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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL Lista 3 - Ca´lculo I OBS.: Procure justificar todas as suas respostas. 1) Calcule os limites das func¸o˜es a seguir (a) lim x→7 x2 − 49 x− 7 (b) limx→−3/2 4x2 − 9 2x + 3 (c) lim s→4 3s2 − 8s− 16 2s2 − 9s+ 4 (d) limy→−2 y3 + 8 y + 2 (e) lim x→1 √ x− 1 x− 1 (f) limh→0 3 √ h + 1− 1 h (g) lim x→−1 2x2 − x− 3 x3 + 2x2 + 6x + 5 (h) lim x→3 2x3 − 5x2 − 2x− 3 4x3 − 13x2 + 4x− 3 (i) lim y→−3 √ y2 − 9 2y2 + 7y + 3 (j) lim t→2 t2 − 5 2t3 + 6 2) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e ache o limite indicado, se existir, se na˜o existir indique a raza˜o (a) f(x) = x2 − 4 se x < 2 4 se x = 2 4− x2 se x > 2 lim x→2+ f(x), lim x→2− f(x), lim x→2 f(x) (b) f(x) = { 3 √ t se t < 0√ t se t ≥ 0 limt→0+ f(t), limt→0− f(t), limt→0 f(t) (c) f(x) = |x| x lim x→0+ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0 f(x) (d) f(x) = |2x− 3| − 4 lim x→3/2+ f(x), lim x→3/2− f(x), lim x→3/2 f(x) (e) f(x) = √ x2 − 9 se x ≤ −3√ 9− x2 se −3 < x < 3√ x2 − 9 se x ≥ 3 lim x→−3− f(x), lim x→−3+ f(x), lim x→−3 f(x) lim x→3− f(x), lim x→3+ f(x), lim x→3 f(x) (f) f(x) = 2 se x < −2√ 4− x2 se −2 ≤ x ≤ 2 −2 se x > 2 lim x→−2− f(x), lim x→−2+ f(x), lim x→−2 f(x) lim x→2− f(x), lim x→2+ f(x), lim x→2 f(x) 3) Os gra´ficos de g e h sa˜o dados a seguir. Determine os limites laterais da func¸a˜o f(x) = (h ◦ g)(x) no ponto x = 1. 4) Determine o valor das constantes c e k que tornam a func¸a˜o cont´ınua em IR e fac¸a um esboc¸o da func¸a˜o resultante f(x) = { x se x ≤ 1 cx + k se 1 < x < 4 −2x se x ≥ 4 5) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, calcule os limites lim x→1 f(x)− f(1) x− 1 e lim h→0 f(1 + h)− f(1) h a) f(x) = x2 b) f(x) = x3 c) f(x) = √ x d)f(x) = 1 x 6) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o, determine os valores de x nos quais a func¸a˜o e´ descont´ınua e mostre qual condic¸a˜o da definic¸a˜o de con- tinuidade na˜o esta´ sendo satisfeita nestes valores. a) f(x) = x2 + x− 6 x + 3 b) f(x) = 5 x− 4 c) f(x) = x2 + x− 6 x + 3 se x 6= −3 1 se x = −3 d) f(x) = x4 − 16 x2 − 4 e) f(x) = 1 x + 2 se x 6= −2 0 se x = −2 7) Mostre, pela definic¸a˜o de limite que se m e b forem constantes quais- quer, enta˜o lim x→a mx + b = ma + b. 1) a)14 b)-6 c)16/7 d)12 e) 1/2 f) 1/3 g)-1 h)11/17 i) √ 6/5 j) -1/22 2) a)0,0,0 b)0,0,0 c)1,-1, na˜o existe lim x→0 f(x) pois lim x→0+ f(x) 6= lim x→0− f(x) d)-4,-4,-4 e) 0,0,0,0,0,0 f) 2,0, na˜o existe lim x→−2 f(x) pois lim x→−2+ f(x) 6= lim x→−2− f(x) 3) lim x→1+ f(x) = 0 e lim x→1− f(x) = −2 4) c = −3 e k = 4 5) a) ambos iguais a 2 b) ambos iguais a 3 c)ambos iguais a 1/2 d) ambos iguais a -1 6) a) a func¸a˜o descont´ınua em x = −3, pois f na˜o esta´ definida em x = −3 (ou ∄f(−3))ou seja, na˜o satisfaz a condic¸a˜o (i) da definic¸a˜o de continuidade. b)a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 4, pois f na˜o esta´ definida em x = 4 (ou ∄f(4)) c) a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −3, a raza˜o e´ que lim x→−3 f(x) 6= f(−3), ou seja, na˜o satisfaz a condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de continuidade. d) a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −2 e em x = 2, pois na˜o existe f(−2), nem f(2). e) a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −2, uma vez que lim x→−2 f(x) na˜o existe, pois lim x→−2+ f(x) = +∞, na˜o satisfazendo a condic¸a˜o (ii) da definic¸a˜o de continuidade.
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