Operações com Matrizes

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Questão 1/10 
Dadas as matrizes A, B e C, calcule: A + 2B 
 
 
A 
 
 
B 
 
Você acertou! 
 
C 
 
 
D 
 
Questão 2/10 
Dadas as matrizes A, B e C, calcule a matriz resultante de
 
 
A 
 
Você acertou! 
A + 2B – 3C. 
 
 
e C, calcule a matriz resultante de 2A – 3B + 4C: 
 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
Questão 3/10 
Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir:
 
 
 
A 
 
 
B 
 
Você acertou! 
 
C 
 
 
D 
 
 
Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir:
 
Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir: 
 
Questão 4/10 
Dadas as matrizes A, B e C (ver abaixo), analise cada proposição dada a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
escolha a alternativa correta. 
 
 
( ) A matriz A está na forma escada reduzida por linhas.
( ) A matriz B está na forma escada reduzida por linhas.
( ) A matriz C está na forma escada reduzida por linhas.
( ) as três matrizes, A, B e C, estão na forma escada reduzi
 
A V V V F 
 
 
 
B V F F V 
 
 
 
C F F V V 
 
D V V F F 
Você acertou! 
Resolução: 
Somente as matrizes A e B são matrizes na forma 
escada reduzida por linhas, pois atendem a todas as 
condições de uma matriz escalonada 
que contêm pivô na matriz C deveriam ter todos os 
demais elementos iguais a zero, o que não é o caso.
Questão 5/10 
Suponha conhecidas as matrizes A 2x3, B 2x3 e C
assinale a alternativa correta: 
( ) É possível calcular A + C e a matriz resultante será 2x2.
( ) A matriz resultante do produto A.B é 2x3. 
( ) A matriz resultante do produto B.A é 3x2. 
( ) É possível calcular o produto B.C, assim como o produto C.B.
 
A V F V F 
 
B F V F V 
 
 
 
C V V V F 
 
 
 
D F F F V 
Você acertou! 
Resolução: 
1. a) FALSO: A e C não são do mesmo tipo, 
analise cada proposição dada a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
 
( ) A matriz A está na forma escada reduzida por linhas. 
( ) A matriz B está na forma escada reduzida por linhas. 
( ) A matriz C está na forma escada reduzida por linhas. 
( ) as três matrizes, A, B e C, estão na forma escada reduzida por linhas. 
es A e B são matrizes na forma 
escada reduzida por linhas, pois atendem a todas as 
condições de uma matriz escalonada – as colunas 
que contêm pivô na matriz C deveriam ter todos os 
demais elementos iguais a zero, o que não é o caso. 
e C 3x2. Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas. Depois 
( ) É possível calcular A + C e a matriz resultante será 2x2. 
 
 
( ) É possível calcular o produto B.C, assim como o produto C.B. 
a) FALSO: A e C não são do mesmo tipo, 
analise cada proposição dada a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
 
. Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas. Depois 
condição necessária para a soma de 
matrizes. 
2. b) FALSO: o produto A.B não pode ser 
efetuado. 
3. c) FALSO: o produto B.A nã
efetuado. 
4. d) VERDADEIRO: ambos os produtos, B.C 
e C.B, podem ser calculados.
Questão 6/10 
Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir:
 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
Você acertou! 
Questão 7/10 
Classifique o sistema de equações lineares dado por:
 
 
 
A Apenas com esses dados é impossível classificar o sistema
 
 
condição necessária para a soma de 
b) FALSO: o produto A.B não pode ser 
c) FALSO: o produto B.A não pode ser 
d) VERDADEIRO: ambos os produtos, B.C 
e C.B, podem ser calculados. 
Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir:
Classifique o sistema de equações lineares dado por: 
Apenas com esses dados é impossível classificar o sistema 
 
Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir: 
 
 
B SPD 
 
 
Você acertou! 
 
C SPI 
 
 
 
D Sistema homogêneo
Questão 8/10 
Utilizando-se o Método de Gauss-Jordan, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado a seguir:
 
 
 
A 
 
 
B 
 
Você acertou! 
Sistema homogêneo 
, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado a seguir:
 
, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado a seguir: 
 
C 
 
 
D 
 
Questão 9/10 
Sobre o sistema de equações lineares dado pelo sistema representado abaixo, analise as proposições a seguir e marque V para a
F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
 
 
 
A F V F V 
 
 
 
Sobre o sistema de equações lineares dado pelo sistema representado abaixo, analise as proposições a seguir e marque V para a
a correta: 
 
Sobre o sistema de equações lineares dado pelo sistema representado abaixo, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e 
 
 
B V V F F 
 
 
Você acertou! 
 
C V F V V 
 
 
 
D V F F V 
Questão 10/10 
 
 
Utilizando-se o Método de Gauss-Jordan, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado por:
 
 
 
A 
 
Você acertou! 
 
B 
 
, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado por: 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 1/10 
Classifique o sistema a seguir: 
 
 
 
A Sistema Impossível 
 
 
Você acertou! 
 
