lista de exercícios, vetores - Parte 2

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6a Lista de Geometria Anal´ıtica
Profa E´rica Resende Malaspina - e-mail: malaspin@iceb.ufop.br
1. Determine os vetores unita´rios ortogonais ao vetor−→v = (3, 2). Resp.:
(
−2√13
13
, 3
√
13
13
)
e
(
2
√
13
13
, 3
√
13
13
)
2. Dados os vetores −→u = (1, 2), −→v = (4,−2) e −→w = (6, 0), determine:
(a) −→u · (7−→v +−→w ) Resp.: 6
(b) ‖(−→u · −→w )−→w ‖ Resp.: 36
(c) ‖−→u ‖(−→v · −→w ) Resp.: 24√5
(d) (‖−→u ‖−→v ) · −→w Resp.: 24√5
3. Determine a projec¸a˜o ortogonal de −→u na direc¸a˜o de −→v :
(a) −→u = (2, 1) e −→v = (−3, 2) Resp.:
(
12
13
)
(b) −→u = (2, 6) e −→v = (−9, 3) Resp.: (2, 6)
(c) −→u = (0, 0, 1) e −→v = (8, 3, 4) Resp.:
(
32
√
89
89
, 3
√
89
89
, 4
√
89
89
)
(d) −→u = (−7, 1, 3) e −→v = (5, 0, 1) Resp.:
(
−160√
1534
, 0, −32√
1534
)
4. Para cada nu´mero de CPF a seguir determine os d´ıgitos verificadores:
(a) 300.001.201 Resp.: 03
(b) 005.211.271 Resp.: 30
(c) 411.567.013 Resp.: 41
5. Usando produto vetorial, determine a a´rea do paralelogramo de ve´rtices:
(a) A(0, 1), B(3, 0), C(5,−2) e D(2,−1) Resp.: 4
(b) A(1, 1, 0), B(3, 1, 0), C(1, 4, 2) e D(3, 4, 2) Resp.: 2
√
13
6. Determine a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores −→u e −→v nos seguintes casos:
(a) −→u · −→v = 3√2 e ‖−→u ‖ = 2 e ‖−→v ‖ = 3 Resp.: 1
(b) −→u⊥−→v , −→u e −→v unita´rios. Resp.: 3√2
7. Determine o volume do tetraedro ABCD de arestas AB, AC e AD e ve´rtices A(1, 1, 1),
B(2, 0, 3), C(4, 1, 7) e D(3,−1,−2), Resp.: 21
8. Calcule −→v1 ∧(−→v2 ∧−→v3) (chamado duplo produto vetorial) para os vetores −→v1 , −→v2 e −→v3 dados
a seguir:
(a) −→v1 = (1,−1, 0), −→v2 = (2, 2,−2) e −→v3 = (1,−3, 1); Resp.: (8, 8,−8)
(b) −→v1 = (1,−1, 1), −→v2 = (0, 0,−1) e −→v3 = (1, 0, 1) Resp.: (1, 0,−1)
9. Mostre, por meio de um contraexemplo, que o produto vetorial na˜o e´ associativo, ou seja,
mostre que −→u ∧ (−→v ∧ −→w ) 6= (−→u ∧ −→v ) ∧ −→w
10. Mostre, por meio de um contraexemplo, que −→u ∧ −→v = −→u ∧ −→w (−→u na˜o nulo) na˜o necessa-
riamente implica que −→v = −→w ( em outras palavras, no produto vetorial na˜o vale a Lei do
Cancelamento).
11. Se −→v · −→w1 = 0 e −→v · −→w2 = 0, mostre que −→v e´ ortogonal a qualquer combinac¸a˜o linear de −→w1 e−→w2.
12. Em um triaˆngulo ABC, mostre que a altura h relativa ao lado AB e´ dada por
‖−→AB ∧ −→AC‖
‖−→AB‖
13. Estabelec¸a as equac¸o˜es parame´tricas das retas nos seguintes casos:
(a) Passa pelo ponto P (−1, 5, 3) na direc¸a˜o do vetor−→v = (−1, 2,−7); Resp.: s :

x = −t− 1
y = 2t+ 5
z = −7t+ 3
(b) Passa pelos pontos P (1,−2, 3) e Q(0, 3,−1); Resp.: s :

x = −t+ 1
y = 5t− 2
z = −4t+ 3
(c) Passa pelo ponto P (1,−2, 3) e e´ paralela a` reta r :

x = 2t+ 1
y = −t
z = 3t− 3
; Resp.: s :

x = 2t+ 1
y = −t− 2
z = 3t+ 3
(d) Passa pelo ponto P (3, 5, 7) e e´ simultaneamente ortogoanl aos eixos Ox e Oy. Resp.:
s :

x = 3
y = 5
z = t+ 7
14. Determine, se existir, o ponto de intersec¸a˜o das retas dadas:
(a)

x = t
y = 3t− 1
z = 2t+ 1
e

x = s
y = 4s− 2
z = 3s
Resp.: P (1, 2, 3)
(b) x− 2 = −y − 1
3
=
−z − 1
2
e
x− 3
2
= −y + 1 = z − 3
2
Resp.: P (1, 2, 1)
15. Determine a posic¸a˜o relativa dos pares de retas:
(a)

x = −t+ 2
y = 2t+ 3
z = t+ 1
e

x = −2s+ 5
y = 4s+ 2
z = 2s+ 1
Resp.: Paralelas
2
(b)

x = 2t+ 1
y = −t− 3
z = t
e
2x− 1
3
= y + 1 = 3z
Resp.: Reversas
(c)

x = t+ 2
y = −2t+ 4
z = 3t+ 1
e

x = 4s− 1
y = −s+ 3
z = 2s+ 2
Resp.: Concorrentes
16. Estabelec¸a a equac¸a˜o reduzida dos planos nos seguintes casos:
(a) Determinado pelos pontos A(−2, 1, 0), B(−1, 4, 2) e C(0,−2, 2);
Resp.: 12x+ 2y − 9z + 22 = 0
(b) Paralelo ao plano pi : 2x− 3y − z + 5 = 0 e que passa pelo ponto A(4,−1, 2);
Resp.: 2x− 3y − z − 9 = 0
(c) Perpendicular a` reta r :

x = −3t+ 1
y = 2t+ 5
z = −t
e que passa pelo ponto A(−1, 0, 2);
Resp.: 3x− 2y + z + 1 = 0
(d) Determinado pelas retas

x = 2t+ 1
y = 4t
z = 6t− 1
e

x = s
y = 2s+ 1
z = 3s− 2
Resp.: 5x+ 2y − 3z − 2 = 0
3