Resumo completo de Álgebra Linear

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Resumo de Álgebra Linear I unidade 
 
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I. Vetores: 
 É comum pensarmos em vetores como „setas‟ no espaço 
 
, mas, na verdade, vetor é um 
elemento de um conjunto vetorial, podendo ser também polinômio, matriz, etc. 
 Falamos em entradas dos vetores como cada valor que usamos para caracterizá-lo, por 
exemplo: Sendo o vetor , os valores são as entradas desse vetor. Outro 
exemplo: Sendo o vetor , os coeficientes são as entradas 
desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor 
 
 
 , os valores são as entradas 
desse vetor. 
 O Vetor Nulo é o elemento do conjunto onde todas as entradas são nulas. 
 Quando falamos na forma mais geral de um vetor, representamos as entradas dos 
vetores como letras, ou seja, sem especificar nenhum vetor. Exemplo, a forma mais geral de 
um vetor de 
 
 é . A forma mais geral de um vetor de (espaço vetorial dos 
polinômios de grau menor ou igual a 3) é . A forma mais geral de um vetor 
de (espaço vetorial das matrizes 2x3) é 
 
 
 . 
II. Espaços Vetoriais: 
 A definição de Espaço Vetorial é: entidade formada pelo conjunto dos números reais, um 
conjunto de vetores e uma operação entre esses conjuntos. 
 De uma forma mais simples, Espaço Vetorial é uma “coleção” (conjunto) de vetores que 
obedece a 8 axiomas, sendo 4 aditivos e 4 multiplicativos: 
Axiomas: 
 Sendo V um conjunto de vetores e o conjunto dos números reais, dizemos que V é um 
Espaço Vetorial se os 8 axiomas abaixo são obedecidos: 
 Aditivos: 
1) , tem-se que (Comutatividade); 
2) Existe um elemento , chamado de Vetor Nulo, tal que tem-se 
 (Existência de um elemento neutro); 
3) , existe um elemento tal que . Temos daí que (Existência 
de um elemento oposto); 
4) , tem-se (Associatividade). 
Multiplicativos: 
1) , tem-se que , onde é o unitário de ; 
2) e , tem-se que ; 
3) e , tem-se que ; 
4) e , tem-se que . 
Obs.: Na prova não será pedido a prova de que um conjunto é um Espaço Vetorial. Ao invés 
disso, pede-se para verificar se um conjunto é um Subespaço Vetorial de um outro Espaço. 
Resumo de Álgebra Linear I unidade 
 
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III. Subespaços Vetoriais: 
 Subespaços Vetoriais (de algum outro Espaço ou Subespaço Vetorial) são subconjuntos 
vetoriais que obedecem aos 8 axiomas apresentados anteriormente. Mas o fato de serem 
subconjuntos nos permite apenas verificar 4 propriedades para que possamos provar (ou 
negar) que são Subespaços Vetoriais. 
Condições: Sejam Espaço Vetorial e conjunto vetorial, dizemos que é Subespaço 
Vetorial de se: 
1) ; (Vetor nulo de também é o vetor nulo de ); 
2) ; ( é um subconjunto de ); 
3) , ; 
4) e , ; 
Obs.: Quando falamos do conjunto , estamos nos referindo à reta dos números reais, portanto 
representamos um ponto (ou um vetor) por uma única entrada na forma . Para 
 
, estamos 
falando do plano e representamos um ponto (ou um vetor) por duas entradas na forma . 
E assim por diante até chegarmos em 
 
 (a noção geométrica vai apenas até 
 
) quando 
representamos um ponto (ou um vetor) por entradas na forma . 
Ex.: Seja 
 
 espaço vetorial e , diga se é subespaço 
vetorial de . 
Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são 
obedecidas: 
1) Para fazer esta verificação, olhamos para a condição imposta , e verificamos 
se o vetor nulo satisfaz a condição. 
Lembrando que o vetor nulo em questão (
 
) é . 
Neste caso satisfaz, pois ; 
 
2) Para esta verificação, é olhar na definição de que ele é formado por vetores que 
pertencem a ; 
 
3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de na sua forma mais geral, somar 
e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição imposta : 
Escolhemos os vetores e . 
Sabemos que e que . Então fazemos: 
 , agora verificamos a condição: 
 . 
Então a condição é respeitada e, por tanto, ; 
 
4) Semelhante à condição anterior, temos que escolher um vetor de em sua forma mas 
geral, multiplicarpor um escalar qualquer e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição 
imposta : 
Escolhemos o vetor e . 
Sabemos que . Então Fazemos: 
Resumo de Álgebra Linear I unidade 
 
3 
 
 , agora verificamos a condição: 
 . 
Então a condição é respeitada e, por tanto, . 
Como as 4 condições foram respeitadas, então é subespaço vetorial de . 
Obs.: Se repararem, geometricamente temos, 
 
 é o espaço tridimensional e 
 é o plano (que passa pela origem e, por isso, 
contém o vetor nulo). 
Ex².: Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e 
 
 , diga se é subespaço vetorial de . 
Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são 
obedecidas: 
1) Para fazer esta verificação, olhamos para as condições impostas e 
 , e verificamos se o vetor nulo satisfaz estas condições. O vetor nulo em 
questão é o polinômio , daí temos: e . Condição 
satisfeita; 
 
2) Pela definição, percebemos que os vetores de são polinômios de grau menor ou igual a 
3. Condição satisfeita; 
 
3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de na sua forma mais geral, somar 
e ver se o vetor obtido ainda obedece às condições impostas 
 : 
Escolhemos os vetores e . 
Sabemos que: 
 ; 
 ; 
 ; 
 . 
Então fazemos: 
 , agora verificamos 
as condições: 
 . 
 . 
Então as duas condições são respeitadas e, portanto, ; 
 
4) Novamente vamos escolher um vetor de na sua forma mais geral, multiplicar por um 
escalar qualquer e ver se o vetor obtido respeita as condições: 
Escolhemos o vetor e . 
Sabemos que: 
 ; 
 . 
Então Fazemos: 
 , agora verificamos as condições: 
Resumo de Álgebra Linear I unidade 
 
4 
 
 . 
 . 
Então as duas condições são respeitadas e, portanto, ; 
Como as 4 condições foram respeitadas, então é subespaço vetorial de . 
Obs.: Você pode escrever o vetor na forma mais geral substituindo as entradas por equivalentes. 
Exemplo: Se 
 , pela condição: 
  . Então podemos escrever: 
 
 , onde 
 é o vetor na forma mais geral. 
IV. Geradores: 
 Um conjunto de geradores é um conjunto de vetores que podem resultar em qualquer vetor 
de um espaço. Porém, os vetores geradores não precisam ser LI (a combinação linear deles 
dando o vetor nulo tem como única solução todos os coeficientes iguais a zero (conhecida 
como solução trivial)). Podemos caracterizar um espaço vetorial pelo seu conjunto de 
geradores. 
Obs.: Os geradores são representados por um conjunto de vetores entre colchetes. (Pelo o 
amor de Deus...NÃO COLOQUEM CHAVES!!). 
V. Bases: 
 Base é um conjunto de vetores (semelhantemente ao conjunto de geradores, a diferença 
é que todos os vetores devem ser LI entre si) que, através de uma combinação linear, 
conseguimos obter qualquer vetor do espaço. 
Obs.: A base é representada por um conjunto de vetores entre chaves. (Pelo o amor de 
Deus... NÃO COLOQUEM COLCHETES!!). 
 Para achar uma base basta seguir um „passo-a-passo‟ bem simples. Após saber o espaço 
em questão: 
1) Olhar (simplificar) a condição de existência (deixar com o menor número possível de 
„letras‟); 
2) Escrever um vetor na forma mais geral (e mais simplificada); 
3) “Separar” em uma combinação linear variáveis independentes; 
4) Colocar as variáveis em evidência (achando os geradores); 
5) Achar um conjunto LI dos vetores obtidos. 
Ex.: Seja 
 
 
 , determine uma base de . 
1) Condição: 
  ; 
  ; 
Ficamos com a condição simplificada: 
 
 
 ; 
 
2) Forma mais geral: 
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5 
 
Escolhemos um vetor , substituindo a condição simplificada na forma geral 
apresentada, ficamos com 
 
 
 ; 
 
3) “Separando” as variáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
4) Colocar em evidência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Achamos os vetores: 
 
 
 e 
 
 
 ; 
 
5) Conjunto LI: 
Fazemos uma combinação linear dos vetores obtidos resultando no vetor nulo, se a única 
solução for a trivial, então eles formam a base do espaço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo o sistema: 
 
 
 
 
 
 Resolvendo o sistema, a única solução é . 
Portanto, os vetores 
 
 
 e 
 
 
 são LI e temos: 
 
 
 
 , 
 
 
 é uma base de . 
Ex.: Seja 
 
 um espaço vetorial, represente 
pelos seus geradores. 
Um vetor pode ser escrito: 
 . 
Temos daí que os vetores , e são geradores de já que, com uma 
combinação linear deles, podemos obter qualquer outro vetor. 
Representamos . 
(Repare que o conjunto não é uma base, pois seus vetores não são LI). 
Obs.: Muito cuidado para não trocar as formas de representação de uma base e de um 
conjunto gerador. São coisas muito diferentes e a maioria dos professores podem cortar a 
questão inteira por isso. 
Obs².: Tente refazer a questão seguindo até o 4º passo do „passo-a-passo‟ para achar uma 
base. 
 
 
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VI. Dimensão: 
 A dimensão de um espaço vetorial é definido como o número de vetores de uma base 
(lembrando que, embora existam infinitas bases para um mesmo espaço, todas tem o mesmo 
número de vetores). Representamos a dimensão de um espaço como dim . Para espaços 
sem restrições (condições) temos: dim 
 
 ; dim ; dim . 
Ex.: Seja 
 
 
 , determine uma base e diga a dimensão de 
 . 
Esse exemplo já foi feito (V. Bases). A resposta foi 
 
 
 , 
 
 
 é uma base de . A 
dimensão é, por definição, o número de vetores de uma base, portanto dim . 
Obs.: Uma relação importante de dimensão é, sejam e dois subespaços vetoriais de um 
mesmo corpo: 
 dim dim + dim – dim . 
VII. Coordenadas: 
 As coordenadas são um conjunto de valores que, dada uma base, caracterizam um vetor. 
O número de coordenadas de um vetor é o número de entradas do mesmo. Correspondem aos 
coeficientes de cada vetor da base na combinação linear. 
 Para achar as coordenadas de um vetor em relação a uma determinada base, basta você: 
1) Achar a base; 
2) Escrever o vetor que você quer como combinação linear dos vetores da base; 
3) Resolver o sistema e as coordenadas serão os coeficientes. 
 
