Vamos resolver passo a passo. Dada a parábola: \((x - 1)^2 = y - 2\) Podemos escrever: \(y = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2 = x^2 - 2x + 3\) A reta é: \(x + y + k = 0 \Rightarrow y = -x - k\) Para que a reta seja tangente à parábola, o sistema: \[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 3 \\ y = -x - k \end{cases} \] tem que ter exatamente uma solução (ou seja, o sistema tem uma única interseção). Igualando as expressões de \(y\): \[ x^2 - 2x + 3 = -x - k \] Reorganizando: \[ x^2 - 2x + 3 + x + k = 0 \Rightarrow x^2 - x + (3 + k) = 0 \] Para que haja tangência, o discriminante dessa equação quadrática deve ser zero: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 + k) = 1 - 4(3 + k) = 0 \] Resolvendo: \[ 1 - 12 - 4k = 0 \Rightarrow -11 - 4k = 0 \Rightarrow -4k = 11 \Rightarrow k = -\frac{11}{4} \] Resposta correta: D) \(-\frac{11}{4}\)