Buscar

Exercícios Programados 01-C2-2016-1-Aluno

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II - 2016/1 
��������	�
����
	���	������	��	��
��
�	���		
	
����	 �����	 �����	 ���	 �����	 ��	 ����	 �	 ��	 ����������	 �����	 ��������
	 �������	 ���	 ������	
���������	 �����	 ��	 �������	 ���	 ���������	 �	 ��������	 ���	 ���	 ���	 �����	 �����	 ���	 �
��� ����	
����������
	�����	����	���	���	���	�����	�����	������
������	����	���	�����	�	��������	����	�	
�������	��	�����		��!�	 ����	���	�
��� ����"		
	
����	 ���
����	 �	 ���	 ������
	 �
#�	 ���	 ��������	 �
���
���	 ���	 �����	 ���	 ��	 ����
	 ��������		
����#�	��	�
��� ����	���	�	������	����	�������	��	�������	��	��������
��"	$	%
����	�������	
������	 ����#�	 �������	 ��������	 ���	 ��������	 ���������
	 �	 �����	 �	 �����	 ���	 �&���'����	
���������	���	��������	���������	�	���������	�&���'����	����������	����
�����	����
(��������"		
	
���	 �����	 ��	 �� ����	 �������
��
	 �����	 )*+),+	 ����	 �����������	 ���	 �������	 ����������	 ��	
������	 ������	 ����	 �	 �� ���	 �����	 ����	 ��	 ����������	 ��	 ���-��	 
����'������
	 �&����������
	
(�����.
����	�	���������	���	��������	 ���-��	��������#������	��������"	/����	���������	����#�	
��	��
��	++
	+)	�	+0	��	�������	��������
	���	��	���-�	 ����	���������	��	��
��
�	�"	�� �
�������	
���	 ������	 �����������	 �����	 ���������	 ���	 ������	 �
����
	 ���	 �������	 ����	 ��������	 ��	
������	��	���������	�	 ����	����	�����������	 �
(��	 ������������	���	�#�����	��	 ����������	���	
��������	������	�����	��	��������	��	����	�������
	#	���	����	������	���	������	����
�����	��	
1�	�������
	��	�������	���	���������	���������	��	��
��
�	�"		�� �������	����#�	���	��	������	
+*	���	(�����	�	1�+*
	����	�����	������	�����	�
����	�����	�������	��	������	��	������"	���	
�����	 
���
	 ���	 �������	 +0
	 +2	 	 �	 +3	 ��	 ������
���
	 �������������	 �	 � ������	 ��	 �������	 ��	
�����������	 ��	 ������	 ���	 �	 ����	 ������
	 ���	 �������	 ����������	 4�	 �����-��	 �� ���������	
����������	 ����	 �	 ���	 ��������
	 #	 ��
����	 ��	 �#�����	 ��	 ����������	 �����������	 ��	 
����	 ��	
������
���"	5����	����
	!����	���	��	1��6	+2
	+3	�	+7	�����	����
�����	��	�������
	����
�������	
��	�����	��	��
�	���������������	4	�����	�������"	5���	���	�����	��������	�����	��	��+	�	��	
��)	 ����	 �������	 ���	 ����	 �������	 ����	 ��	 ��������
	 �����	 ����	 �
���	 ���	 ��������	 ���	 1��	
���������	���	 ��������	���	 ����	 ���	 ���������
	 ����	 �������	 ���	 �	 �����	 ��������	����	 ��	
��������	��
(��	����	��	������"	
	
8�������
	 ����	 ������
	 �����������	 �����	 �	 �&�������	 �	 �����	 ���������	 �	 �����(��������	
��
�	 �� '��
	 ���� �	 ���	 �������	 ����������	 ���
����	 ����	 �������	 ����������	 4	 ����9����
	 �����	
�����	����	�����������	��	���
�����
	����	#	�	����.����	�1�1:;"		
	
�	������
���	��
��
�	��	#	� �������	����
�����	����	�
����	���	<������������	��	=���������
	/'����	
�	 8�'����
	 �����	 �����	 �������������	 ������������	 ����#�
	 ������	 ���	 ����'��
	 �
����	
��
������	��	��
��
�	�	����
����	��	 '����	�	��'����"		
	