Obs.: A maneira de representar as coordenadas de um vetor em relação a uma base 
 é: 
 
 
 
 
 
 , onde é a -ésima coordenada para . Onde 
 . 
Ex.: Seja base de 
 
, determine as coordenadas do vetor . 
1) A base já foi dada; 
2) Como os vetores de formam uma base, o vetor pode ser escrito como: 
 , ficamos com o sistema: 
 
 
 
 ; 
3) As coordenadas do vetor em questão são: 
 
 
 , então precisamos apenas achar e 
 : 
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7 
 
 
 
 
  Podemos resolver escalonando ou de qualquer outro método. Esse 
sistema em particular fica mais rápido de resolver por substituição: 
Da segunda equação temos: 
Na primeira ficamos: e ficamos com 
 
 
, portanto 
 
 
. 
Temos no fim: 
 
 
 
 
 
 . 
VIII. Mudança de base: 
 Imagine agora que você tem duas bases de um mesmo espaço e é pedido que você diga 
as coordenadas de alguns vetores em ambas as bases. Levaria muito tempo para resolver 
fazendo do jeito tradicional para cada vetor em cada uma das bases. Um jeito mais fácil seria 
usando a relação: 
 
 
Onde: 
 Coordenadas do vetor em relação à base ; 
 Coordenadas do vetor em relação à base ; 
 
 Matriz de mudança de base de (de cima) para (de baixo). 
 
 A matriz de mudança de base corresponde a uma matriz onde as colunas são as 
coordenadas dos vetores da base “de cima” em relação à base “de baixo”: 
Imagine que temos e , a matriz mudança de base fica: 
 
 
 
Para achar a matriz mudança de base, fazemos: 
 
1) Achar as bases; 
2) Achar as coordenadas de cada um dos vetores da base “de cima” em relação à base 
“de baixo”; 
3) Montar a matriz; 
4) CASO peça a matriz de mudança de base “inversa” (trocando a ordem das bases), 
você pode refazer o passo-a-passo ou achar a matriz inversa da já achada ( 
 
 
 
 
 
); 
Ex.: Calcule 
 onde é base de 
 
 e é a base canônica de 
 
. Depois calcule 
 . 
1) As bases já foram dadas; 
2) Temos que achar os vetores de com relação à base : 
Para o primeiro vetor de : 
  e , então: 
 
 
 ; 
Para o segundo vetor de : 
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  e , então: 
 
 
 ; 
3) Montando a matriz: 
 
  
 
 
 
 ; 
 
4) Para achar 
 podemos repetir o processo, ou calcular a matriz inversa de 
 . 
Calculando a matriz inversa, coloca a matriz identidade do lado direito e escalona até achar 
a identidade do lado esquerdo: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
E a matriz resultante do lado direito é a inversa que procuramos, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
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1 
 
I. Sistemas Lineares: 
A ideia nessa unidade é aprendera resolver sistemas de equações lineares de um jeito 
diferente daquele aprendido no ensino médio. Esse novo método, chamado de Escalonamento, 
geralmente é mais rápido além de possibilitar estudar as possíveis soluções. 
Nesse método, fazemos uso de duas matrizes que montamos a partir do sistema dado, a 
chamada matriz dos coeficientes e a matriz ampliada. 
 
 
 
 
 
 Essa é a forma usual de se representar um sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa é a forma matricial de se representar um sistema, onde 
a primeira matriz corresponde aos coeficientes das equações (daí o nome Matriz dos 
Coeficientes), a segunda é a matriz das incógnitas e a última é a matriz dos resultados. A 
Matriz Ampliada é a Matriz dos Coeficientes adicionada da coluna dos resultados no fim. 
 
 
 
 
 
 Matriz dos Coeficientes; 
 
 
 
 
 
 Matriz Ampliada. 
Ex.: Dado o sistema abaixo, monte a Matriz dos Coeficientes e a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
Mas: 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
A Matriz dos Coeficientes fica: 
 
 
 
 
 
Enquanto a Matriz Ampliada fica: 
 
 
 
 
 
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2 
 
I.a. Escalonamento: 
 O método do escalonamento consiste em fazer operações elementares entre as linhas 
(que correspondem a uma equação cada) de modo a tentar reduzir a matriz à Forma Escada. 
As três operações elementares são: 
a) Multiplicar uma linha por um escalar; 
b) Somar (subtrair) uma linha pela outra; 
c) Substituir (trocar de lugar) duas linhas. 
 
Para a matriz ser considerada na forma escada ela deve obedecer 4 condições: 
 
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula deve ser 1; 
2) A coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha, tem os demais iguais a 
zero; 
3) Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas; 
4) Todo elemento não nulo está em uma coluna maior em relação ao elemento não nulo da 
anterior. 
Ex.: 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 Estão reduzidas à forma escada. 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 Não estão reduzidas à forma 
escada pois desrespeitam as condições 2, 3, 1 e 4 respectivamente. 
 
Ex.: Reduzir a Matriz Ampliada do exemplo anterior à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Dizemos que uma matriz é linha equivalente a outra quando é obtida a partir da segunda 
através de um número finito de operações elementares. 
 
Ex.: A matriz 
 
 
 
 é linha equivalente da matriz 
 
 
 
 . 
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3 
 
I.b. Matriz: 
POSTO: O posto de uma matriz é, por definição, o número de linhas não nulas que a matriz 
linha equivalente reduzida à forma escada possui. 
Nominando, temos: 
 Posto da Matriz dos Coeficientes; 
 Posto da Matriz Ampliada; 
 Número de Colunas da matriz; 
 Número de incógnitas do sistema (número de colunas da Matriz dos Coeficientes). 
NULIDADE: A nulidade (N) de uma matriz X é a diferença entre o número de colunas e o posto 
dessa matriz. 
 . 
I.c. Tipos de soluções de um sistema: 
 O sistema pode ser classificado de 3 formas: 
I. Sistema Incompatível: Quando . Nesse caso não há solução para o sistema; 
II. Sistema Compatível Determinado: Quando . Nesse caso, o sistema possui 
uma única solução, onde podemos determinar através do escalonamento; 
III. Sistema Compatível Indeterminado: Quando . Nesse caso, o sistema possui 
infinitas soluções, onde podemos dar o conjunto solução parametrizando alguma(s) das 
incógnitas. Obs.: Nesse caso falamos de Grau de liberdade do Sistema que é a diferença do 
número de incógnitas pelo posto das matrizes (corresponde ao número de incógnitas que 
temos que parametrizar): . 
 
Ex.: Dê o conjunto solução (quando possível) dos sistemas abaixo: (Feito com passo-a-passo) 
I. 
 
 
 
II. 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
 ; 
 ; 
 . 
  Sistema Incompatível. 
 
II. 
 
 
 
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
 ; 
 ; 
 . 
  Sistema Compatível Determinado. Solução 
 
 
 
 . 
III. 
 
 
 
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear I unidade 
 
5 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
 ; 
 ; 
 . 
  Sistema Compatível Indeterminado. 
d) Parametrizar a(s) incógnita(s) em comum nas linhas: 
A incógnita z aparece nas duas linhas, então fazemos: 
 ; 
 ; 
 . 
 
 
 
 
 
O Grau de Liberdade é (número de parâmetros). 
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1 
 
I. Transformações Lineares: 
 Transformações lineares são simplesmente funções onde “pegamos” um vetor e 
transformamos em outro vetor. 
 O modo mais comum de representar uma transformação é: 
Sejam „V‟ e „W‟ espaços vetoriais: 
 ; que significa que a transformação linear T “pega” um vetor de V e “transforma” em um 
vetor de W. 
 O espaço anterior à seta (no caso V) é chamado de domínio ou conjunto de partida. O 
posterior (no caso W) é chamado contra-domínio ou conjunto de chegada. Particularmente para o 
caso em que W = V, chamamos T de Operador Linear. 
Obs.: Em , „ ‟ é sempre um vetor do conjunto de partida. Já os vetorese (que 
são apenas diferentes modos de escrever o mesmo vetor, já que são iguais) são vetores do 
conjunto de chegada. 
Obs².: Durante todo o resumo, usaremos V para designar o conjunto de partida e W para o de 
chegada. 
 Nem toda transformação é dita linear. Para que isso seja verdade, ela deve obedecer 
algumas condições: 
 Condições: 
1) O transformado de um vetor nulo de V é sempre o vetor nulo de W: 
 . 
2) A soma dos transformados é o transformado da soma: 
Sejam então: 
 . 
3) O transformado de um produto entre um vetor e um escalar é o produto do escalar com 
o transformado do vetor (é como se o escalar „saísse‟ da transformação): 
Seja e : 
 . 
II. Núcleo de uma Transformação Linear: 
 É o subconjunto formado por vetores do conjunto de partida tais que seus transformados 
são iguais ao vetor nulo do conjunto de chegada. Ou seja: 
  (isso se lê: “O núcleo da transformação T é o conjunto de 
vetores de V tais que os transformados destes vetores são iguais ao vetor nulo de W”). 
Obs.: O núcleo de uma transformação é um subespaço do conjunto de partida. Portanto 
podemos achar uma base do núcleo e sua dimensão. 
Obs².: O núcleo sempre contém pelo menos um vetor, já que o transformado do vetor nulo de V é 
sempre o vetor nulo de W (condição 1). 
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2 
 
Obs³.: Quando o núcleo contém APENAS o vetor nulo de V, não podemos achar uma base e, 
consequentemente, a dimensão é zero. Dizemos que a transformação é então INJETORA (ou 
injetiva) e e . 
 Para achar o núcleo de uma transformação basta: 
 Passo-a-passo: 
1) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada; 
2) Resolver o sistema que irá surgir; 
3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, usar o mesmo passo-a-passo da I unidade. 
III. Imagem de uma Transformação Linear: 
 É um subconjunto formado por vetores do conjunto de chegada que contém todos os 
vetores (do conjunto de chegada) que estão associados a pelo menos um vetor do conjunto de 
partida. Ou seja: 
  (isso se lê: “A imagem da transformação T é o 
conjunto de vetores de W tais que são o „resultado‟ da transformação de algum vetor de V”). 
Obs.: A imagem de uma transformação é um subespaço do conjunto de chegada. Portanto 
podemos achar uma base e a dimensão. 
Obs².: A imagem contém pelo menos um vetor (o vetor nulo de W), que está sempre associado a 
um vetor (o vetor nulo de V) (condição 1). 
Obs³.: Se , então dizemos que a transformação é SOBREJETORA (ou sobrejetiva). 
Neste caso, . 
Para achar a imagem de uma transformação basta: 
 Passo-a-passo: 
1) Achar uma base do conjunto de partida; 
2) Dizer que a imagem vai ser gerada pelos transformados dos vetores da base 
encontrada; 
3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, achar o conjunto LI dos geradores e calcular a 
dimensão. 
IV. Teorema do núcleo-imagem: 
 Analisando o conjunto de partida, o núcleo e a imagem, suas dimensões se relacionam 
por: 
 . 
 Para o caso de T ser injetora: 
1) Se pegamos vetores LI, seus transformados serão LI também. 
2) Vetores de uma base de V são transformados em vetores de uma base de W. 
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3 
 
Obs.: Quando T for injetora e sobrejetora, chamamos de BIJETORA (ou bijetiva) e dizemos que 
T é um caso de ISOMORFISMO. 
Ex.: Dados 
 
 
 e W 
 
 e seja 
 definida por: 
 
 
 
 
a) Prove que T é transformação linear. 
b) Determine base de e diga se T é injetiva. 
c) Calcule . 
d) Determine base de e diga se T é sobrejetiva. 
 
