Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2014-2 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (3.0 pts) : Considere as proposic¸o˜es elementares a seguir identificadas com as letras do alfabeto, conforme abaixo. a : Aves possuem penas. b : Burros possuem treˆs patas. c : Cavalos sa˜o vermelhos. d : Dromeda´rios sa˜o desdentados. Considere agora as seguintes afirmac¸o˜es: Se aves na˜o possuem penas e burros possuem treˆs patas, enta˜o dromeda´rios sa˜o desdentados. Cavalos sa˜o vermelhos ou burros na˜o possuem treˆs patas se, e somente se, aves possuem penas. Aves na˜o possuem penas. a) (1.0 pt) Utilizando as letras que identificam as proposic¸o˜es, reescreva as afirmac¸o˜es abaixo com os s´ımbolos da Lo´gica. Este item, desta questa˜o, deve ser resolvido aqui mesmo na folha de prova. Primeira afirmac¸a˜o: “Se aves na˜o possuem penas e burros possuem treˆs patas, enta˜o dromeda´rios sa˜o desdentados.” Resposta: (∼a) ∧ b⇒ d Segunda afirmac¸a˜o: “Cavalos sa˜o vermelhos ou burros na˜o possuem treˆs patas se, e somente se, aves possuem penas.” Resposta: c ∨ (∼b)⇔ a Terceira afirmac¸a˜o: “Aves na˜o possuem penas.” Resposta: (∼a) Me´todos Determin´ısticos I AP1 2 b) (2.0 pt) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es apresentadas inicialmente, reescritas acima, indique se cada uma das proposic¸o˜es elementares abaixo e´ “Verdadeira”ou “Falsa”, mar- cando, respectivamente (V) ou (F). Deixe bem claro o racioc´ınio que utilizou para deduzir suas concluso˜es. ( F ) Aves possuem penas. Decorre diretamente da terceira afirmac¸a˜o, pois, se (∼a) e´ Verdadeira, tem -se que a e´ Falsa ( V ) Burros possuem treˆs patas. ( F ) Cavalos sa˜o vermelhos. Conclu´ımos anteriormente que a e´ Falsa. Desta forma, da segunda afirmac¸a˜o (c ∨ (∼ b) ⇔ a), podemos concluir que c∨ (∼b) tambe´m e´ Falsa. Como o conectivo empregado e´ ∨, a proposic¸a˜o composta c ∨ (∼b) e´ Falsa apenas se as duas proposic¸o˜es sa˜o Falsas. Isto e´, c e´ Falsa e (∼b) e´ Falsa, o que significa que b e´ Verdadeira. ( V) Dromeda´rios sa˜o desdentados. Conclu´ımos anteriormente que a e´ Falsa (o que significa que (∼ a) e´ Verdadeira) e que b e´ Verdadeira. Desta forma, (∼a)∧b e´ Verdadeira. Portanto, da primeira afirmac¸a˜o, (∼a)∧b⇒ d, podemos concluir que d tambe´m e´ Verdadeira. Questa˜o 2 (2.5 pts) : Considere os conjuntos A e B formados por letras do alfabeto, conforme abaixo: A = {a, b, c} e B = {i, n, o}. Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo, justificando sua resposta. a) (0.6 pt) Existe uma letra que pertence ao conjunto A que aparece na palavra “escrito´rio”. b) (0.6 pt) Todas as letras que pertencem ao conjunto A aparecem na palavra “banco”. c) (0.7 pt) Todas as letras da palavra “banco” pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto B. d) (0.6 pt) Todas as letras da palavra “noite” pertencem ao conjunto B. Soluc¸a˜o: (a) ( Verdadeiro ) A letra c que pertence ao conjunto A e´ a terceira letra da palavra “escrito´rio”. (b) ( Verdadeiro ) As letras que pertencem ao conjunto A sa˜o: a, b e c. A letra a e´ a segunda letra da palavra “banco”, a letra b e´ a primeira letra da palavra “banco” e a letra c e´ a quarta letra da palavra “banco”. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 (c) ( Verdadeiro ) As letras da palavra “banco” sa˜o: b, a, n, c e o. As letras a, b e c pertencem ao conjunto A e as letras n e o pertencem ao conjunto B. (d) ( Falso ) As letras da palavra “noite” sa˜o: n, o, i, t e e. As letras t e e na˜o pertencem ao conjunto B. Questa˜o 3 (2.0 pts) : O sala´rio mensal de um vendedor e´ formado de uma parte fixa igual a dois sala´rios m´ınimos acrescido de uma comissa˜o de 5% sobre o total de vendas no meˆs. Sabendo que um sala´rio m´ınimo e´ igual a R$ 750, 00 e que no meˆs de dezembro o sala´rio foi de R$ 1860, 00, responda os itens a seguir. (a) (1.0 pt) Determine o valor total de vendas no meˆs de dezembro. (b) (1.0 pt) Considerando que em janeiro, do ano seguinte, as vendas cairam 25%, determine o sala´rio do vendedor no meˆs de janeiro. Soluc¸a˜o: (a) Seja S o sala´rio do vendedor no meˆs de dezembro e V o valor total de vendas. Logo, S = 2 · sala´rio m´ınimo+ 5% do total de vendas. Ou seja, 1860 = 2 · 750 + 5 100 · V =⇒ 5 100 · V = 1860− 2 · 750 =⇒ 5 100 · V = 1860− 1500 =⇒ 5 100 · V = 360 =⇒ V = 7200. Logo, o valor total de vendas no meˆs de dezembro e´ igual a R$ 7200,00. (b) Como as vendas cairam 25% isto equivale a dizer que houve uma perda de 25% de V . Ou seja, houve uma perda de R$ 1800,00. Assim, em janeiro, o total de vendas foi de 7200− 1800 = 5400. E, portanto, o sala´rio de janeiro e´ igual a 1500 + 5 100 · 5400 = 1500 + 270 = 1770. Logo, o sala´rio do meˆs de janeiro e´ R$ 1770,00. Questa˜o 4 (2.5 pts) : O resultado de cada uma das expresso˜es abaixo e´ igual a um nu´mero real. Determine-os. a) (1.0 pt) 7 2 −√5 ( 9 5 ) − 6 12 ÷ ( 8 27 ) 1 3 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 b) (1.5 pt) 1 (4− 2b)2 [ 16− b4 4− b2 − 4b ] . Assuma que b 6= 2,−2. Soluc¸a˜o: a) 7 2 − √ 5 ( 9 5 ) − 6 12 ÷ ( 8 27 ) 1 3 = 7 2 − √ 5 ( 9 5 ) − 1 2 ÷ 3 √ 8 3 √ 27 = 7 2 − √ 5 ( 5 9 ) 1 2 ÷ 3 √ 8 3 √ 27 = 7 2 − √ 5 (√ 5√ 9 ) ÷ 2 3 = 7 2 − √ 5 (√ 5 3 ) · 3 2 = 7 2 − 5 2 = 1. b) 1 (4− 2b)2 [( 16− b4 4− b2 ) − 4b ] = 1 (4− 2b)2 [( (4− b2)(4 + b2) 4− b2 ) − 4b ] = 1 (4− 2b)2 [ 4 + b2 − 4b] = 1 (4− 2b)2 (b− 2) 2 = 1( 2 (2− b))2 (2− b)2 = 1 4 (2− b)2 (2− b) 2 = 1 4 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar