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Ministério da Educação
Universidade Federal de Mato Grosso
Câmpus Rondonópolis
Acadêmico(a): Matrícula:
Curso Engenharia Mecânica Período: 28/04/2016
Disciplina Cálculo 1 Nota da Avaliação:
Professor Sergio Silva
3◦ Exercício Escolar - Final Rúbrica do Professor
Orientações gerais:
1 - DESLIGUE E GUARDE O CELULAR. Preencha seu nome e número de registro acadêmico.
2 - A interpretação das questões é parte do processo de avaliação, não sendo permitidas consultas ou comunicação entre alunos.
3 - JUSTIFIQUE suas respostas !!!
1. (15 Pontos) Derivadas:
a) (2 Pontos) Definimos senh(x) = ex−e−x
2
e cosh(x) = ex+e−x
2
.
Mostre que d
dx
senh(x) = cosh(x) e que d
dx
cosh(x) = senh(x)
b) (3 Pontos) Encontre a derivada de y = xx−2
c) (2 Pontos) Calcule a derivada de arc cos(ex)
d) (3 Pontos)Calcule a inclinação da reta tangente à curva xy + ln(xy2) = 1 no
ponto (1,1).
e) (2 Pontos) Definimos loga(x) = lnxln a , onde a > 0 e a 6= 1. Encontre a derivada de
loga(x)
f) (3 Pontos) Calcule a derivada de log3(1 + x ln 3)
2. (15 Pontos) Seja f(x) = ex−x2 :
a) (1 Ponto) Determine o domínio de f(x)
b) (5 Pontos) Ache a primeira derivada de f(x) e determine o intervalo de cresci-
mento e decrescimento de f(x).
c) (5 Pontos) Encontre a segunda derivada de f(x) e indique os intervalos onde a
concavidade é para cima ou para baixo.
d) (2 Pontos) Indique a existência de assíntota horizontal ou assíntota vertical?
e) (2 Pontos) Faça um esboço do gráfico.
3. (10 Pontos) Derivadas e suas aplicações:
a) (5 Pontos) Seja f(x) =
√
1 + x. Aproxime f(x) por um polinômio de Taylor de
grau 1 centrado em zero e encontre
√
2 com esta aproximação.
b) (5 Pontos) Às 10h, o preço das ações de uma empresa tomaram o comportamento
da seguinte função A(t) = 20e
√
t−0.1t, onde t é dado em minutos. Aproximada-
mente a que horas estas ações atingirão sua cotação máxima?
4. (10 Pontos) Calcule:
a) (2 Pontos)
∫
1
sen2(x)−1dx
b) (2 Pontos)
∫
x2 lnxdx
c) (2 Pontos)
∫
x
x−4dx
d) (2 Pontos)
∫
x3
√
4− x2dx
e) (2 Pontos)
∫
x3−4x−10
x2−x−6 dx
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5. (10 Pontos) Teorema fundamental:
a) (5 Pontos) Calcule a segunda derivada da função erf(x) = 2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt
b) (5 Pontos) Calcule a derivada de
∫ sen(x)
2
3
√
tdt
6. (15 Pontos) Áreas, Volumes e Comprimento de Curva
a) (5 Pontos) Mostre que a área do triângulo é dada por A = base×altura
2
b) (5 Pontos) Mostre por meio de integração, que o volume do cilindro circular de
raio r e altura h é dado por V = pir2h
c) (5 Pontos) Mostre que o comprimento da circunferência é dado por C = 2pir
7. (15 Pontos) Número de Euler
a) (5 Pontos) Calcule limn→∞
(
1− 1
n2
)n
b) (5 Pontos) Calcule limx→∞
(
1 + 2
x
)x+1
c) (5 Pontos) Calcule limx→∞
(
x+4
x−3
)x
8. (10 Pontos) Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio
a) (2 Pontos) Enuncie o Teorema de Rolle.
b) (3 Pontos) Aplique o Teorema de Rolle para mostrar que f(x) = x3+3x−1 tem
apenas 1 raiz real.
c) (2 Pontos) Enuncie o teorema do valor médio.
d) (3 Pontos) Aplique o teorema do valor médio para função lnx no intervalo [1, 8]
e encontre o valor da constante c do teorema.
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