A) Para provar que T é uma transformação linear temos que testar as três condições 
necessárias: 
 
i) 
 
 
 ; 
 
 
 
 
Primeira condição OK. 
 
ii) Escolhendo dois vetores de V: 
 
 
 e 
 
 
  
 
 
 
 
Chamando , e : 
 
 
 
 
 
 
Separadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda condição OK. 
 
iii) Sendo e 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
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4 
 
Terceira condição OK. 
 
Como as três condições são satisfeitas, T é uma transformação linear. 
 
B) Seguindo o passo-a-passo para achar o núcleo: 
 
i) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada: 
 
 
ii) Resolver o sistema: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
iii) Achar a base: 
Forma geral: 
 
 
 
Colocando „b‟ em evidência: 
 
 
 
 , como 
 
 
 é não nulo, 
 
 
 é uma base de Ker(T). 
 
Como , T não é injetiva. 
 
C) Pelo teorema do núcleo-imagem: 
 
O conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é a base canônica de V, então . 
 
 
D) Os transformados da base de V são geradores da Im(T), usando a base do item anterior: 
 
 
 
 , 
 
 
 e 
 
 
 
Como , dois desses vetores formam uma base de Im(T): 
 é uma base de Im(T) (os dois vetores são LI). 
 
Como , . 
Co , T não é sobrejetiva. 
 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
1 
 
I. Matriz de uma Transformação Linear: 
 Outro modo de representar uma transformação linear é através do uso de uma matriz 
específica e em função das coordenadas dos vetores para duas bases dadas (uma do conjunto 
de chegada e outra do conjunto de partida). 
Sejam ‘V’ e ‘W’ espaços vetoriais e e bases dos respectivos espaços, podemos representar a 
transformação como: 
 
 
Onde 
 representa a matriz de transformação linear em relação às bases e . 
A matriz da transformação ‘pega’ as coordenadas do vetor do conjunto de partida, , na 
base e retorna as coordenadas de um vetor do conjunto de chegada, , na base . 
A matriz da transformação é obtida fazendo as colunas com as coordenadas dos 
transformados dos vetores da base do conjunto de partida com relação à base do conjunto de 
chegada. Ou seja, sejam e : 
 
 
Obs.: Se a transformação em questão for um Operador Linear, é comum representar a matriz 
como 
 . Se , ou ainda, se for a base canônica, . 
Ex.: Seja 
 
 
 
 tal que e dadas as bases e 
 : 
a) Ache a matriz da transformação linear 
 : 
Vamos achar os transformados dos vetores da base : 
 
i) 
Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em :Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
 
E temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
2 
 
ii) 
Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em : 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
 
E temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a matriz da transformação fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sendo , calcule as coordenadas desse vetor na base , depois as coordenadas 
do transformado na base . 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
E temos: 
 
 
 
 
 
Aplicando a relação 
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
3 
 
II. Autovalores, autovetores e autoespaços: 
 Alguns operadores lineares pegam um vetor e transformam em um outro vetor paralelo (ou 
LD) ao primeiro. Portanto a transformação pode ser representada por: 
 
Onde e . 
 
 Quando lidamos com esse caso, dizemos que é um autovetor associado ao autovalor 
 . 
 Autoespaços são espaços vetoriais que possuem uma base de autovetores (ou seja, 
achado um autovalor, acha-se os autovetores associados a ele e estes formam um autoespaço). 
III. Polinômio característico: 
 Seja I a matriz identidade e A a matriz da transformação, é correto escrever 
 sem alterar nada (faça no papel). Então estamos procurando uma matriz diagonal, , que 
faça a mesma transformação da matriz A. 
 Podemos escrever como . 
 Nomeamos a função 
 
de polinômio característico da matriz A. E os autovalores da transformação são as raízes 
desse polinômio. 
 
Para achar os autovalores da transformação, segue: 
 Passo-a-passo: 
1) Subtrair da diagonal da matriz de transformação; 
2) Tirar a determinante da matriz obtida (será o polinômio característico); 
3) Achar as raízes do polinômio (que serão os autovalores). 
 
 
Ex.: Sendo 
 
 
 
 onde sendo: 
 
 
 
 
Queremos achar a matriz : 
 
 
 
 
 
 
 
Então ficamos com: 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (subtrair da diagonal) 
E o polinômio característico é: 
 (tirar determinante da matriz) 
As raízes: 
 
 São os autovalores da transformação. (raízes do polinômio) 
Para achar o autoespaço de cada autovalor da transformação, segue: 
 Passo-a-passo: 
 Fazer para cada : 
1) Substituir em e igualar à matriz-coluna nula; 
2) Resolver o sistema; 
3) Achar os vetores de cada autoespaço na forma mais geral; 
4) Ache uma base para o autoespaço. 
 
 
Ex.: Sendo os mesmos dados do exemplo anterior, calcule os autoespaços de cada autovalor da 
transformação: 
Para : 
i) Substituir em para cada autovalor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Resolvendo o sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
iii) Na forma mais geral, temos: 
 
Então definimos que: 
 
 
 
(Parametrizei o y, note que não faz diferença). 
iv) Então uma base para é (colocando t em evidência): 
 
 é uma base (de autovetores) de . 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
5 
 
 
 
 
Para : 
i) Substituir em para cada autovalor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Resolvendo o sistema: 
 
 
 
 
 
 
iii) Na forma mais geral, temos: 
 
Então definimos que: 
 
 
 
(Parametrizei o x, note que não faz diferença). 
iv) Então uma base para é (colocando s em evidência): 
 
 é uma base (de autovetores) de . 
 
Após achar os autoespaços, automaticamente achamos os autovetores. Estes serão os 
vetores (na forma mais geral) das bases dos autoespaços. Para o exemplo anterior, os 
autovetores da transformação são: 
IV. Diagonalização de operadores: 
 Dizemos que a transformação é diagonalizável quando podemos substituir a matriz de 
transformação por uma matriz diagonal (os cálculos ficam bem mais fáceis). Na prática, isso é 
possível se nós tivermos uma base para o espaço vetorial formada exclusivamente por 
autovetores. 
 Os autoespaços são, na realidade, subespaços do espaço maior (o que está envolvido na 
transformação, no caso anterior 
 
 
 
, então o espaço maior é 
 
), logo, a soma das 
dimensões dos autoespaços deve ser menor que ou igual à dimensão do espaço maior. 
 A transformação será diagonalizável unicamente se a soma das dimensões dos 
autoespaços for IGUAL à dimensão do espaço maior. 
 A matriz diagonal será dada tendo os autovalores como as entradas da diagonal, ou seja, 
tendo a transformação os autovalores , a matriz diagonal será: 
Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
Logo, a transformação é diagonalizável e a matriz diagonal será: 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
1 Thiago Carreiro 
 
I. Produto interno: 
 É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação 
“pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois 
vetores, v e w, por . 
 Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja 
interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas: 
Para vetores e : 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) 
 
 
 . 
Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico, que é o 
produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I. 
Ex.: Seja e o produto interno usual (canônico) entre eles é 
 . 
II. Módulo de um vetor: 
 Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟ 
dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado 
produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos 
internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco. 
 O módulo de um vetor é definido como: (pela propriedade „d‟ do 
produto interno, temos a garantia de que ). 
III. Ângulo entre dois vetores: 
 Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em 
questão. Sabe-se da Geometria Analítica que: 
 
Onde é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto: 
 
 
 
 
IV. Ortogonalidade de vetores:Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai 
depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno 
entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se: 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
2 Thiago Carreiro 
 
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si. 
É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas. 
Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo. 
V. Normalização de vetores: 
 Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se 
trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um. 
 Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja um vetor 
não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é: 
 
 
 . 
IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados. 
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e 
NORMAL. 
VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt): 
 Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de 
vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores 
ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial 
 
 e o produto 
interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor , 
ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre . Segue na figura abaixo a ideia: 
 
Vetorialmente: 
 
  
 ; 
E, pela figura: 
 assim como . 
 O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até 
dimensões. 
 Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal 
 . A “fórmula” de Gram-Schmidt fica então: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, primeiro escolhemos um vetor qualquer de para ser o vetor e, a partir dele, 
obtemos os outros vetores da base ortogonal (o somatório faz o papel do 
 da figura). 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
3 Thiago Carreiro 
 
Ex.: Seja uma base, ache uma base ortogonal a partir dela: 
Primeira coisa a se fazer é escolher um vetor qualquer de para ser o primeiro vetor da base 
ortogonal. Por fim, utiliza-se o processo de Gram-Schmidt para se obter os demais vetores. 
Fazendo : 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é uma base ortogonal (VERIFIQUE). 
Obs.: Daí se tira o passo-a-passo para se obter uma base ortogonal: 
1) Acha-se uma base qualquer (I unidade); 
2) Utiliza-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt; 
3) CASO você queria uma base ORTONORMAL, basta normalizar os vetores da base 
ortogonal encontrada. 
VII. Coordenadas: 
 Foi visto que para se determinar as coordenadas de um vetor é necessário fazer uma 
combinação linear e resolver um sistema (o que pode ser, convenhamos, bastante trabalhoso). 
Uma das vantagens de se trabalhar com uma base ortogonal (e mais ainda se for ortonormal) é 
que as coordenadas podem ser obtidas de uma forma mais direta. 
 Seja o vetor com coordenadas em relação a uma base qualquer 
 
 
 
 
 
 , a i-ésima coordenada (é preciso entender que, oa se falar de i-ésima, estamos 
falando de algo que é obtido trocando o „i‟ pela ordenação. Por exemplo, a primeira coordenada é 
quando se troca o „i‟ pelo „1‟, a nona coordenada é quando se troca o „i‟ pelo „9‟ e assim por 
diante) é obtida através da „fórmula‟: 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
4 Thiago Carreiro 
 
 
 
 
 
E essa „fórmula‟ é conhecida como „coeficiente de Fourier do vetor em relação ao vetor ‟. 
Ex.: Quais as coordenadas do vetor 
 
 em relação à base 
 ? 
A primeira coisa a se fazer é analisar se a base é ortogonal para verificar a validade no 
método de Fourier. Como não foi mencionado, o produto interno em questão é o canônico. 
Analisando os vetores aos pares: 
i) . Os vetores são ortogonais entre si. 
ii) . Os vetores são ortogonais. 
iii) . Os vetores são ortogonais. 
Então a base é ortogonal, o que permite a utilização do método de Fourier para obtenção 
das coordenadas. 
i) A primeira coordenada: 
 
 
 
 
 
 
 
ii) A segunda coordenada: 
 
 
 
 
 
 
 
iii) A terceira coordenada: 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, um vetor qualquer 
 
 tem coordenadas em relação à base : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: Esse modo de se obter a coordenada é EXCLUSIVAMENTE quando a base em 
questão é ortogonal (ou ortonormal). 
Obs.: Se a base for ortonormal, repare que para qualquer , portanto a 
coordenada se resume a . 
VIII. Complemento ortogonal de um subespaço: 
 Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento 
dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores 
ortogonais aos vetores do subespaço . 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
5 Thiago Carreiro 
 
