Briot-Ruffini

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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 5 | MATEMÁTICA 1 1
Matemática 1 aula 24 
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA 
1. P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 4x + 5 
Q(x) = x2 + x + 1 
 Método das chaves (análogo a Briot-Ruffini) 
 1 2 3 4 5 1 1 1 
–1 –1 –1 1 1 1 
 1 2 4 5 
 –1 –1 –1 
 1 3 5 
 –1 –1 –1 
 2 4 
 Daí, Q(x) = x2 + x + 1 → Q(1) = 3 
 R(x) = 2x + 4 → R(1) = 6 
 → Q(1) + R(1) = 9 
 
 Resposta correta: C 
 
2. P(x) = x3 + 2x
2 – x + k 
L(x) = x + 3 
Vamos dividir: 
–1 2 –1 k 1 3 
–1 –3 1 –1 2 
 –1 –1 k 
 1 3 
 2 k 
 –2 –6 
 (k – 6) 
 
Para divisão exata k – 6 = 0 → k 6= 
 
Resposta correta: B 
 
3. 
 3 – 4 2 – 10 
2 2 . 3 = 6 2 . 2 = 4 2 . 6 = 12 
 3 
– 4 + 6 = 
2 
2 + 4 = 6 – 10 + 12 = 2 
 ↓ ↓ ↓ 
 x = 2 y = 6 z = 2 
 
Desta maneira, x + y + z = 2 + 6 + 2 = 10 
 
Resposta correta: 10 
 
4. Aplicando o dispositivo prático: 
 
Coeficientes do dividendo 
 
P(x) 2 10 18 35 
 2x(–4) = –8 2x(–4) = –8 10x(–4) = –40 
Q(x) 2 
10 + (–8) = 
2 
18 + (–8) = 10 35 + (–40) = –5 
 
⇓ 
P(x) 2 10 18 35 
– 4 – 8 – 8 – 40 
Q(x) 2 2 10 –5 
 
÷ 2 ⇒ Coeficiente de x no divisor 
1 1 5 
 
Coeficientes do quociente 
Q(x) = 1x2 + 1x + 5 
Q(x) = x2 + x + 5 
R(x) = –5 
 
Resposta correta: x2 + x + 5 e –5 
 
5. Aplicando o dispositivo prático: 
coeficientes do dividendo 
 
P(x) 4 – 14 – 6 39 
 3 x 4 = 12 –2 x 3 = –6 – 12 x 3 = – 36 
Q(x) 4 –14 + 12 = –2 –6 – 6 = –12 39 – 36 = 3 
 
⇓ 
P(x) 4 – 14 – 6 39 
3 12 – 6 – 36 
Q(x) 4 – 2 – 12 3 
 
÷ 2 ⇒ Coeficientes do quociente resto 
O quociente é 2x2 – x – 6 e resto 3 
 
Resposta correta: 2x2 – x – 6 e 3 
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS 
1. "Chaves" mais uma vez. 
ƒ(x) = 2x5 – x4 + 2x3 – x2 + 2x – 1 
g(x) = 2x – 1 
 
 2 –1 2 –1 2 –1 2 –1 
–2 +1 1 0 1 0 1 
 2 –1 2 –1 
 –2 +1 
 2 –1 
 –2 +1 
 
 Daí, Q(x) = x4 + x2 + 1 e R(x) = 0 
 
Resposta correta: A 
 
2. I. Temos que P(x) = 2(x + 1)2 + x(x – 1) + 8, assim: 
P(x) = 2(x2 + 2x + 1) + x2 – x + 8 ⇒ 
P(x) = 2x2 + 4x + 2 + x2 – x + 8 ⇒ 
P(x) = 3x2 + 3x + 10 
 
II. 
23x 3x+ 2
2
10 x x 1
3x
+ + +
− 3x− 3 3
7
− 
 
Resposta correta: C 
 
3. Aplicando o dispositivo prático: 
 
P(x) 2 – 10 12 0 
 2a a(2a – 10) = 2a2 – 10a a(2a2 – 10a + 12) 
Q(x) 2 2a – 10 2a2 – 10a + 12 0 + a(2a2 – 10a + 12)
 
resto 
raiz do divisor 
⇒ –4 
raiz do divisor
⇒ 3 
raiz do divisor
 a 
 
 
3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 5 | MATEMÁTICA 1 2 
Como o P(x) é divisível por Q(x), então o resto é zero: 
a (2a2 – 10a + 12) = 0 
a = 0 ou 2a2 – 10a + 12 = 0 
a = 2 ou a = 3 
 
A soma dos valores de a é 0 + 2 + 3 = 5 
 
Resposta correta: D 
 
4. I. Se P(x) é divisível por x – 1, então P(1) = 0. 
 
II. Sabemos que o termo central de uma PA é média 
aritmética dos extremos ou dos eqüidistantes aos 
extremos. 
 
III. P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an, onde “n” é par. 
Como P(1) = 0, então 0 1 2 3 n
soma dos termos da PA
a a a a ... a 0+ + + + + =�����	����
 . 
IV. Sabemos que a soma dos termos de uma PA é dada 
pela relação Sn = 1 n
(a a ).n
2
+
, onde “a1” primeiro 
termo, “an" é último termo e “n” o número de ter-
mos. 
Assim: 
 
