MTM5169_Aula12

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CÁLCULO 2A
TÓPICO – SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
Aula 12 – Convergência da Série de Taylor
Pn (x) ( n-ésimo polinômio de Taylor em torno de x0, cujo valor e as n-ésimas primeiras derivadas coincidem com aquelas de f em x0.
Assim é razoável esperar que, à medida em que n cresce, os valores do polinômio de Taylor devem convergir para o valor de f (x) em torno de x0, ou seja:
 quando 
Mas Pn (x) corresponde à n-ésima soma parcial da série de Taylor para f e a séria de Taylor converge para f (x) que é a sua soma.
A questão que surge é: há um intervalo em torno de x0 para o qual a série converge para f (x), pra x pertencente a este intervalo?
Isso é óbvio para o ponto x0, dadas as condições com que Pn (x) foi criado.
n-ésimo resto para f em torno de x = xo
Ou seja: 
 ( fórmula de Taylor com resto
A igualdade 
é verdadeira em um ponto x se, e somente se, 
.
A estimativa deste resto não é trivial e não será abordada neste curso.
Para se aproximar o valor de uma função f em torno de x usando uma série de Taylor, duas questões devem ser respondidas:
Em torno de quais pontos a série de Taylor deve ser expandida?
Quantos termos na série devem ser usados para alcançar a precisão desejada?
Resposta:
Em pontos x0 próximos de x, nos quais as derivadas de f possam ser facilmente calculadas.
Depende de cada caso.
Funções Exponenciais
Pode-se provar que a série de MacLaurin converge para ex, para todo x, isto é:
para 
Funções Logarítmicas
A série de MacLaurin:
		
Convergência muito lenta ( pouco uso prático.
Mas se substituirmos x por –x:
e substituirmos as funções
		
Série Binomial
Se m for um número real, então a série de MacLaurin para (1+x)m é chamada de série binomial e é dada por:
Se m é inteiro não negativo, todas as derivadas (m+1)-ésimas são nulas e portanto a série se reduz à expansão binomial familiar:
		
Porém, pode-se provar que esta série binomial converge para (1+x)m se |x| < 1. O u em notação sigma:
	se |x| < 1
Obs: estudar tabela 2.9.1 (página 106).
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_1033628693.unknown
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_1033806637.unknown
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_1033628978.unknown
_1033629320.unknown
_1033628760.unknown
_1033628823.unknown
_1033628597.unknown
_1033401905.unknown
_1033626281.unknown
_1033626597.unknown
_1033628528.unknown
_1033404580.unknown
_1033401803.unknown