B Sistema Possível e De
 
 
 
C Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 
 
 
D Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 
Sistema Impossível - SI 
Sistema Possível e Determinado - SPD 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI 
 
Questão 2/10 
Classifique o sistema a seguir: 
 
 
 
A Sistema Impossível 
 
 
 
B Sistema Possível e Determinado 
 
 
 
C Sistema Possível e Indetermi
 
 
Sistema Impossível - SI 
Sistema Possível e Determinado - SPD 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 
 
nado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI 
 
D Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 
Questão 3/10 
Ao resolver corretamente um sistema de equações lineares pelo
abaixo. Em relação à essa matriz “A”, analise as proposições abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
alternativa correta: 
 
Matriz “A” = 
 
( ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0;
( ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1;
( ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa;
( ) Uma solução do sistema é: (1, 2, 0) 
 
A V V V V 
 
B V F F V 
 
C V F F F 
Resolução: 
i) VERDADEIRO: o grau de liberdade do sistema é 
igual a 0 (todas as colunas da matriz dos coeficientes 
possuem pivô) e pode ser classificado como SPD.
ii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a 
primeira, que é verdadeira.
iii) FALSO: afirmativa falsa porque contrariaa 
primeira, que é verdadeira.
iv) FALSO: O terno ordenado apresentado não é 
uma solução para o si
possui duas incógnitas 
pares ordenados (possuem duas coordenadas e não 
três). 
 
D F V V F 
Questão 4/10 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 
Ao resolver corretamente um sistema de equações lineares pelo Método de Gauss-Jordan, um engenheiro encontrou a matriz “A” mostrada mais 
abaixo. Em relação à essa matriz “A”, analise as proposições abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
, pois seu grau de liberdade é 0; 
, pois seu grau de liberdade é 1; 
, pois foi obtida uma equação falsa; 
i) VERDADEIRO: o grau de liberdade do sistema é 
igual a 0 (todas as colunas da matriz dos coeficientes 
vô) e pode ser classificado como SPD. 
ii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a 
primeira, que é verdadeira. 
iii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a 
primeira, que é verdadeira. 
iv) FALSO: O terno ordenado apresentado não é 
uma solução para o sistema, até porque, o sistema 
possui duas incógnitas – portanto, suas soluções são 
pares ordenados (possuem duas coordenadas e não 
 
Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI 
 
, um engenheiro encontrou a matriz “A” mostrada mais 
abaixo. Em relação à essa matriz “A”, analise as proposições abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a 
 
• Após resolver um sistema de equações lineares pelo
abaixo. Em relação à essa matriz “W”, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depo
assinale a alternativa correta: 
 
Matriz “W” = 
( ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0;
( ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1;
( ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa;
( ) A matriz encontrada não está no formato esc
 
A V F V V 
 
B V F F V 
 
C F F V F 
Você acertou! 
Resolução: 
o sistema é Impossível, já que foi obtida uma 
equação falsa (terceira linha da matriz).
 
D F V V F 
Questão 5/10 
Analise as afirmativas em relação à equações lineares e a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois ass
correta: 
( ) Ao se obter a matriz escada reduzida por linhas correspondente a um sistema de equações lineares, pode
pela análise do seu grau de liberdade. 
( ) Depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan
uma equação falsa. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de equações e de incógnitas pode ser classificado apenas pel
determinante da sua matriz dos coeficientes. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo pode ser impossível, mas tal situação acontece raramente.
 
A V V F V 
 
B V F F V 
 
C V F F F 
 
D F V V F 
Você acertou! 
Resolução: 
i) FALSO: além do grau de liberdade é preciso 
avaliar se há uma (ou mais) equações falsas, o que 
resultaria em um sistema impossível.
ii) VERDADEIRO: é porque isto acontece que 
pode classificar os sistemas impossíveis usando 
oMétodo de Gauss-Jordan
iii) VERDADEIRO: neste caso, pode
se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do 
determinante da matriz dos coeficientes: se for nulo, 
Após resolver um sistema de equações lineares pelo Método de Gauss-Jordan, você encontrou a matriz “W”, apresentada mais 
abaixo. Em relação à essa matriz “W”, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depo
, pois seu grau de liberdade é 0; 
, pois seu grau de liberdade é 1; 
, pois foi obtida uma equação falsa; 
) A matriz encontrada não está no formato escada reduzido por linhas. 
o sistema é Impossível, já que foi obtida uma 
(terceira linha da matriz). 
Analise as afirmativas em relação à equações lineares e a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois ass
se obter a matriz escada reduzida por linhas correspondente a um sistema de equações lineares, pode-se classificar este sistema apenas 
Jordan em um sistema de equações lineares impossível, necessariamente terá sido obtida pelo menos 
) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de equações e de incógnitas pode ser classificado apenas pel
 
) Um sistema de equações lineares homogêneo pode ser impossível, mas tal situação acontece raramente. 
i) FALSO: além do grau de liberdade é preciso 
avaliar se há uma (ou mais) equações falsas, o que 
resultaria em um sistema impossível. 
ii) VERDADEIRO: é porque isto acontece que se 
pode classificar os sistemas impossíveis usando 
-Jordan. 
iii) VERDADEIRO: neste caso, pode-se determinar 
se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do 
determinante da matriz dos coeficientes: se for nulo, 
, você encontrou a matriz “W”, apresentada mais 
abaixo. Em relação à essa matriz “W”, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois 
 
Analise as afirmativas em relação à equações lineares e a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa 
se classificar este sistema apenas 
es impossível, necessariamente terá sido obtida pelo menos 
) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de equações e de incógnitas pode ser classificado apenas pela análise do 
o sistema é SPI, se for diferente de zero, o sistema é 
SPD. 
iv) FALSO: um sistema de equações lineares 
homogêneo é sempre possível. 
 
Questão 6/10 
Analise as proposições a seguir que abordam o assunto “sistemas lineares” e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, a seguir assinale a 
alternativa correta: 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo sempre possui solução. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de incógnitas e de equações pode ser classificado pela análise do 
determinante da sua matriz dos coeficientes. 
( ) Um sistema de equações lineares com grau de liberdade igual a 2 e que não possua equações falsas pode ser classificado como SPI, isto é, 
Sistema Possível e Indeterminado. 
( ) Em um sistema de equações lineares o grau de liberdade indica quantas são as soluções existentes, isto é, se o grau de liberdade é igual a 2, 
o sistema terá somente duas soluções. 
( ) Um sistema de equações lineares com mais incógnitas do que equações nunca será SPD, isto é, nunca será um Sistema Possível e 
Determinado. 
 
A V V F V V 
 
B V V V F V 
Você acertou! 
Resolução: 
1. a) VERDADEIRO: um sistema de equações 
lineares homogêneo sempre possui pelo 
menos a solução trivial (todas as incógnitas 
com valor nulo). 
2. b) VERDADEIRO: neste caso, pode-se 
determinar se o sistema é SPD ou SPI 
apenas pela análise do determinante da 
matriz dos coeficientes: se for nulo, o 
sistema é SPI, se for diferente de zero, o 
sistema é SPD. 
3. c) VERDADEIRO: este é o critério 
utilizado para se classificar um sistema 
depois de aplicado o Método de Gauss-
Jordan. 
4. d) FALSO: um sistema de equações lineares 
pode não possuir solução, possuir apenas 
uma solução ou uma quantidade ilimitada de 
soluções – não ocorrerá de, por exemplo, 
possuir apenas duas soluções. O grau de 
liberdade indica quantas são as variáveis 
livres do sistema (as incógnitas que podem 
assumir um valor qualquer para serem 
determinadas soluções do sistema). 
5. e) VERDADEIRO: para ser SPD o sistema 
teria de, necessariamente, ter grau de 
liberdade igual a zero, mas, neste caso, o 
grau de liberdade sempre será positivo – 
depois de escalonada a matriz ampliada do 
sistema, sempre haverá pelo menos uma 
coluna da matriz dos coeficientes sem pivô. 
 
C V V F V F 
 
D F F V F F 
Questão 7/10 
Analise as alternativas e assinale a alternativa
 
A É possível e indeterminado(SPI) o sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
por linhas é: 
 
 
 
 
B É possível e indeterminado (SPI) o sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
por linhas é: 
 
C É igual a 1 o grau de liberdade do sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
por linhas é:
 
D É possível e indeterminado (SPI) o sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
por linhas é:
Você acertou! 
Resolução: 
a) FALSO: o sistema é possível e determinado 
(SPD), já que o grau de liberdade é igual a 0 e não 
há equação falsa. 
b) FALSO: o sistema é impossível (SI), já que 
apresenta duas equações falsas.
c) FALSO: o grau de liberdade é igua
colunas sem pivô na matriz dos coeficientes).
d) VERDADEIRO: o grau de liberdade é igual a 2 
(há duas colunas sem pivô na matriz dos 
coeficientes) e não há equação falsa, portanto, o 
sistema pode ser classificado como SPI.
Questão 8/10 
Analise as alternativas e assinale a alternativa verdadeira: 
É possível e indeterminado (SPI) o sistema de 
neares cuja matriz escada reduzida 
 
É possível e indeterminado (SPI) o sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
 
É igual a 1 o grau de liberdade do sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
 
É possível e indeterminado (SPI) o sistema de 
equações lineares cuja matriz escada reduzida 
 
a) FALSO: o sistema é possível e determinado 
(SPD), já que o grau de liberdade é igual a 0 e não 
b) FALSO: o sistema é impossível (SI), já que 
apresenta duas equações falsas. 
c) FALSO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas 
colunas sem pivô na matriz dos coeficientes). 
d) VERDADEIRO: o grau de liberdade é igual a 2 
(há duas colunas sem pivô na matriz dos 
coeficientes) e não há equação falsa, portanto, o 
sistema pode ser classificado como SPI. 
 
 
Analise as proposições a seguir e marque V paras as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta: 
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um espaço vetorial. 
( ) O conjunto R³, de todos os vetores (x,y,z), é um espaço vetorial. 
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z). 
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z), mas não é um espaço 
vetorial. 
 
A V V V V 
 
B V F F V 
 
C V F F F 
 
D V V V F 
Você acertou! 
Resposta: 
Como R² está contido em R³ e ambos são espaços 
vetoriais, sendo R² um subespaço vetorial de R³, 
pode-se afirmar que a alternativa d é a única 
alternativa incorreta. 
 
Questão 9/10 
Seja “V” um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k um 
escalar real: 
i u + v = v + u 
ii Existe um elemento 0 pertencente a V tal que 0 + u = u + 0 = u, para todo u pertencente a V. 
iii Se u e v pertencem a V, o produto vetorial entre u e v, denotado por uxv, também pertencente a V. 
iv Dado um escalar k e um objeto u qualquer de V, ku pertence a V. 
 
Neste caso, “V” deve atender obrigatoriamente a: 
 
A somente aos axiomas i e iv, enunciados acima. 
 
B somente aos axiomas ii, iii e iv enunciados 
acima. 
 