Ou seja: 
Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado 
por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de . 
Resumidamente: 
 
Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence 
tanto a quanto a . Portanto . 
Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetore de . Dizemos portanto 
que a soma direta de e é : . Essa observação é especialmente importante 
pois nos garante que e, sendo base de e base de , 
podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem 
ortogonais/ortonormais, também será). 
 Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um 
subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de : 
1) Determinar o subespaço e uma base dele; 
2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é 
simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a 
todos os vetores da base de ; 
3) Fazer a condição de . 
Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e 
 
 
 , determine: 
a) O complemento ortogonal de . 
b) Uma base de . 
c) Uma base de V. 
Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior: 
a) Passo-a-passodo complemento ortogonal: 
1) já está determinado, falta achar uma base: 
O vetor na forma mais geral é 
 
 
 . 
Separando as „letras‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Colocando em „evidência‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Como 
 
 
 e 
 
 
 são LI, formam uma base de . 
2) O vetor do complemento precisa ser ortogonal aos dois vetores da base achada 
anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 , logo: . 
 
 
 
 
 
 
 , logo . 
3) 
 
 
 . 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
6 Thiago Carreiro 
 
b) Passo-a-passo para achar uma base: 
O vetor na forma mais geral é 
 
 
 . 
Separando as „letras‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Colocando em „evidência‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Como 
 
 
 e 
 
 
 são LI, formam uma base de . 
c) Como a soma direta de e de resultam em , uma base de é a união das bases de 
 e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX. Operador linear auto-adjunto: 
Também chamado de auto-operador ou operado simétrico se, para qualquer que seja uma 
base ORTONORMAL (exclusivamente), a matriz é simétrica, isto é: 
 
 
 
 
A definição é que, sejam vetores e será um au to-operador se, e somente se: 
 
 
Ex.: Seja 
 
, o operador 
 
 
 
 definido por: 
 
E o produto interno usual, diga se é auto-adjunto. 
 A primeira coisa a se fazer é achar uma base ortonormal de . Pode ser achada partindo 
de uma base qualquer, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e, por fim, 
normalizando-a. Mas como o espaço vetorial em questão é o 
 
 sem restrições, a base canônica 
 já é ortonormal. 
 Agora é achar a matriz da transformação linear: 
i) ; 
ii) ; 
iii) . 
Lembrando que . Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 que é uma matriz simétrica (números coloridos). 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
7 Thiago Carreiro 
 
 Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é 
simétrica, o operador é auto-adjunto. 
Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de 
autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados 
como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais, 
bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é 
garantia que se pode diagonalizar este operador. 
Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto: 
1) Determinar uma base ortonormal; 
2) Fazer a matriz de transformação dos vetores da base; 
3) Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta. 
X. Operador (e matriz) ortogonal: 
Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja: 
 
Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja: 
 
Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal: 
i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação. 
Ou seja: 
 
ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal) 
formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo: 
Seja uma base ortonormal. 
Seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, se forem tomados os vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , eles formam uma base ortonormal 
(VERIFIQUE). 
Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as 
condições anteriores). 
Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal 
(utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis: 
i) Se você tem a matriz: 
a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter 
uma através desta primeira); 
b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno 
usual. 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
8 Thiago Carreiro 
 
ii) Se você tem a transformação linear definida: 
a) Verificar se um vetor (na forma mais geral) tem seu módulo preservado. Ou seja, 
se . 
Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com 
relação ao produto escalar. 
i) Coluna 1: ; 
ii) Coluna 2: ; 
iii) Coluna 3: . 
Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si: 
i) Colunas 1 e 2: 
 ; 
ii) Colunas 1 e 3: ; 
iii) Colunas 2 e 3: . 
Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar, 
então a matriz é ortogonal. 
IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE 
ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL. 
Ex².: Seja 
 
 
 
 com produto interno usual onde . Diga se T é 
ortogonal. 
 Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do 
vetor é preservado: 
 
 
Como , temos que é um operador ortogonal. 
XI. Projeção ortogonal: 
 A projeção de um subespaço vetorial em outro (ou de um vetor em particular sobre um 
subespaço) é a “componente” que cada vetor do primeiro teria sobre o segundo (a “sombra” de 
um em outro). 
 Para ter uma noção geométrica, imagine o 
 
 e um subespaço dele, um plano que passa 
pela origem . 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
9 Thiago Carreiro 
 
 Na figura a seguir um vetor 
 
 (em vermelho) é projetado ortogonalmente (em azul) 
sobre o plano . Para qualquer outro subespaço a ideia é a mesma, embora não faça mais 
sentido tentar uma visualização geométrica. 
 
 A projeção de um vetor em seu próprio subespaço é ele mesmo: 
 Seja , seja um vetor , então . Logo, é um autovetor 
associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor em seu próprio espaço vetorial é um 
autovetor associado ao autovalor 1”). 
 A projeção de um vetor em um subespaço ortogonal ao seu (por exemplo, a projeção de 
um vetor de em ) é o vetor nulo: 
 Seja 
 , seja , então . Logo, é um autovetor associado ao 
autovalor . (“A projeção de um vetor sobre um subespaço ortogonal ao seu é um autovetor 
associado ao autovalor 0”); 
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar uma projeção ortogonal de um vetor em um 
subespaço : 
a) Achar uma base ortogonal (ou ortonormal) do subespaço ; 
b) Calcula a projeção pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 , onde: 
 Projeção do vetor sobre o subespaço ; 
 Base ortogonal (ou ortonormal) de . 
Obs.: Se for pedido a projeção de umsubespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais 
geral no lugar de . 
Ex.: Seja 
 
 , ache 
 
 e depois ache . 
Aplicando o passo-a-passo: 
a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas facilita as contas): 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
10 Thiago Carreiro 
 
i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ; 
ii) “Separando por letras”: (já está separado); 
iii) Colocando em evidência: 
Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base (como é único é 
ortogonal); 
iv) Normalizando: 
 
 
; 
v) 
 
 
 é base ortonormal de . 
b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso, 
 e . Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada, 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
c) Substituindo por : 
 
 
 
 
 
 
 
Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido 
(repare que 
 
) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor 
 . 
XII. Reflexão: 
Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço 
funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo. 
A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em 
 
 (de 
vermelho) e uma reta . Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta. 
 