1 n(a a ) . n
2
+
 = 0 ⇔ (termo central). n = 0, como 
n ≠ 0, então termo central = 0. 
Resposta correta: C (Refiticação do gabarito) 
 
5. I. F = x . Q1 + 0 ⇒ F(0) = 0 
 
II. F = (x – 1) . Q2 + 1 ⇒ F(1) = 1 
 
III. Como queremos o resto da divisão de “F” por 
x (x – 1) e sabendo que o resto é do tipo ax + b, 
temos: F = x (x – 1) . Q + (ax + b). 
 
IV. F(0) = 0 . Q + a . 0 + b ⇒ b 0= 
F(1) = 1 . 0 . Q + a + b ⇒ a b 1+ = . 
Como b = 0, então a = 1. 
 
V. Como o resto é ax + b, a = 1 e b = 0, então: 
R(x) = x . 1 = 0 ⇒ R(x) x= 
 
Resposta correta: C 
 
6. P(x) = –x5 + 4x3 – 2x2 – 9 
D(x) = x + 2 
 Método das Chaves (ou Briot-Ruffini) 
 –1 0 4 –2 0 –9 1 2 
 1 2 –1 2 0 –2 4 
 2 4 –2 0 –9 
 –2 –4 
 – 2 0 –9 
 2 4 
 4 –9 
 –4 –8 
 –17 
 
 Resposta correta: A 
7. Considerando q1 o quociente da divisão de ƒ(x) por 
(x – 3) (x – 5), teremos: 
ƒ(x) (x – 3) (x – 5) 
2x – 1 q1 
 
⇓ 
 
ƒ(x) = (x – 3) (x – 5)q1 + 2x – 1 
 
Atribuindo valores a x: 
I. x = 3 ⇒ ƒ(3) = (3 – 3) (3 – 5)q1 + 2 . 3 – 1 ƒ(3) = 5 
 
II. x = 5 ⇒ ƒ(5) = (5 – 3) ( 5 – 5)q1 + 2 . 5 – 1 ƒ(5) = 9 
 
Considerando q2 o quociente da divisão: 
g(x) por (x – 3) (x – 5), teremos: 
g(x) (x – 3) (x – 5) 
x + 2 q2 
 
⇓ 
 
g(x) = (x – 3) (x – 5)q2 + x + 2 
Atribuindo valores a x: 
III. x = 3 ⇒ g(3) = (3 – 3) (3 – 5)q2 + 3 + 2 
g(3) = 5 
 
IV. x = 5 ⇒ g(5) = (5 – 3) (5 – 5)q2 + 5 + 2 
g(5) = 7 
 
Sendo E = ƒ(g(3)) + g (ƒ(3)), teremos: 
E = ƒ(g(3)) + g (ƒ(3)), como: g (3) = 5 e ƒ(3) = 5, então: 
E = ƒ(5) + g(5), como ƒ(5) = 9 e g(5) = 7, então: 
E = 9 + 7 
E = 16 
 
Resposta correta: 16 
 
8. Efetuando a divisão de P(x) por D(x), temos: 
3x 212x 41x 30− + − x2 – 7x + 6 
3x− 27x 6x+ − x – 5 
25x− 35x+ 30− 
25x 35x− 30+ 
(0) 
 
Assim Q(x) = x – 5, então Q(3) = 3 – 5 = 2− 
 
Resposta correta: B 
 
9. Os divisores são de 1º grau, então os restos são de grau 
zero, sendo R1 = R2 = n. Considerando o primeiro divi-
sor: 
x2 + mx + 2 = (x – 1) . q1(x) + n 
 
Se x = 1 
12 + m . 1 + 2 = (1 – 1) . q1(1) + n 
1 + m + 2 = n 
m – n = – 3 (i) 
 
termo 
central 
 
 
3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 5 | MATEMÁTICA 1 3
Considerando o segundo divisor 
x2 + mx + 2 = (x + 1) . q2(x) + n 
 
Se x = –1 
(–1)2 + m(–1) + 2 = (–1 + 1) . q2(–1) + n 
1 – m + 2 = n 
m + n = 3 (ii) 
 
Das equações (i) e (ii): 
m n
m n
+ =
− = −
RST
3
3
 
2m = 0 
m = 0 
 
Resposta correta: B 
 
10. P(x) = x3 + 2x2 + px + q 
D(x) = x2 + x + 1 
 
 1 2 p q 1 1 1 
–1 –1 –1 
 1 p – 1 q 
 –1 –1 –1 
 (p – 2)(q – 1) 
 
→ (p – 2)x + (q – 1) = 0 → coeficientes nulos → 
→ p – 2 = 0 → p = 2 
q – 1 = 0 → q = 1 
 
→ p + q = 3 
Resposta correta: B