C somente aos axiomas ii e iii enunciados acima. 
 
 
 
D somente aos axiomas i, ii, iv enunciados acima. 
Você acertou! 
Resolução: 
Como os axiomas enunciados em i, ii e iv fazem 
parte da definição de espaço vetorial (estão dentro o 
conjunto de dez axiomas listados na definição), V 
deve obrigatoriamente atendê-los – diferentemente 
do axioma enunciado em iii que não participa da 
definição de espaços vetoriais e, portanto, pode ou 
não ser atendido por V. 
 
Questão 10/10 
Seja “V” um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V 
e k e l escalares reais: 
i u + (v + w) = (u + v) + w 
ii Para cada u pertencente a V há um objeto –u também pertencente a V tal que u + (–u) = (–u) + u = 0. 
iii k(u + v) = (ku + kv) 
iv (k + l)u = ku + lu 
v K(lu) = (kl)u 
Neste caso, “V” deve atender obrigatoriamente a: 
 
A somente aos axiomas i, iii, iv e v enunciados 
acima. 
 
B somente aos axiomas ii, iii e v enunciados 
acima. 
 
C somente aos axiomas i, ii, iii e iv enunciados 
acima. 
 
D todos os axiomas enunciados acima. 
Você acertou! 
Resolução: 
Como todos os axiomas listados acima participam 
da definição de espaço vetorial (isto é, estão listados 
entre os dez axiomas da definição), todos os 
axiomas enunciados acima devem ser atendidos pelo 
espaço vetorial V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 1/10 
Dado um conjunto “V”, deseja-se verificar se “V” é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação pode ser 
feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial. 
 
A De acordo com a definição de espaço vetorial, 
V deve ser um conjunto não vazio, portanto, 
deve-se verificar se V atende a esta condição. 
Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas 
listados na definição de espaço vetorial são 
verdadeiros para V – esta verificação deve ser 
realizada genericamente. 
Você acertou! 
alternativa “a” 
 
B De acordo com a definição de espaço vetorial, 
V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se 
verificar se V atende a esta condição. Em 
seguida, deve-se verificar se os dez axiomas 
listados na definição de espaço vetorial são 
verdadeiros para V – esta verificação deve ser 
realizada globalmente. 
 
C De acordo com a definição de espaço vetorial, 
V deve ser um conjunto não vazio, portanto, 
deve-se verificar se V atende a esta condição. 
Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez 
axiomas listados na definição de espaço vetorial 
são verdadeiros para V – esta verificação deve 
ser realizada genericamente. 
 
D De acordo com a definição de espaço vetorial, 
V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se 
verificar se V atende a esta condição. Em 
seguida, deve-se verificar se alguns dos dez 
axiomas listados na definição de espaço vetorial 
são verdadeiros para V – esta verificação deve 
ser realizada globalmente. 
 
Questão 2/10 
Analise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(4,7);(1,3);(1,1)} , depois assinale 
a alternativa correta: 
( ) A é linearmente dependente. 
( ) A gera todo o espaço R². 
( ) A é uma base de R². 
( ) O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A. 
 
A V F F F 
 
B V F V V 
 
 
 
C V V F F 
 
 
Você acertou! 
Resolução: 
Item i) Verdadeiro: é linearmente dependente todo 
conjunto de vetores de R² que contenha mais do que 
dois vetores. 
Item ii) Verdadeiro: o conjunto A é gerador de R². 
Item iii) Falso: A não é uma base de R², já que o 
conjunto A é linearmente dependente. 
Item iv) Falso: já que A é linearmente dependente, 
há inúmeras combinações lineares possíveis dos 
vetores de A que resultam em v. 
 
D F F V V 
 
Questão 3/10 
Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não um 
espaço vetorial: 
Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0) 
Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta: 
 
A R² com a operação de produto por escalar tal 
como indicado no enunciado é um espaço 
vetorial pois atende ao axioma 10 da definição 
de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o 
que é verdade quando y for não-nulo.B R² com a operação de produto por escalar tal 
como indicado no enunciado é um espaço 
vetorial pois atende ao axioma 10 da definição 
de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o 
que não é verdade quando y for nulo. 
 
C R² com a operação de produto por escalar tal 
como indicado no enunciado não é um espaço 
vetorial pois não atende ao axioma 10 da 
definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o 
que não é verdade quando y for não-nulo. 
Você acertou! 
alternativa “c” 
 
D R² com a operação de produto por escalar tal 
como indicado no enunciado não é um espaço 
vetorial pois não atende ao axioma 10 da 
definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o 
que é verdade quando y for não
Questão 4/10 
Dados os sistemas de equações lineares S1 e S
assinale a alternativa correta: 
 
 
( ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³.
( ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³.
( ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo.
( ) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo.
 
A V F V F 
 
B V V F F 
 
 
 
C F V F V 
 
 
Você acertou! 
S1 é um sistema não
suas soluções não é um espaço vetorial de R³.
S2 é um sistema homogêneo e o conjunto de suas 
soluções é um espaço vetorial de R³.
Sendo assim, são verdadeiras apenas as proposições 
2 e 4. 
 
D F F V V 
Questão 5/10 
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apr
 
A O conjunto de todas as matrizes reais de duas 
linhas e uma coluna, M
vetorial do conjunto de todas as matrizes reais 
de “m” linhas e “1” c
número inteiro maior do que 2.
 
