lista_4_(continuidade_e_descontinuidade_de_limite)

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
Lista 4 - Ca´lculo I
OBS.: Procure justificar todas as suas respostas.
1) Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
(a) Se lim
x→a
[f(x)+g(x)] existe mas lim
x→a
f(x) na˜o existe, enta˜o lim
x→a
g(x) na˜o
existe.
(b) Se lim
x→a
√
f(x) existe, enta˜o lim
x→a
f(x) existe.
(c) Se lim
x→a
f(x) existe, enta˜o lim
x→a
1
f(x)
existe.
2) Mostre com um exemplo que lim
x→a
[f(x) + g(x)] pode existir mesmo se
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) na˜o existirem.
3) Determine se a func¸a˜o e´ cont´ınua ou na˜o no ponto indicado. Se na˜o,
determine se a descontinuidade e´ remov´ıvel ou essencial.
(a) f(x) = x3 − 5x + 1, em x = 2
(b) f(x) =
√
x2 + 9, em x = 3
(c) f(x) =


|x− 1|
x− 1 se x 6= 1
0 se x = 1
em x = 1
(d) f(x) =


1
x + 1
se x 6= −1
0 se x = −1
em x = −1
4) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o f que satisfac¸a as seguintes condic¸o˜es
1. Dom f = [−3, 3]
2. f(−3) = f(−1) = 1
3. f(2) = f(3) = 2
4. f tem descontinuidade essencial em −2 e um salto em 2
5. f e´ cont´ınua a` esquerda em 2 e a` direita em -1
5) O gra´fico da func¸a˜o f e´ dado na figura.
(a) Em que pontos f e´ descont´ınua?
(b) Para cada ponto de descontinuidade encontrado em (a), determine se
f e´ cont´ınua a` direita, a` esquerda, ou em nenhum dos dois.
(c) Quais, caso existam dos pontos de descontinuidade encontrados em
(a) sa˜o remov´ıveis? Qual se houver, e´ uma descontinuidade essencial?
6) Calcule os limites trigonome´tricos, se existirem.
(a)lim
x→0
sin 4x
3x
(b)lim
x→0
1− cos 2x
5x
(c)lim
x→0
x cot 3x (d) lim
x→
pi
4
sin(x− pi
4
)
(x− pi
4
)2
7) Seja f(x) =
1
x− 1 +
1
x− 4. Mostre que existe um nu´mero c ∈ (1, 4)
tal que f(c) = 0.
8) Mostre que lim
x→1
|x− 1| sinx = 0.
9) Mostre que se lim
x→a
|f(x)| = 0, enta˜o lim
x→a
f(x) = 0. Sugesta˜o: use o
teorema do Confronto (ou ”Sandu´ıche”).
ESBOC¸O DAS RESPOSTAS DA LISTA 4
1)
a) Verdadeiro. Suponha que lim
x→a
g(x) existe e vale L. Como lim
x→a
f(x) +
g(x) existe, suponha que vale M . Mas, enta˜o
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
f(x) + g(x)− g(x) = lim
x→a
f(x) + g(x)− lim
x→a
g(x) = L−M
o que e´ absurdo pois lim
x→a
f(x) na˜o existe por hipo´tese.
b) Verdadeiro. Se lim
x→a
√
f(x) = L, enta˜o
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
(
√
f(x).
√
f(x)) = lim
x→a
√
f(x). lim
x→a
√
f(x) = L.L = L2
c) Falso. Considere f(x) = x e a = 0. Enta˜o lim
x→0
x = 0, mas lim
x→0
1
x
na˜o
existe, pois lim
x→0+
1
x
= +∞ e lim
x→0−
1
x
= −∞
2) Considere f(x) =
1
x
e g(x) =
−1
x
. Enta˜o lim
x→0
1
x
+
−1
x
= lim
x→0
0 = 0,
enquanto que lim
x→0
1
x
e lim
x→0
−1
x
na˜o existem.
3)
a) f e´ cont´ınua pois a func¸a˜o e´ polinomial, logo cont´ınua em toda a reta,
em particular em x = 2.
b)
(i) f(3) = 3
√
2
(ii) lim
x→3
f(x) = 3
√
2
(iii) lim
x→3
f(x) = 3
√
2 = f(3)
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 3.
c) Vejamos se as 3 condic¸o˜es da definic¸a˜o de continuidade sa˜o satisfeitas
no ponto x = 1,
(i) f(1) = 0
(ii) lim
x→1
f(x) na˜o existe, pois lim
x→1+
f(x) = 1 e lim
x→1−
f(x) = −1
Logo, como a condic¸a˜o de existir o limite da func¸a˜o no ponto na˜o e´ satisfeita,
a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 1.
d) Vejamos se as 3 condic¸o˜es da definic¸a˜o de continuidade sa˜o satisfeitas
no ponto x = −1
(i) f(−1) = 0
(ii) lim
x→−1
f(x) na˜o existe, pois lim
x→−1+
f(x) =∞ e lim
x→−1−
f(x) = −∞
Logo, como a condic¸a˜o de existir o limite da func¸a˜o no ponto na˜o e´ satisfeita,
a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −1.
4) Farei na aula de 3a feira.
5)
a) -3, 0, 2 e 6
b) -3 na˜o e´ cont. nem a` direita, nem a` esquerda. 0 e´ cont. a` direita. 2
na˜o e´ cont. nem a` direita, nem a` esquerda. 6 na˜o e´ cont. nem a` direita, nem
a` esquerda.
c) remov´ıvel em 2, em 0 ha´ um salto, em 6 a descontinuidade e´ essencial.
6) (a) 4/3 (b) 0 (c) 1/3 (d) na˜o existe.
7) A func¸a˜o e´ cont´ınua em (1, 4). Considere os pontos x = 2 e x = 3.
Temos que f(2) = 1/2 > 0 e f(3) = −1/2 < 0. Logo, pelo Teorema do Valor
Intermedia´rio, existe um c ∈ (2, 3) tal que f(c) = 0.
8) 0 ≤ |x− 1| sin x ≤ |x− 1|, para todo x ∈ IR.
9) Use a propriedade −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|, a hipo´tese lim
x→a
|f(x)| = 0
e o Teorema do Confronto.