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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
1.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I
(Func¸o˜es e Modelos)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Verifique que a equac¸a˜o |x− 7|+ |x− 8| = 1 possui infinitas soluc¸o˜es.
2. Na superf´ıcie do oceano, a pressa˜o da a´gua e´ igual a` do ar acima da a´gua, 1,05
kg/cm2. Abaixo da superf´ıcie, a pressa˜o da a´gua cresce 0,10 kg/cm2 para cada
metro abaixo da superf´ıcie.
a) Expresse a pressa˜o da a´gua como uma func¸a˜o da profundidade abaixo da
superf´ıcie do oceano.
b) A que profundidade a pressa˜o e´ de 7 kg/cm2?
3. Sob condic¸o˜es ideais, sabe-se que uma certa populac¸a˜o de bacte´rias dobra a
cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bacte´rias:
a) Qual o tamanho da populac¸a˜o apo´s 15 horas?
b) Qual o tamanho da populac¸a˜o apo´s t horas?
c) Qual o tamanho da populac¸a˜o apo´s 20 horas?
d) Trac¸e o gra´fico da func¸a˜o populac¸a˜o.
e) Estime o tempo para a populac¸a˜o atingir 50.000 bacte´rias.
f) Encontre a func¸a˜o inversa da func¸a˜o populac¸a˜o.
g) Explique o significado da inversa da func¸a˜o populac¸a˜o.
Oceanografia / Qu´ımica -1- UFC-Fortaleza
2.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I Prof. Marcelo Melo
4. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o descrita e obtenha seu domı´nio.
a) Expresse a a´rea de um triaˆngulo equila´tero como uma func¸a˜o do compri-
mento de um lado.
b) Expresse a a´rea superficial de um cubo como uma func¸a˜o de seu volume.
c) Expresse a hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo com uma a´rea de 25 m2
como uma func¸a˜o do seu per´ımetro P .
5. Quando dobra o percurso em uma corrida de ta´xi, o custo da nova corrida e´
igual ao dobro, maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida original?
6. A e B sa˜o locadoras de automo´vel. A cobra 1 real por quiloˆmetro rodado mais
uma taxa de 100 reais fixa. B cobra 80 centavos por quiloˆmetro mais uma taxa
fixa de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B sobre A em func¸a˜o
do nu´mero de quiloˆmetros a serem rodados.
7. Duas velas de mesmo comprimento sa˜o acesas simultaneamente. A primeira
queima completamente em 4 horas e a segunda, em 3 horas. Depois de acesas,
em quanto tempo uma delas tera´ o triplo do comprimento da outra?
8. Comprei algumas garrafas de um bom vinho por 540 reais. Por ter obtido um
desconto de 15 reais no prec¸o de cada garrafa, consegui comprar 3 garrafas a
mais do que previra originalmente. Quantas garrafas de vinho comprei?
9. Um avia˜o de 100 lugares foi fretado para uma excursa˜o. A companhia exigiu
de cada passageiro R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que
nu´mero de passageiros a rentabilidade da empresa e´ ma´xima?
10. A equac¸a˜o x2 − 9x + c = 0 tem ra´ızes inteiras. Qual e´ o maior valor poss´ıvel
para c?
11. Determine o valor ma´ximo de 81n− n2, n inteiro.
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2.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I Prof. Marcelo Melo
12. Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o injetora, mostre que f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y )
para quaisquer X, Y ⊂ A.
13. Verifique que f : R −→ (−1, 1) definida por f(x) = x√
1+x2
, e´ uma bijec¸a˜o de R
sobre o intervalo (−1, 1) e determine sua inversa.
14. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o tal que f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x · y) =
f(x) · f(y), quaisquer que sejam x, y ∈ R. Prove que:
a) f(0) = 0;
b) f(1) = 0 ou f(1) = 1;
c) ou f(x) = 0 para todo x ∈ R ou f(x) = x para todo x ∈ R.
15. Seja f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn um polinoˆmio com coeficientes inteiros.
a) Se um nu´mero racional p
q
(com p e q primos entre si) e´ tal que f(p
q
) = 0,
prove que p divide a0 e q divide an.
b) Conclua que quando an = 1, as ra´ızes de f sa˜o inteiras ou irracionais.
c) Use o resultado geral para provar que
√
2 + 3
√
2 e´ irracional.
16. Utilize o exerc´ıcio anterior para encontrar as ra´ızes dos polinoˆmios:
a) x3 + 4x2 + 5x + 2;
b) x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2;
c) x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x + 12.