B O conjunto de todos os polinômios reais de grau 
3 é um espaço vetorial real.
 
 
 
C O conjunto de todos os polinômios reai
3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos 
os polinômios reais de grau 4.
que é verdade quando y for não-nulo. 
e S2 a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois 
 
é um subespaço vetorial de R³. 
é um subespaço vetorial de R³. 
é um sistema de equações lineares homogêneo. 
é um sistema de equações lineares homogêneo. 
é um sistema não-homogêneo e o conjunto de 
suas soluções não é um espaço vetorial de R³. 
um sistema homogêneo e o conjunto de suas 
soluções é um espaço vetorial de R³. 
Sendo assim, são verdadeiras apenas as proposições 
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial: 
O conjunto de todas as matrizes reais de duas 
linhas e uma coluna, M2x1, é um subespaço 
vetorial do conjunto de todas as matrizes reais 
de “m” linhas e “1” coluna, Mmx1, sendo “m” um 
número inteiro maior do que 2. 
O conjunto de todos os polinômios reais de grau 
3 é um espaço vetorial real. 
O conjunto de todos os polinômios reais de grau 
3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos 
os polinômios reais de grau 4. 
 
a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois 
 
 
 
 
D O conjunto de todos os polinômios reais de grau 
2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se 
pode dizer do conjunto de todos os
reais de grau 3. 
Você acertou! 
Resolução: 
A alternativa “d” é falsa, pois, o conjunto de todos 
os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial.
Questão 6/10 
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsa
 
 
( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 
entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x. 
( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode 
ser entendida como: 
( ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação 
 
A V F V 
 
B F F V 
 
 
 
C V V F 
 
 
 
D V V V 
Você acertou! 
Todas as proposições estão corretas...
Questão 7/10 
Dada a expressão c1.u + c2.v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta:
 
a) Se existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de
 
b) Se não existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v.
 
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c
 
A Nenhuma das afirmativas acima está correta.
 
B Somente a afirmativa “a” acima está correta.
 
C Somente as afirmativas “a e c” acima estão 
corretas. 
 
 
O conjunto de todos os polinômios reais de grau 
2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se 
pode dizer do conjunto de todos os polinômios 
A alternativa “d” é falsa, pois, o conjunto de todos 
os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial. 
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta:
) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 
 
e entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode 
 
A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 4).
ições estão corretas... 
analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta: 
reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v. 
reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v.
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c1 e c2 reais tais que a expressão dada é verdadeira. 
Nenhuma das afirmativas acima está correta. 
Somente a afirmativa “a” acima está correta. 
Somente as afirmativas “a e c” acima estão 
 
s, depois assinale alternativa correta: 
) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser 
e entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode 
linear dos vetores (2, 3) e (1, 4). 
 
 
reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v. 
 
D Todas as afirmativas acima estão corretas.
Você acertou! 
As três afirmativas estão corretas
Questão 8/10 
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c
relação as soluções. 
 
A Sistema Homogêneo, somente com a solução 
trivial. 
 
B Sistema Impossível.
 
 
 
C Sistema Possível e Determinado.
 
 
 
D Sistema Possível e Indeterminado.
Você acertou! 
Resolução: 
O sistema de equações lineares dado pela equação
c1.(1,2) + c2.(0,1) + c
 
certamente possui soluções, pois se
além disso, possui inúmeras soluções 
o sistema gerado pela equação (abaixo), quando 
reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo 
dois pivôs e, então, será certamente SPI:
 
 
Questão 9/10 
Analise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em relação à reta gerada:
 
A Dado S = {(1,2)} tem
 
B Dado S = {(1,2);(2,4)} tem
 
 
 
C Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem
= R³. 
 
 
Você acertou! 
Somente a alternativa c está correta: os conjuntos 
Todas as afirmativas acima estão corretas. 
As três afirmativas estão corretas 
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c1.(1,2)+ c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0). Classifique o tipo de sistema em 
Sistema Homogêneo,somente com a solução 
Sistema Impossível. 
stema Possível e Determinado. 
Sistema Possível e Indeterminado. 
O sistema de equações lineares dado pela equação 
.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0) 
certamente possui soluções, pois será homogêneo e, 
além disso, possui inúmeras soluções – observe que 
o sistema gerado pela equação (abaixo), quando 
reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo 
dois pivôs e, então, será certamente SPI: 
 
s nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em relação à reta gerada:
Dado S = {(1,2)} tem-se ger(S) = R². 
Dado S = {(1,2);(2,4)} tem-se ger(S) = R². 
Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem-se ger(S) 
Somente a alternativa c está correta: os conjuntos 
 
0,0). Classifique o tipo de sistema em 
 
s nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em relação à reta gerada: 
das alternativas a e b geram apenas uma reta em R² e 
o conjunto da alternativa d gera uma reta em R³. 
 
D Dado S = {(1,2,3);(2,4,6);(3,6,9)} tem-se ger(S) 
= R³. 
 
Questão 10/10 
Analise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta: 
 
A A = {(1,2)} é linearmente dependente. 
 
B B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente. 
 
C C = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente. 
 
