Lista 7 - Antiderivadas e Integrais básicas (c/ gabarito)

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 7 – Antiderivadas e Integrais Ba´sicas
1. Sabendo que F ′(x) = x
√
4− x2 , determine a func¸a˜o F que satisfaz F (1) = 4.
2. Determine y(x), sabendo que
dy
dx
=
x+ 1√
x
, para todo x > 0 real, e que y(1) =
2
3
.
3. Calcule
a)
∫
x3√
2 + 5x4
dx
b)
∫
x3 − 3x2
5x2
+ 4
√
x dx
c)
∫
4x2 − 2x+ 5√
x
dx
d)
∫
sec2(2− t) dt
e)
∫
sec(
√
x) tg (
√
x)√
x
dx
f)
∫
sen 5(2x+ 3) cos(2x+ 3) dx
g)
∫
sen (lnx)
x
dx
4. Um carro andando a uma velocidade de 84 m/s comec¸a a diminuir sua velocidade a uma taxa
constante de 14m/s2. Depois de quantos segundos o carro para e qual a distaˆncia percorrida
antes de parar? Dica: Considere t = 0 o instante em que a velocidade e´ de 84 m/s e comec¸a a
diminuir.
5. Em cada ponto (x, y) de uma curva, a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ igual ao quadrado da
distaˆncia entre o ponto e o eixo y. Determine a equac¸a˜o da curva, sabendo ainda que o ponto
(−1, 2) esta´ na curva.
6. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
4
0
3x
√
25− x2 dx; b)
∫ e2
e
ln x
x
dx; c)
∫
3x
25− x2 dx; d)
∫
x3ex
4
dx.
7. O gra´fico da func¸a˜o f, desenhado ao lado, e´ formado por um arco da func¸a˜o cosseno e por
segmentos de reta.
a) Calcule
∫ pi
2
−
pi
2
f (x) dx.
b) Usando fo´rmulas de Geometria, calcule∫ 3pi
2
pi
2
f (x) dx.
c) A afirmac¸a˜o
∫ 3pi
2
−
pi
2
f (x) dx > 0 e´ verda-
deira? Justifique.
y
x
−
pi
2
pi
pi
2
3
pi
2
−1
8. Considere a func¸a˜o f, definida para −2 ≤ x ≤ 6, cujo gra´fico esta´ ao lado.
Sabendo que
f (x) =
1
2
(
4− x2) , para− 2 ≤ x ≤ 2
e que a´rea (R) = 4, calcule
a)
∫
2
−2
f (x) dx;
b)
∫
6
−2
f (x) dx.
R
−2 6
y
x
9. Usando fo´rmulas apropriadas de geometria e considerando f a func¸a˜o cujo gra´fico e´ dado ao
lado, calcule:
a)
∫
2
−2
f(x)dx
b)
∫
4
1
f(x)dx
f
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
x
y
10. Na figura ao lado, esta´ desenhado o gra´fico da func¸a˜o f, constitu´ıdo por dois semi-c´ırculos de
raio 1 e um semi-c´ırculo de raio 2.
Com base nesta figura, responda (a) e (b) abaixo.
(a)Usando as propriedades das integrais e fo´rmulas
apropriadas de geometria, determine
∫
6
0
f(x) dx.
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
2
3
y
x
(b) E´ correto afirmar que
∫
6
−2
f(x) dx = 0 ? Justifique sua resposta.
11. Calcule o valor de
∫
3
0
x e(x
2
−2) dx e
∫
27
1
(
5ex +
x
3
√
x
)
dx.
12. Mostre que
∫ ab
1
dt
t
=
∫ a
1
dt
t
+
∫ b
1
dt
t
, para a, b > 0. Conclua que ln(ab) = ln(a) + ln(b). Dica:
separe a integral nos intervalos de 1 ate´ a e de a ate´ ab, depois aplique uma substituic¸a˜o na
segunda integral.
13. Para cada x ∈ [−3, 6], seja
G(x) =
∫ x
−2
h(t)dt,
onde h e´ a func¸a˜o cujo gra´fico e´ dado ao lado. h
1
2
−1
−2
1 2 3 4 5 6−1−2−3
x
y
Em cada caso, determine se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
( ) G(−3) < 0.
( ) G e´ decrescente no intervalo (−2, 1) .
( ) G ′(2) = G ′(4).
Respostas
1. Temos F (x) = −1
3
(4− x2)3/2 + 4 +√3.
2. Temos y = 2
√
x(x
3
+ 1)− 2.
3. As integrais indefinidas sa˜o
a)
1
10
√
2 + 5x4 + C
b)
1
30
x(3x− 18 + 80√x) + C
c)
2
15
x1/2(12x2 − 10x+ 75) + C
d) − tan(2− t) + C
e) 2 sec
√
x+ C
f)
1
12
sen 6(2x+ 3) + C
g) − cos(ln(x)) + C
4. O carro para depois para depois de 6 segundos e percorre 252 metros antes de parar.
5. C(x) =
x3 + 7
3
6. a) 98 b) 3/2 c) −3
2
ln |25− x2|+ C d) e
x4
4
+ C
7. a) 2 b) −pi
2
c) Sim, pois
∫ 3pi
2
−
pi
2
f(x) dx =
∫ pi
2
−
pi
2
f(x) dx+
∫ 3pi
2
pi
2
f(x) dx = 2− pi
2
> 0
8. a) 16
3
b) 4
3
.
9. a) −7
2
b) 1
2
.
10. a) 3pi
2
b) Na˜o,
∫
6
−2
f(x) dx = 2pi − pi
2
+
pi
2
= 2− pi
2
> 0.
11.
e7 − e2
2
e 5(e7 − e) + 726
5
.
12. Use a mudanc¸a de varia´veis t = s
a
na segunda integral definida.
13.
V, G(−3) =
∫
−3
−2
h(t)dt = −
∫
−2
−3
h(t)dt < 0.
V, G′(x) =
d
dx
∫ x
−2
h(t)dt = h(x) < 0 no intervalo (−2, 1).
F, G′(2) = h(2) 6= G′(4) = h(4).