17. Mostre que log2 5 e´ um nu´mero irracional.
18. Dados os nu´meros reais positivos x e y, as me´dias aritme´tica, geome´trica
e harmoˆnica de tais nu´meros sa˜o definidas, respectivamente, por a = x+y
2
,
g =
√
xy e h =
(
1
2
(x−1 + y−1)
)−1
. Mostre que h ≤ g ≤ a.
Oceanografia / Qu´ımica -3- UFC-Fortaleza
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19. Se f0(x) = x/(x+1) e fn+1 = f0◦fn para n = 0, 1, 2, . . ., encontre uma fo´rmula
para fn(x).
20. Use induc¸a˜o sobre n natural para demonstrar os seguintes fatos:
a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+1)
2
;
b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
;
c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
[
n(n+1)
2
]2
;
d) n ≥ 4 =⇒ n! > 2n;
e) 7n − 1 e´ divis´ıvel por 6.
21. (Binoˆmio de Newton) Se n ∈ N e x, y ∈ R, mostre que
(x + y)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
xn−kyk .
22. Prove, por induc¸a˜o, que um conjunto com n elementos possui 2n subconjuntos.
23. Para cada inteiro n > 2 mostre que existem n naturais dois a dois distintos,
tais que a soma de seus inversos e´ igual a 1.
24. Seja n um inteiro positivo ı´mpar. Em um campo aberto esta˜o n crianc¸as posi-
cionadas de tal modo que para cada uma delas as distaˆncias a`s outras n − 1
crianc¸as sa˜o todas distintas. Cada crianc¸a tem uma pistola d’a´gua e, ao som
de um apito, atira na crianc¸a mais pro´xima de si. Mostre que uma das crianc¸as
permanecera´ enxuta.
25. Dados n (n ≥ 2) objetos de pesos distintos, prove que e´ poss´ıvel determinar
qual o mais leve e qual o mais pesado fazendo 2n−3 pesagens em uma balanc¸a
de pratos. E´ esse o nu´mero mı´nimo de pesagens que permitem determinar o
mais leve e o mais pesado?
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2.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I Prof. Marcelo Melo
Sugesto˜es e Respostas
1. Note que 7 e 8 sa˜o soluc¸o˜es. 2. a) P = 0, 10d + 1, 05 b) 59,5 m
3. a) 3.200 b) P (t) = 100 · 2t/3 c) 10.159 e) t ≈ 26, 9 h f) P−1(x) =
3 log2(x/100) g) o tempo decorrido quando existirem x bacte´rias.
4. a) A =
√
3
4
l2 b) S = 6
3
√
V 2 c) h = P
2−100
2P
5. Menor do que o dobro.
6. Para quilometragem inferior a 500km, A e´ mais vantajosa.
7. Apo´s t horas, t/4 da primeira vela e t/3 da segunda ja´ foi consumido. Enta˜o,
t = 8
3
h = 2h40min.
8. Se x e´ a quantidade inicial de garrafas, enta˜o x2 + 3x− 108 = 0 e, portanto,
comprei x + 3 = 12 garrafas.
9. Se x passageiros ocupam os lugares, a receita da empresa e´ −10x2 + 1800x,
cujo valor ma´ximo e´ atingido para x = 90.
10. c = 20 11. O ma´ximo ocorre para n = 10 e vale 410.
12. Use a injetividade de f para monstrar que f(X) ∩ f(Y ) ⊂ f(X ∩ Y ).
13. f−1(x) = x√
1−x2 14. Escreva 0 = 0 + 0, 1 = 1 · 1 e x = x · 1.
15. f(p
q
) = 0 =⇒ a0 +a1 pq + · · ·+an p
n
qn
= 0 =⇒ a0qn +a1pqn−1 + · · ·+anpn = 0.
17. Suponha que log2 5 e´ racional. 18. Observe que (
√
x−√y)2 ≥ 0.
19. Utilize induc¸a˜o para mostrar que fn(x) =
x
(n+1)x+1
.
21. Use induc¸a˜o sobre n e a relac¸a˜o de Stifel
(
n
k − 1
)
+
(
n
k
)
=
(
n + 1
k
)
,
onde
(
n
k
)
= n!
k!(n−k)! , para 0 ≤ k ≤ n, e por convenc¸a˜o 0! = 1.
23-25. Utilize induc¸a˜o sobre n.
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