 
 
D D = {(1,2);(0,3);(5,1)} é linearmente 
dependente. 
Você acertou! 
Resolução: 
 
De acordo com a definição de conjunto linearmente 
dependente e de conjunto linearmente independente, 
está correta somente a alternativa d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 1/10 
Marque a alternativa correta quanto ao conjunto A = {(1,0,2);(0,1,1)}: 
 
A A é linearmente independente. 
Você acertou! 
Resolução: 
Como A é linearmente independente e não gera R³ e, 
além disso, não faz sentido falar em base de R², são 
falsas as alternativas b, c, d. 
 
B ger(A) = R³. 
 
C A não é base de R³, mas é uma base de R². 
 
 
 
D A é base de R³, mas não é uma base de R². 
 
Questão 2/10 
Considere a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0). Analise as alternativas e responda a correta em relação à como é possível classificá-la? 
 
A Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se são verdadeiras as duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-
se que é linear. 
Você acertou! 
Resolução: 
Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se são verdadeiras as duas condições 
dadas na definição de transformações lineares, a 
saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v): 
Dados u = (a,b,c) e v = (d,e,f), tem-se: 
T(u + v) = T(a+d,b+e,c+f) = (a+d,0,0). 
T(u)+ T(v) = T(a,b,c) + T(d,e,f) = (a,0,0) + (d,0,0) = 
(a+d,0,0). 
 
Portanto, a primeira condição se verificar. 
 
Verificação de k.T(u) = T(k.u): 
Dados u = (a,b,c) e k real, tem-se: 
k.T(u) = k.T(a,b,c) = k.(a,0,0) = (ka,0,0). 
T(k.u) = T(ka,kb,kc) = (ka,0,0). 
sendo assim, como a segunda condição também se 
verifica, T é uma transformação linear (neste caso, 
um operador linear de R³). 
 
B Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se são verdadeiras as duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0) obtém-
se que não é linear. 
 
C Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se é verdadeira uma das duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-
se que é linear. 
 
D Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se é verdadeira uma das duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-
se que não é linear. 
 
Questão 3/10 
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar: 
 
A não é uma base de R³. 
 
B é uma base de R³. 
 
 
Você acertou! 
 
C é um conjunto linearmente dependente.
 
 
 
D é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.
Questão 4/10 
Considere o conjunto S = {(1,2),(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de
 
A (v)s = (23; 28) 
 
B (v)s = (-23; 28) 
 
C (v)s = (23; -28) 
Você acertou! 
é um conjunto linearmente dependente. 
é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³. 
(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de v = (23,18) em relação a esta base.
 
 
= (23,18) em relação a esta base. 
 
D (v)s = (-23; -28) 
Questão 5/10 
Dada a expressão c1.u + c2.v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as 
falsas, depois assinale a aletrnativa correta: 
 
( ) Se {u,v} for uma base de R², então a equação sempre terá solução única para qualquer w de R².
( ) Se houver algum w para o qual a equação não tenha solução, então {u,v} não gera R².
( ) Se a equação tiver solução para qualquer w de R², então {u,v} é uma base de R².
 
A V V F 
Você acertou! 
Resolução: 
1. i) VERDADEIRO: se {u,v} for base de R², 
todo w de R² pode ser escrito de maneira 
única como combinação linear de u e v.
2. ii) VERDADEIRO: pela definição de 
conjunto gerado, para {u,v} gerar todo R² a 
equação deve ter solução para qualquer w de 
R². 
iii) FALSO: neste caso, pode
gera R², mas não que {u,v} é uma base de R², já que 
não se sabe se {u,v} é linearmente 
.v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as 
 
) Se {u,v} for uma base de R², então a equação sempre terá solução única para qualquer w de R². 
) Se houver algum w para o qual a equação não tenha solução, então {u,v} não gera R². 
ução para qualquer w de R², então {u,v} é uma base de R². 
i) VERDADEIRO: se {u,v} for base de R², 
todo w de R² pode ser escrito de maneira 
única como combinação linear de u e v. 
DADEIRO: pela definição de 
conjunto gerado, para {u,v} gerar todo R² a 
equação deve ter solução para qualquer w de 
iii) FALSO: neste caso, pode-se afirmar que {u,v} 
gera R², mas não que {u,v} é uma base de R², já que 
não se sabe se {u,v} é linearmente independente 
 
.v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as 
(condição necessária para que o conjunto seja uma 
base de R²). 
 
B V F V 
 
C F F V 
 
D V V V 
Questão 6/10 
Verifique se o conjunto {(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para 
este conjunto. 
 
A conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI. 
Você acertou! 
 
B conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI
 
 
 
C conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPI.
 
 
 
D conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPD
Questão 7/10 
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x,
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta:
(condição necessária para que o conjunto seja uma 
{(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para 
conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI. 
conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI 
conjunto é LI pois o sistemagerado pela equação é SPI. 
s o sistema gerado pela equação é SPD 
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x,
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta: 
 
{(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para 
 
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1) ?. 
 
A Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se são verdadeiras as duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), 
obtém-se que é linear. 
 
B Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se são verdadeiras as duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), 
obtém-se que não é linear. 
Você acertou! 
Resolução: 
Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se são verdadeiras as duas condições 
dadas na definição de transformações lineares, a 
saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v): 
Dados u = (a,b) e v = (c,d), tem-se: 
T(u + v) = T(a+c,b+d) = (a+c,b+d,a+c+1) 
T(u)+ T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (a,b,a+1) + (c,d,c+1) 
= (a+c,b+d,a+c+2). 
 
Como T(u + v) não é igual a T(u)+ T(v), T não é 
uma transformação linear. 
 
C Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se é verdadeira uma das duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), 
obtém-se que é linear. 
 
D Para verificar se T é uma transformação linear, 
deve-se checar se é verdadeira uma das duas 
condições dadas na definição de transformações 
lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), 
obtém-se que não é linear. 
Questão 8/10 
Seja T a transformação linear de matriz canônica igual a 
 
Então, está correta a alternativa: 
 
A T é uma transformação de R³ em R².
 
B T é um operador linear de R³.
 
C T(3,4) = (3,10,13). 
 
 
Você acertou! 
 
D T(3,10,13) = (3,4). 
Questão 9/10 
Considerando a transformação linear T(x,y) = (x,
 
 
 
A Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = {(1, 
 
B Nuc(T) = {(1, -3)} e Im(T) = {(0, 0)}
 
C Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = R
Seja T a transformação linear de matriz canônica igual a . 
T é uma transformação de R³ em R². 
T é um operador linear de R³. 
 
 
a transformação linear T(x,y) = (x,–y), determine Nuc(T) e Im(T). 
Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = {(1, -3)} 
3)} e Im(T) = {(0, 0)} 
Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = R2 
 
 
Você acertou! 
Resolução: 
T é uma transformação linear de R² em R², portanto, 
é um operador linear de R².
O vetor (1,3) aplicado em T resulta no vetor (1,
De fato, T(u) = (4,5) implica que se tenha
5), já que T(u) = T(x,y) = (4,5) implica nas equações 
x = 4 e –y = 5 (ou ainda, y =
Com isso: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor 
(0,0) tem por resulta
(0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem 
por T. 
 
D Nuc(T) = {(1, 0)} e Im(T) = R³
Questão 10/10 
Seja B = {(4,5),(2,1)} e v = (10,20), determine
 
A a=-5 e b = 5 
 
B a=5 e b=-5 
Você acertou! 
 
C a=5 e b=5 
 
D a=-5 e b=-5 
 
T é uma transformação linear de R² em R², portanto, 
é um operador linear de R². 
(1,3) aplicado em T resulta no vetor (1,–3). 
) = (4,5) implica que se tenha u = (4,–
) = T(x,y) = (4,5) implica nas equações 
y = 5 (ou ainda, y =–5). 
Com isso: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor 
(0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor 
(0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem 
Nuc(T) = {(1, 0)} e Im(T) = R³ 
= (10,20), determine as coordenadas (a, b) de v em relação a B: 
 
 
Questão 1/10 
Sobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa corre
( ) T é um operador linear de R². 
( ) é a matriz canônica de T.
( ) T(1,2) = (3,4). 
( ) Nuc(T) = {(0,0)} e Im(T) = R². 
 
A V F V F 
 
 
 
B V F F V 
 
 
Você acertou! 
Resolução: 
Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de 
R² em R², portanto, é um operador linear de R².
Item ii) Falso: matriz canôn
a . 
Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6).
Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que 
somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação 
de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de 
R² é imagem por T. 
 
C F V V F 
 
 
 
D F F F V 
 
 
Questão 2/10 
Seja T a transformação linear de R² em R³ tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e
coordenadas de w é igual a: 
 
A 4 
 
 
Você acertou! 
re a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa corre
é a matriz canônica de T. 
Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de 
R² em R², portanto, é um operador linear de R². 
Item ii) Falso: matriz canônica de T é igual 
Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6). 
Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que 
somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação 
de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de 
 
Seja T a transformação linear de R² em R³ tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e w o vetor tal que w = T(4,10). Neste caso, a soma das 
re a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa correta: 
 
= T(4,10). Neste caso, a soma das 
 
B 5 
 
C 6 
 
D 7 
Questão 3/10 
Seja T o operador linear de R² tal que T(1,0) = 
 
A (50,63) 
 
B (51,64) 
Você acertou! 
Como {(1,0),(0,1)} é a base canônica de R², se 
conhece o efeito de T sobre uma base de R
portanto, pode-se determinar seu efeito sobre 
Seja T o operador linear de R² tal que T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (3,4). Sendo assim, T(12,13) é igual a: 
Como {(1,0),(0,1)} é a base canônica de R², se 
conhece o efeito de T sobre uma base de R², 
se determinar seu efeito sobre 
 
qualquer vetor de R² e, em particular, sobre (12,13).
Para isso, escreve-se o vetor em questão como 
combinação linear dos vetores da base dada:
Do que se pode concluir que:
 
Portanto, tem-se: (12,13) = 1
E em assim, calcular T(12,13) é o mesmo que 
calcular T(12.(1,0) + 13. (0,1)). Como T é uma 
combinação linear, pode
 
C (52,65) 
 
D (53,66) 
Questão 4/10 
Julgue as afirmativas abaixo (FALSO OU VERDADEIRO) sobre as matrizes
seguida marque a alternativa correta: 
( ) A é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y) = (x+4y, 2x+2y,3x).
( ) B é a matriz canônica da transformação li
( ) A é a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R³.
( ) B é a matriz canônica de uma transformação linear de R³ em R².
 
A V V V V 
 
Você acertou! 
Todas as afirmativas são verdadeiras.
 
