 < x < 3√
x2 − 9 se x ≥ 3
lim
x→−3−
f(x), lim
x→−3+
f(x), lim
x→−3
f(x)
lim
x→3−
f(x), lim
x→3+
f(x), lim
x→3
f(x)
(f) f(x) =


2 se x < −2√
4− x2 se −2 ≤ x ≤ 2
−2 se x > 2
lim
x→−2−
f(x), lim
x→−2+
f(x), lim
x→−2
f(x)
lim
x→2−
f(x), lim
x→2+
f(x), lim
x→2
f(x)
3) Os gra´ficos de g e h sa˜o dados a seguir. Determine os limites laterais
da func¸a˜o f(x) = (h ◦ g)(x) no ponto x = 1.
4) Determine o valor das constantes c e k que tornam a func¸a˜o cont´ınua
em IR e fac¸a um esboc¸o da func¸a˜o resultante
f(x) =
{ x se x ≤ 1
cx + k se 1 < x < 4
−2x se x ≥ 4
5) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, calcule os limites lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
e lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
a) f(x) = x2 b) f(x) = x3 c) f(x) =
√
x d)f(x) =
1
x
6) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o, determine os valores de x nos
quais a func¸a˜o e´ descont´ınua e mostre qual condic¸a˜o da definic¸a˜o de con-
tinuidade na˜o esta´ sendo satisfeita nestes valores.
a) f(x) =
x2 + x− 6
x + 3
b) f(x) =
5
x− 4
c) f(x) =


x2 + x− 6
x + 3
se x 6= −3
1 se x = −3
d) f(x) =
x4 − 16
x2 − 4
e) f(x) =


1
x + 2
se x 6= −2
0 se x = −2
7) Mostre, pela definic¸a˜o de limite que se m e b forem constantes quais-
quer, enta˜o lim
x→a
mx + b = ma + b.
1) a)14 b)-6 c)16/7 d)12
e) 1/2 f) 1/3 g)-1 h)11/17 i)
√
6/5 j) -1/22
2) a)0,0,0 b)0,0,0 c)1,-1, na˜o existe lim
x→0
f(x) pois lim
x→0+
f(x) 6=
lim
x→0−
f(x) d)-4,-4,-4 e) 0,0,0,0,0,0
f) 2,0, na˜o existe lim
x→−2
f(x) pois lim
x→−2+
f(x) 6= lim
x→−2−
f(x)
3) lim
x→1+
f(x) = 0 e lim
x→1−
f(x) = −2
4) c = −3 e k = 4
5) a) ambos iguais a 2 b) ambos iguais a 3 c)ambos iguais a 1/2 d) ambos
iguais a -1
6)
a) a func¸a˜o descont´ınua em x = −3, pois f na˜o esta´ definida em x = −3
(ou ∄f(−3))ou seja, na˜o satisfaz a condic¸a˜o (i) da definic¸a˜o de continuidade.
b)a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 4, pois f na˜o esta´ definida em x = 4
(ou ∄f(4))
c) a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −3, a raza˜o e´ que lim
x→−3
f(x) 6= f(−3),
ou seja, na˜o satisfaz a condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de continuidade.
d) a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −2 e em x = 2, pois na˜o existe f(−2),
nem f(2).
e) a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −2, uma vez que lim
x→−2
f(x) na˜o existe,
pois lim
x→−2+
f(x) = +∞, na˜o satisfazendo a condic¸a˜o (ii) da definic¸a˜o de
continuidade.