Lista derivadas calc 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1 — Turma IQN/IFN — Professor Wilian
Terceira Lista de Exerc´ıcios - Derivadas e Algumas Aplicac¸o˜es
Questa˜o 1 Que tipos de func¸o˜es sa˜o f(x) = ex e g(x) = xe? Compare as fo´rmulas de derivac¸a˜o para f
e g.
Questa˜o 2 Derive a func¸a˜o.
(a) f(x)=
√
pi
(b)f(x) = x2(1− 2x)
(c)y =
√
x+x
x2
(d)y = ex+1 + 1
(e)S(R) = 4piR2
Questa˜o 3 Encontre as equac¸o˜es para a reta tangente e para a reta normal a` curva y = x4 + 2ex no
ponto (0, 2).
Questa˜o 4 Mostre que a curva y = 2ex + 3x+ 5x3 na˜o tem reta tangente com inclinac¸a˜o 2.
Questa˜o 5 A equac¸a˜o de movimento de uma part´ıcula e´ s = t3 − 3t, em que s esta´ em metros e t, em
segundos. Encontre.
(a) A velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸o˜es de t.
(b) A acelerac¸a˜o depois de 2 s.
(c) A acelerac¸a˜o quando a velocidade for 0.
Questa˜o 6 Derive.
(a) f(x)=(x3 + 2x)ex
(b)f(x) =
√
xex
(c)y = x
3
1−x2
(d)y = x−
√
x
x1/3
(e)f(x) = 1−xe
x
x+ex
Questa˜o 7 Encontre as equac¸o˜es de retas tangentes a` curva
y =
x− 1
x+ 1
que sejam paralelas a` reta x− 2y = 2.
Questa˜o 8 Derive.
(a) f(x)=sen x + cotg x
(b) f(x)=tg(sen x)
(c) y=xexcossec x
(d)y = (1− x2)10
(e)f(x) =
(
x2+1
x2−1
)3
(f)f(x) =
√
1 + tg x
(g)f(x) = cos
(
1−e2x
1+e2x
)
(h)f(x) = xln x− x
(i)f(x) = ln(sen2x)
(j)f(x) = ln
√
a−x2
a+x2
Questa˜o 9 Um avia˜o esta´ voando a uma atitude de 10 quiloˆmetros em uma trajeto´ria que o levara´ a
passar diretamente acima de uma estac¸a˜o de radar. Seja s a distaˆncia (em quiloˆmetros) entre a estac¸a˜o
de radar e o avia˜o. Se s esta´ decrescendo a uma taxa de 650 quiloˆmetros por hora quando s e´ 16
quiloˆmetros, qual e´ a velocidade do avia˜o?
Questa˜o 10 Os lados de um retaˆngulo encolhem de forma tal que a a´rea do mesmo decresce a uma taxa
constante de 24cm2/s. Sabendo-se que, em qualquer instante, a base do retaˆngulo x decresce treˆs vezes
mais ra´pido que sua altura y, calcule a taxa de variac¸a˜o da altura no instante em que x = y = 2cm.
Questa˜o 11 Considere a func¸a˜o p(x) = 2x3 − 3x2 − 12x.
1. Determine:
i) os limites de p(x) quando x tende a −∞ e quando x tende a ∞;
ii) os intervalos onde p e´ crescente e aqueles onde e´ decrescente;
iii) os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais e/ou globais (abscissas e ordenadas);
iv) os intervalos onde a concavidade e´ para cima (func¸a˜o e´ convexa) e aqueles onde e´ para baixo
(func¸a˜o e´ coˆncava);
v) os pontos de inflexa˜o de p.
2. Esboce o gra´fico de p, respeitando todos os aspectos do gra´fico identificados no item (1).
Questa˜o 12 Considere a func¸a˜o f(x) = x
2−2x+4
x−2 .
(a) Determine o domı´nio da func¸a˜o f ;
(b) Determine, se existirem, as intersec¸o˜es da func¸a˜o f com o eixo dos x e com o eixo dos y;
(c) Determine, se existirem, as ass´ıntotas horizontais e verticais de f ;
(d) Determine, se existirem, os intervalos onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente;
(e) Determine, se existirem, os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais e/ou globais de f (abscissa e or-
denada);
(f) Determine, se existirem, os intervalos onde f tem concavidade para cima (convexa), concavidade
para baixo (coˆncava) e os pontos de inflexa˜o de f ;
(g) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .