Formulário Geometria das Massas Momento Estático

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A1.1 
Anexo 1 
FORMULÁRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS 
A1.1 INTRODUÇÃO 
Neste anexo é apresentado sumariamente as expressões mais utilizadas no 
estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis metálicos vulgarmente 
utilizadas no projecto de estruturas metálicas. 
A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G 
Quadro A1.1 – Centros de gravidade. 
 Peso específico variável Peso específico constante 
Sistema discreto 
gmp kk ⋅= 
Ak 
O 
z 
x 
y 
kr
r
 
G 
 
 
∑
=
⋅⋅=− n
k
kk rpp
OG
1
1 r ∑
=
⋅⋅=− n
k
kk rVV
OG
1
1 r 
Sistema contínuo 
dmgdp ⋅= 
O 
z 
x 
y 
rr 
 
dm G 
 
∫ ⋅=−
M
dmgr
p
OG r1 ∫⋅=−
V
dVr
V
OG r1 
Formulário da geometria de massas 
A1.2 
A1.3 MOMENTOS ESTÁTICOS (OU DE 1ª ORDEM) DE UMA 
SUPERFÍCIE PLANA 
Quadro A1.2 – Momentos estáticos de uma superfície plana e sua relação com as 
coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade. 
 Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY 
y 
x 
O 
G xG 
yG 
y 
yG 
x xG 
da 
 
 
G
A
x yAdayS ⋅== ∫ G
A
y xAdaxS ⋅== ∫ 
Nota: O sistema de eixos OxGyG é designado de sistema de eixos baricentrico. 
 
Quadro A1.3 – Casos particulares. 
1. Momento estático em relação a um eixo baricentrico 
y 
x 
O
G
 
 
0=yS 
2. Momento estático em relação a um eixo de simetria de 
uma superfície homogénea 
y 
x 
O
 
 
0=yS 
3. Momentos estáticos de uma superfície homogénea 
duplamente simétrica 
y 
x 
O
 
 
0=xS e 0=yS 
Anexo 1 
A1.3 
A1.4 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS 
Quadro A1.4 – Momentos de inércia de superfícies planas. 
 Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY 
y 
x 
O 
y 
x 
da 
 
 
∫=
A
x dayI
2 ∫=
A
y daxI
2 
Quadro A1.5 – Teoremas associados ao cálculo de momentos de inércia. 
 Teorema dos 
eixos paralelos 
Teorema de Steiner 
(d'G = 0) 
 
'2
' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆ 2dAII G ⋅+= ∆∆ 
Quadro A1.6 – Momento de inércia polar. 
y 
x 
O 
y 
x 
da 
),( yxrr 
 
 
∫=
A
O darI
2 
Quadro A1.7 – Relação do momento de inércia polar com os momentos de inércia. 
""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+= 
Quadro A1.8 – Raio de giração. 
∆
P da 
r∆ d 
 
 
A
Ir ∆∆ = 
Formulário da geometria de massas 
A1.4 
Quadro A1.9 – Produto de inércia. 
y 
x 
O 
y 
x 
da 
 
 
∫ ⋅=
A
xy dayxI 
Quadro A1.10 – Teoremas associados ao cálculo de produtos de inércia. 
 Teorema dos 
eixos paralelos 
Teorema de Steiner 
(a = 0 e b = 0) 
 
GG
xyyx
yAbxAa
AbaII
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+='' AbaII GG yxyx ⋅⋅+='' 
A1.5 DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE 
SUPERFÍCIES PLANAS POR ROTAÇÃO DO SISTEMA DE EIXOS 
Quadro A1.11 – Determinação de momentos de inércia e produtos de inércia por 
rotação do sistema de eixos. 
 
 
y 
x 
O 
x' 
y' 
α 
α 
 
 
ααα 2sensencos 22' ⋅−⋅+⋅= xyyxx IIII 
ααα 2sencossen 22' ⋅+⋅+⋅= xyyxy IIII 
)sen(coscossen)( 22'' αααα −⋅+⋅⋅−= xyyxyx IIII 
ou, em alternativa, 
αα 2sen2cos
22'
⋅−⋅−++= xyyxyxx IIIIII 
αα 2sen2cos
22'
⋅+⋅−−+= xyyxyxy IIIIII 
αα 2cos2sen
2''
⋅+⋅−= xyyxyx IIII 
Anexo 1 
A1.5 
A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE 
INÉRCIA 
 
Quadro A1.11 – Momentos de principais de inércia e eixos principais de inércia. 
y 
x 
O
x1 
y1 
α 
α 
 
 
22
1 4)(2
1
2 xyyx
yx III
II
I ⋅+−⋅++= 
22
2 4)(2
1
2 xyyx
yx III
II
I ⋅+−⋅−+= 




−
⋅−⋅=
yx
xy
II
I2
arctg
2
1α 
 
 
Quadro A1.12 – Momentos de principais centrais de inércia e eixos principais 
centrais de inércia. 
yG 
xG 
x'G 
y'G 
αG 
α G 
 
G 
 
22
1 4)(2
1
2 GGGG
GG
G yxyx
yx III
II
I ⋅+−⋅++= 
22
2 4)(2
1
2 GGGG
GG
G yxyx
yx III
II
I ⋅+−⋅−+=




−
⋅−⋅=
GG
GG
yx
yx
G II
I2
arctg
2
1α 
 
 
 
Formulário da geometria de massas 
A1.6 
A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFÍCIES PLANAS 
CORRENTES 
 
Quadro A1.13 – Momentos estáticos. 
Secções Momento estático Secções Momento estático 
1. Rectângulo 
 
 
4. Meio-círculo 
2. Triângulo 
 
5. Quarto de círculo 
 
 
3. Círculo 6. Parábola 
 
 
 
 
Anexo 1 
A1.7 
Quadro A1.14 – Centros de gravidade e momentos de inércia. 
Secções Momentos inércia 
Centros de gravidade
Secções Momentos de inércia
Centros de gravidade
1. Triângulo 
 
 
 
4. Círculo 
 
 
 
2. Rectângulo 
 
 
 
5. Meio-círculo 
 
 
 
3. Quadrado 
 
 
 
6. Quarto-círculo
 
 
Formulário da geometria de massas 
A1.8 
Quadro A1.15 – Produtos de inércia. 
Secções Produtos de inércia 
1. Rectângulo 
 
 
 
 
 
2. Triângulo 
 
 
 
 
 
Quadro A1.16 – Raios de giração. 
Secções Raios de giração Secções Raios de giração 
1. Rectângulo 
 
3. Triângulo 
 
2. Quadrado 
 
 4. Círculo 
 
Anexo 1 
A1.9 
A1.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNS PERFIS 
METÁLICOS 
 
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da. 
Formulário da geometria de massas 
A1.10 
 
 
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da. 
 
Anexo 1 
A1.11 
 
 
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.