>��	 ����������	 ����������	 �	 ����	 #	 ���	 ��	 ��
��	 ��	 ?1@	 ��	 �
��� ����	 �� �
�������	 ���	
������	 �	 �����	 ����
	 ��	 ������
���
	 �
��	 �����	 ��	 ������	 ���
�����	 �	 ������	 ��	 3A	 B�����"	 ���	
�����	 
���
	 �&�����	 �
����	���������	 ������'����	 �������������	 ��	 ��������	 ���	 �����	 ��&�
���	
�����	 ��	 ����
����	 ��	 �
����	 �&���'����	 ��	 ������
���"	 B��	 ���������	 ���	 �������
����	 �	
��
��
�	��	 1�*+	C	�	�������
	�� �����	C	�
���	 )*+7D+ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�����
������	 ��	 ��� ���	 ��	 ���-��	 �����"	 	 B�����	 �����	 �
�����	 ������-��6	GeoGebra	 #	 ��	
�� �E���	 ��	 ����������	 ���9����
	 ����	 ���
����	 ��	 ��������	 ��	��
�	 ��	 ��
�
	 ���	 ��%��	
���������
	�
�����	�	��
��
�"	:������	������	�������	��������������	���
�����	�	������	�� �E���	
����������
	�
����	�	�������"	1&�����	����-��	�����	����	�	?����E�	����	����	�	<���&"	F����	
�������	 ���&��	 �	 ��������	 ��	 ������	 ������
	 ��	 ��� �����	 G�������	 @����
����	 ��	
http://www.geogebra.im-uff.mat.br/ 5�	 �������
	 ��	 �����	 ������	 �����	 �����������	 �
�����	
�������-��	 �	 �&���
��	 ����	 ����	 �	 �� �E���"	 $	 ����	 ������	 �	 ��	 �������	 ����
����	 �����	
�����������	 ��	 ������	 	 http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf	 "	WinPlot #	 ��	 ��������	
����	 �����	 ��� ����	 ��	 )�	 �	 0�	 �	 ������	 ��	 ���-��	 ��	 �����-��	 �����������"	 F����	 �����	
����
�����	�������
	�������	�	�&��
�����"	$�	�����	��	�������	���	����
��
	�����	���	�&����	���	
�����	��	�!���	��	�����	��	������"	������	 ���-��	�����������	��	����	������
"	/�������	�.	��	
?����E�
	���	�&�����	��%�����	���������	���������	����	���,
�	H��	���������I"	J	 ���
	��	����"	
������	 ������	 ��������	 �	 �����	 �����'�����	 ������	 ��	 �����"	 F���	 ����	 ����	 �	 ��E�
���	
��������	��	��������	��	 http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html . 	
 
1&�����	 ������	 ���������6	 =��(�������
	 =��
�
	 ���"	 =��	 �����	 ���	 ���	 ����������	 @��&��	 ��	
���������	 ���������	 �	 ��������	 �	 �������	 ���	 �
��"	 K�����	 �����	 ������(��	 ��	 �����(��	 ���	
������"	 =��	 
������,��6	 �����	 ���������	 �����	 ������	 ������	 ��	 �����"	 5�	 �������	 ���	
����������	��
��	����	������	�	������
���"	K��	��	���	���(��������	��	������
���	��	��
��
�	�
	����	
���
	#	 ���������
"	����	����
��	�
����	���	�������	��	��������	�������	��	��������	���������	
��	��
��
�	�
	������������	�	������������	����	����������	�	�
���	���
��	��	�������	�	��	�������	
��	��� ������	H> I	:�����	<%���	8�������
(�	��	<���"	$	
����	����#�	������-��	�	 ������	��	����	
��
�	 ��	 �����	 ���
����	 �	 �����������	 ��	 
�����	 �	 ����	 ���	 ����������	 ��	 �������� 
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/index.html"	��������	����	���	�����
������	�������	
���	������-��	#	�������	����	�	���������	��������	1&�
����"	
	
$	����������	��	������
���	�&����	��	����	%
�����	�������	����	�������	��	�������
	���	��������	
���������"	 B�	 �����
	 �����	 �
����
	 ���������	 ���	 ��������	 �������	 ���������	 ����
���	 ��	
�&���'����	 ���������	 
�
	 ���	 ����
����
	 ��	 ��&���	 �������	 �	 �������	 ��	 �����������	 ����	
��� ����	 ��	 ���������"	 B�	 �	 ����	 ���	 ��	 ���	 ����
	 ��
���	 
��	 ��	 �����	 �	 �&���'����	 ����������	
���������������	�����	������	 
(��	�!���	���	����	�������"	����	 ����	���	��!�	�� �������
	�����	
�����	����#�	�	����
����	��	������	�&���'����	����������	���	���	����
�����	��	���������	�	���	
!����	 ���	 ��	 1��	 �������	 �!����	 �	 ���
������	 ��	 �%�����"	 ���	 �����
��	 ��
��
��������	 ���	
������	�����	��	���	��	�������	�������
�
�	�	�	�
�����
�	���	�������	������	�
�������	�	�������	
B��������	���	�������	��	�����	�	 ����	��	1��"	J	����������	�	�������
�������	���	1��
	����	
��
��	�����������	�&���'����	���	�.�����	����	��
�������	��	���#���"	$�	�&���'����	�����������	
�����	�������
�����	��������	��	��
��	��.�����	��	F�
���	+
	�.��
�	+	�	��	F�
���	)
	�.��
��	)	
�	 0	 �����	 ������
���"	 	 <�����,��	 ���	 ��	 L���	 ��	 ������
���	 ��
��
�	 ��	 ������	 �	 ���
����� ��	 ���	
��������	��	
����	��	��������"	
	
������	���	��
(����	�� �����	���	�������������	��	������
���
	#	���������
	���	���!��	�����	���	
1��
	 �����	 ��	 ��
�
	 ���"	 �����	 ���	 ���	 ������	 ��	 ���������-��	 ��	 �
����	 �D��	 �������	 �����	
������-��	��	������-��	������������
	�� �������	��	�����%��	��	��	�'��
	�����.����	���	��&�
���	
�	�������������	���	��
��	�D��	1��	��	 �����"	
	
	 	 ��������������	 	 	 	
	 	 	 	 	 	 	
	 	 	 	 	 	 ����	���
��	B�
��	;�����	�	����	B����	8"	��	��
���	
	 	 	 	 	 	 	 �������������	��	��
��
�	��	
��
��
�	��	 1�*+	C	�	�������
	�� �����	C	�
���	 )*+7D+ 
Fundação CECIERJ ConsórcioCEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
EP01 (2016/1)- Aluno 
 
A INTEGRAL DEFINIDA 
�������
����		
 ! ����	�������
	����
�������	�	��	�������	��������
	�����	�����������	��	"�����	 	��	
�������	��	�����������	��	�����	������	�	�&���'����	����
�����	�����	�	�������
	�� �����	
�	�	�����	�	�����	��	�������	���	�&���'����		���������	��	�������	��������	�����	������"	
5�	 ��#��
��	 $%	 ��	 ������	 �������	 �������	 �	 ������	 %	 ��
�	 �����	 �����������	 ������	
�&���'����	����������	�� �������	��	����
	���	�����	
���	��	��#��
��	 	 	�����������	���	
�����	 ����������	 ��	 �
����	 ��������	 ��	 ��#,��
��
�	 �����������	 ����	 �����	 �	 ��� ���	 ��		
�����	 ���-��	�	������	���	 	�������	�	���
	��	 ���
	�	�!������	�	����
���	������	�����-��	
���		1�M�
	��M�		�	��M�"			
&! ����	 ���
����	 �	 ���	 ������	 �������	 ����
�����
	 ����#�	 �����	 ������
	 ��	 �������	 ��������	 �	
'() 	��*
�
��	+	,����	���	�	��!�����	��	 ����	���	�������	�����	�	������	��	����-��	�
����"		
--------------------------------------------------------------------------------	
	
.������
���			��	�� ������	)")	��	�������	��������	�������	���		
 !	B�	 :[ , ]f a b → R 	��
	���	 f 	#	���	 �����	���������
	��		[ , ]a b 
	��
	���	 ( ) 0f x ≥ 	��"		
			���	�� ������	N���	��	R				 ( )
b
a
f x dx= ∫ "		$�	��!�
	�������	�����	����#�	���		
	
( )
b
a
f x dx =∫ 	N���	��	R"	
	
B.	����	�
������	��	/�����	+"+	���������	�	����	 ( ) 0f x > 	��		[ , ]a b 	
	
	/�����	+"+			
	
&! B�	 :[ , ]f a b → R 	��
	���	 f 	#	���	 �����	���������
	��		[ , ]a b 
	��
	���	 ( ) 0f x ≤ 	��		[ , ]a b 		
���	�� ������	Área de 
1
R ( )
b
a
f x dx = − 
 