B V F V V 
qualquer vetor de R² e, em particular, sobre (12,13). 
se o vetor em questão como 
combinação linear dos vetores da base dada: 
 
Do que se pode concluir que: 
se: (12,13) = 12.(1,0) + 13.(0,1) 
E em assim, calcular T(12,13) é o mesmo que 
calcular T(12.(1,0) + 13. (0,1)). Como T é uma 
combinação linear, pode-se fazer: 
 
Julgue as afirmativas abaixo (FALSO OU VERDADEIRO) sobre as matrizes e 
( ) A é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y) = (x+4y, 2x+2y,3x). 
) B é a matriz canônicada transformação linear dada por T(x,y,z) = (x+y, y+2z). 
) A é a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R³. 
) B é a matriz canônica de uma transformação linear de R³ em R². 
ivas são verdadeiras. 
 
, em 
 
C F V V V 
 
 
 
D V V V F 
 
 
Questão 5/10 
Sobre transformações lineares, é incorreto afirmar que:
 
A Podem ser descritas matricialmente pela 
equação w = A.x. 
 
B T(x,y) = (2x,3y,4z) é um exemplo de 
transformação linear de R² em R³.
 
C Têm por núcleo o 
domínio que são levados no vetor nulo.
 
D T(x,y,z) = (x+y,z+2) é um exemplo de 
transformação linear de R³ em R².
Estão corretas as alternativas a, b, c,
alternativa D por não 
linear. 
Questão 6/10 
Dadas as bases de R²: B = {{1,5);(3,0)} e C = {(2,10);(1,15)}, a matriz de transição de C para B, isto é, a matriz que muda a
C para B é igual a: 
 
A
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D
 
Você acertou! 
afirmar que: 
Podem ser descritas matricialmente pela 
 
T(x,y) = (2x,3y,4z) é um exemplo de 
transformação linear de R² em R³. 
Têm por núcleo o conjunto dos vetores de seu 
domínio que são levados no vetor nulo. 
T(x,y,z) = (x+y,z+2) é um exemplo de 
transformação linear de R³ em R². 
Estão corretas as alternativas a, b, c, sendo falsa a 
alternativa D por não se tratar de uma combinação 
Dadas as bases de R²: B = {{1,5);(3,0)} e C = {(2,10);(1,15)}, a matriz de transição de C para B, isto é, a matriz que muda a
 
 
Dadas as bases de R²: B = {{1,5);(3,0)} e C = {(2,10);(1,15)}, a matriz de transição de C para B, isto é, a matriz que muda a base de referência de 
Questão 7/10 
 
Marque a alternativa que apresenta um autovetor de
 
A
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D
 
Você acertou! 
Marque a alternativa que apresenta um autovetor de : 
 
Questão 8/10 
Dada uma matriz 
( ) Quaisquer que sejam os números reais a e b, M não possui autovalores.
( ) Quaisquer que sejam os reais a e b, M é uma matriz diagonal.
( ) Definidos os escalares reais a e b, M será a matriz canônica de uma transformação linear d
 
A V V V 
 
 
 
 
B F V V 
 
 
Você acertou! 
i) FALSO: os autovalores de M serão justamente os 
escalares a e b. 
 
ii) VERDADEIRO: M é quadrada e os elementos 
que não ocupam a d
uma matriz diagonal.
 
iii) VERDADEIRO: M é 2x2, portanto, é a matriz 
canônica de um operador linear de R².
 
C F F V 
 
 
 
D V F F 
 
 
Questão 9/10 
Seja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a a
correta: 
 
i. M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários.
 
ii. M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários.
 
iii. Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores.
 
A V F F 
 
 
 
B F F V 
 
C V V F 
 
 
, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a al
) Quaisquer que sejam os números reais a e b, M não possui autovalores. 
) Quaisquer que sejam os reais a e b, M é uma matriz diagonal. 
( ) Definidos os escalares reais a e b, M será a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R². 
i) FALSO: os autovalores de M serão justamente os 
ii) VERDADEIRO: M é quadrada e os elementos 
que não ocupam a diagonal são nulos, portanto, M é 
uma matriz diagonal. 
iii) VERDADEIRO: M é 2x2, portanto, é a matriz 
canônica de um operador linear de R². 
eja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a a
i. M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários. 
res reais e/ou autovalores imaginários. 
se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores. 
e marque a alternativa correta: 
 
eja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a alternativa 
 
D F V V 
Você acertou! 
i. FALSO: os autovalores de M podem não ser 
distintos. Por exemplo, a matriz M a seguir possui 
três autovalores iguais (de valor 2):
 . 
ii. VERDADEIRO: os autovalores de M podem ser 
reais ou imaginários, dependendo da formulação de 
M. 
iii. VERDADEIRO: considerando
complexos, M sempre terá autovalores.
Questão 10/10 
Dentre as alternativas abaixo, marque a única que apres
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
Você acertou! 
A matriz apresentada na alternativa c é a única que 
possui autovalores iguais a 1, 2, e 3.
 
D 
 
 
i. FALSO: os autovalores de M podem não ser 
distintos. Por exemplo, a matriz M a seguir possui 
três autovalores iguais (de valor 2): 
i. VERDADEIRO: os autovalores de M podem ser 
reais ou imaginários, dependendo da formulação de 
iii. VERDADEIRO: considerando-se o conjunto dos 
complexos, M sempre terá autovalores. 
Dentre as alternativas abaixo, marque a única que apresenta uma matriz cujos autovalores são iguais a 1, 2 e 3: 
A matriz apresentada na alternativa c é a única que 
i autovalores iguais a 1, 2, e 3.