CA2 Lista 2

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Ca´lculo 2
Lista de Exerc´ıcios 2
Ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es. Problemas de otimizac¸a˜o.
1. Identifique os pontos ma´ximos e mı´nimos (globais e locais) nos gra´ficos.
a)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
2
3
4
5
6
x
y
b)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
2
3
4
5
6
x
y
c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
2
3
4
5
6
x
y
2. Identifique os valores ma´ximos e mı´nimos da func¸a˜o e os pontos em que esses
valores sa˜o atingidos nos intervalos fechados e finitos.
a) f(x) = x+ 4, em [−2; 2]
b) f(x) = x2 − 4x, em [1; 4]
c) f(x) = x3(x− 5), em [−1; 4]
d) f(x) = x2 +
2
x
, em
[
1
2
; 2
]
e) f(x) =
√
4− x2, em [−2; 1]
f) f(x) = sen x, em
[
pi
3
;
2pi
3
]
g) f(x) = xe−x, em [−1; 1]
h) f(x) =
1
x
+ lnx, em
[
1
2
; 4
]
3. Encontre os extremos locais das func¸o˜es usando o teste da derivada segunda.
a) f(x) = x2 − 4x+ 3
b) f(x) = x3 − 3x+ 3
c) f(x) = (x− 2)3 − 3x+ 6
d) f(x) = xex
e) f(x) =
ex
x
f) f(x) =
x
x2 + 4
g) f(x) = x+
√
1− x
h) f(x) = xx
4. Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a seja 100 e cujo produto seja mı´nimo.
5. Encontre um nu´mero positivo tal que a soma do nu´mero e seu inverso seja ta˜o
pequena quanto poss´ıvel.
6. Qual e´ o menor per´ımetro poss´ıvel para um retaˆngulo cuja a´rea e´ 64 cm2, e quais
sa˜o as suas dimenso˜es?
7. Um retaˆngulo tem sua base no eixo x e seus dois ve´rtices superiores na para´bola
y = 12 − x2. Qual e´ a maior a´rea que esse retaˆngulo pode ter, e quais sa˜o as suas
dimenso˜es?
8. O custo me´dio de produc¸a˜o de um item e´ dado por
C(x) = 200 + 4
√
x+
16000
x
Quantos itens devem ser produzidos para se ter o menor custo me´dio poss´ıvel?
9. O custo para se produzir x unidades de uma certa laˆmpada e´ dado pela func¸a˜o
C(x) = 680 + 4x+ 0,01x2
Se todas as laˆmpadas produzidas forem vendidas por 18 reais, quantas unidades
devem ser produzidas para que o lucro seja ma´ximo? Qual e´ o lucro ma´ximo?
10. Suponha que o custo de produc¸a˜o de um produto seja dado por
C(x) = 2000 + 96x+ 4x
3
2 ,
onde x representa milhares de unidades. Ha´ um n´ıvel de produc¸a˜o que minimize
o custo me´dio? Em caso afirmativo, qual e´ esse n´ıvel? Dica: o custo me´dio e´ dado
por
C(x)
x
.
11. Sua empresa foi contratada para fabricar um tanque retangular de ac¸o com base
quadrada, sem tampa, e com capacidade para 500 litros. O tanque sera´ constru´ıdo
soldando-se chapas de ac¸o umas a`s outras ao longo das bordas. Sua tarefa, como
engenheiro, e´ projetar um tanque que use a menor quantidade de ac¸o poss´ıvel. Quais
dimenso˜es sera˜o passadas para a oficina? (Dica: 1 m3 = 1000 litros)
12. Um time de beisebol joga em um esta´dio com uma capacidade de 55 mil espec-
tadores. Cobrando $ 10 a entrada, a frequeˆncia era de 27 mil espectadores. Quando
o prec¸o das entradas foi reduzido a $ 8, a frequeˆncia me´dia subiu para 33 mil.
a) Encontre a expressa˜o da demanda em func¸a˜o do prec¸o, supondo que ela seja
linear.
b) Qual deve ser o prec¸o da entrada para se maximizar a receita? Qual e´ o valor
da receita ma´xima?
13. Dois lados de um triaˆngulo medem a e b, e o aˆngulo entre eles e´ θ . Qual e´ o
valor de θ que maximizara´ a a´rea do triaˆngulo? Dica: a a´rea do triaˆngulo pode ser
calculada por A =
1
2
ab sen θ.
Respostas
1. Ma´ximo global Mı´nimo global Ma´ximo local Mı´nimo local
a) x = 1 x = 15 x = 7 e x = 18 x = 3
b) x = 1 x = 5 e x = 13 x = 18 x = 9
c) na˜o ha´ x = 1 x = 8 e x = 18 x = 12
2. a) Valor mı´nimo de 2 em x = −2; valor ma´ximo de 6 em x = 2
b) Valor mı´nimo de − 4 em x = 2; valor ma´ximo de 0 em x = 4
c) Valor mı´nimo de − 36 em x = −1; valor ma´ximo de 108 em x = 3
d) Valor mı´nimo de 3 em x = 1; valor ma´ximo de 5 em x = 2
e) Valor mı´nimo de 0 em x = −2; valor ma´ximo de 2 em x = 0
f) Valor mı´nimo de
1
2
em x =
pi
3
e x =
2pi
3
; valor ma´ximo de 1 em x =
pi
2
g) Valor mı´nimo de − e em x = −1; valor ma´ximo de 1
e
em x = 1
h) Valor mı´nimo de 1 em x = 1; valor ma´ximo de
1
4
+ ln 4 em x = 4
3. a) Mı´nimo local em x = 2
b) Mı´nimo local em x = 1; Ma´ximo local em x = −1
c) Mı´nimo local em x = 3; Ma´ximo local em x = 1
d) Mı´nimo local em x = −1;
e) Mı´nimo local em x = 1
f) Mı´nimo local em x = −2; Ma´ximo local em x = 2
g) Ma´ximo local em x =
3
4
h) Mı´nimo local em x = e−1;
4. Os nu´meros sa˜o −50 e 50.
5. O nu´mero e´ 1.
6. O menor per´ımetro e´ 32 cm, e suas dimenso˜es sa˜o 8 cm × 8 cm.
7. A a´rea ma´xima e´ de 32, e o retaˆngulo tera base igual a 4 e altura igual a 8.
8. Devem ser produzidos 400 itens.
9. Devem ser produzidas 700 laˆmpadas, para um lucro total de $ 4900.
10. Num n´ıvel de produc¸a˜o de 100 (milhares de unidades), o custo me´dio sera´
minimizado em $ 156 por unidade.
11. A base do tanque deve ter 1 m × 1 m, e sua altura deve ser de 0,5 m.
12. a) y = −3x + 57 , em que y e´ a demanda (em milhares de ingressos) e x e´ o
prec¸o.
b) O prec¸o por item deve ser $ 9,50 para se obter a receita ma´xima de $
270.750,00.
13. θ =
pi
2