 
∫ . $�	��!�
	�������	�����	����#�	��� 
 
 
( )
b
a
f x dx = −∫ Área de 1R 	
	
B.	����	�
������	��	/�����	+")	���������	�	����	 ( ) 0f x < 	��		[ , ]a b 	
��
��
�	��	 1�*+	C	�	�������
	�� �����	C	�
���	 )*+7D+ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
	
/�����	+")	
	
/��	��	����	����	��������	
������
�	
	
'*���0�
�	 1	$	��� ���	��	 f 	����	��������	��	/�����	+"0"	��
��
�	����	�������
	������	��	
�� ����-��	�	������������	��	�������
	�� �����
	!����	���	�	����������	����	
��(��	�����	�	
 .���
��	�����������	��	���������	�
���"	
H�I		
2
0
( )f x dx∫ 	 	H�I		
5
0
( )f x dx∫ 	 	H�I		
7
5
( )f x dx∫ 	 	H�I	
9
0
( )f x dx∫ �
�
�
�
/�����	+"0	
	
'*���0�
�	&1	$	��� ���	��	 f 	��������
	��	���������	��	����
	��	������	�����	��	���	������ �������	
��	�������
�	[ 3,0]− 	�	��	���������� ��������	����	������	�	 �����	+"2"	>��,�	����	��
��
��	��	
���������	���������	�� ������	���
������	��	���������	�����	��	����������
	��	������������	�������	
��	�������
	�� �����	�	 .���
��	�����������	��	���������	�
���"	
	
(a) 
0
8
( )f x dx
−
∫ 	 	 H�I		
3
0
( )f x dx∫ 	 H�I		
3
8
( )f x dx
−
∫ 	 H�I		
12
3
( )f x dx∫ 	
H�I
	
20
12
( )f x dx∫
	 	
H I
	
20
8
( )f x dx
−
∫
	
H�I
	
20
8
| ( ) |f x dx
−
∫
	 	
H(I	��
��
�	�	����	A ��	������	
�������	��
�	��� ���	��	 f 	�	��
�	��&�	 x "	
	
��
��
�	��	 1�*+	C	�	�������
	�� �����	C	�
���	 )*+7D+ 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
	
/�����	+"2	
	
/�����	�����
������	��	
�������	��2
�
��	�	�������	���3��
���	����	���������	������	
������
�	
	
'*���0�
�	41	>��	��	������������	�������	��	�������
	�� �����	����	��
��
��	����	�&�������"	F���	
����	�������	���		 2 2
1 ( )
2
b
a
b ax dx −=∫ 	�	���	
2 3 31 ( )
3
b
a
b ax dx −=∫ "	1�	����	����	 ���	��	������	
��	����������	��	�������
�	����	�	����������	�	����
����	��	������	��	�����"	
	
H�I 
4
5
(4 ) dxpi
−
+∫ (b) 
3
1
2x dx∫
 
 (c) 
1
2
2
)(4 x dx
−
−∫
 
H�I 
4
2
1
6 8)( xx dx− +∫ 	
H�I 
4
0
( )f x dx∫
 
22 para 0 2
onde ( )
4 para 2 4
x xf x
x x
 ≤ ≤
= 
< ≤
	
	
'*���0�
�	$1	B�!� f 	����	���		
2
2( ) 6 8
4 , se 2 2
, se 2 4
f x
x
x x
x x
=
 − +
− − ≤ <
≤ ≤
"		
�I 		1�����	�	������	K	������������	�����	�	��� ���	��	 �����	 ( )y f x= �	�	��&�	 x "	
�I					��
��
�	�	����	��	������	K"		
�I						��
��
�	����#�	
4
2
( )f x dx
−
∫ "	 	
	
/�����	�����
������	��	
�������	��2
�
��	�	�	��������
��	��	���
���������	
 
'*���0�
�	 51	 >��	 ��	 ������������	 ���	 ���������	 �� ������	 ����	 ���� ����	 �	 ����������	 ��	 �
������	
���	���������	�������
�����	���	��
��
��	��	���������"	
	 	 H�I	
3
4
1
2
0
1
x
x
dx
 
 
 
− 
 
>∫ 		 	 	 	H�I	
23
0 2 cos
0x
x
dx
 
 
 
−
 
<∫
 
	 	 	 	 	 	 	 >��	.����	������	����	������	
	 	 	 	 	 	 	 ��� �"	����	�	B����

Continue navegando