A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo. . 
Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor . A 
reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto. 
 . Então os vetores de 
 são autovetores associados ao autovalor . 
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço : 
a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço; 
b) Aplicar a “fórmula”: ; 
A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado 
 
 para dar a ideia 
geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço). 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
11 Thiago Carreiro 
 
 
Se em vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal 
(verde  projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por 
soma vetorial: 
 
Além de: 
 
Substituindo a primeira igualdade na segunda: 
 
 
IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der 
preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tem muito cálculo), a 
reflexão de um subespaço em um subespaço : 
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ; 
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ; 
c) Fazer a base do subespaço pertence ser a união das duas bases encontradas; 
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os 
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das 
entradas do vetor mais geral); 
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados; 
Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar 
no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral. 
Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P). 
Ex.: Seja 
 
 , ache 
 
 e depois ache . 
PELO PRIMEIRO PASSO-A-PASSO: 
Já sabemos que a projeção (pelo exemplo resolvido na parte de Projeção Ortogonal) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
12 Thiago Carreiro 
 
Para o vetor específico (4,-2): 
 
 
 
 
 
 
 
PELO SEGUNDO PASSO-A-PASSO: 
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço : 
 
Como a condição já está dada, os vetores de são da forma , então 
 é base ortogonal de . 
 
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço : 
 
 é base ortogonal de (VERIFIQUE). 
 
c) Fazer a base do subespaço pertence ser a união das duas bases encontradas: 
 
 é base ortogonal de 
 
. 
 
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os 
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das 
entradas do vetor mais geral): 
 
O vetor que queremos é o mais geral de 
 
, : 
 
Daí tiramos o sistema: 
 
 
 
 
Mas lembrar que os coeficientes ( ) deve estar em função das entradas do vetor 
( ).Isolando e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados: 
 
 
Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide 
resumo da 2ª unidade): 
 
 
Substituindo os valores de e : 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
13 Thiago Carreiro 
 
Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao 
seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ), 
portanto: 
 
Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um 
subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor 
 ), portanto: 
 
Então temos no fim que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o vetor específico (4,-2): 
 
 
 
 
 
 
 
XIII. Cônicas e quádricas: 
 Chamamos de cônica um conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação: 
 
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, onde 
a matriz é: 
 
 
 
 
 
 Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de 
 
 
(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto 
admite uma base de autovetores ortonormais. 
Rotação: 
 As cônicas podem ser “desenhadas” no plano . O que chamamos de termo cruzado é o 
termo que multiplica ao mesmo tempo e . No caso apresentado, é o termo . O termo cruzado 
está associado à rotação da cônica no plano e, para melhor ser representado é preferível eliminar 
esse termo (fazer ). Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base 
ortonormal de autovetores. Podemos escrever a cônica eliminando o termo cruzado da seguinte 
forma: 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
14 Thiago Carreiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a 
forma canônica da cônica: 
 
 Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir e e, assim, 
toda a forma canônica. 
 Serão encontrados dois autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormaldo 
plano). Esses dois autovetores serão chamados e . Temos então que fazer a 
mudança de coordenadas de para : 
 
 
 
 
Temos então que: 
 
 
 
Obs.: Note que não muda com a mudança de base. 
A cônica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores: 
 
 
 
 
Translação: 
 Por vezes, ao eliminar o termo misto, a equação obtida ainda não fica na origem, então 
recorremos à translação dos novos eixos (visto em Geometria Analítica, Cálculo 1 e Cálculo 2). 
Basta completar quadrados, ver o centro da cônica e, então, transladar os eixos de modo que a 
origem coincida com o centro da cônica. 
IMPORTANTE: Para eliminar o termo cruzado, o passo-a-passo é: 
a) Achar os autovalores e e os autovetores associados a eles. (Esses vetores formarão 
a nova base ortonormal); 
b) Determinar e ; 
c) Classificar a cônica e determinar sua nova forma canônica. 
Ex.: Considere a cônica . 
a) Escreva a equação da cônica na forma matricial. 
b) Determine uma base ortonormal de 
 
 de forma que a equação com novas coordenadas 
nesta base não tenha termo misto (cruzado). Escreva esta nova equação explicitamente e 
classifique a cônica. 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
15 Thiago Carreiro 
 
a) Basta determinar as correspondências dos termos, lembrando que: 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, na forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A base ortonormal que elimina o termo cruzado é a base de autovetores normalizados: 
 
# Achando os autovalores: 
 
 
 
 
 
Os autovalores são as raízes do polinômio característico (vide resumo da 2ª unidade): 
 
 
 
 
 
# Achando os autovetores associados a cada autovalor (vide resumo da 2ª unidade 
para entender os passos): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é 
 . 
Normalizando para a forma : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é 
 . 
Normalizando para a forma : 
 
 
 
 
 
 
 
 
A base ortonormal que elimina o termo cruzado é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
16 Thiago Carreiro 
 
# Determinando e : 
Lembrar que: 
 
 
 
 
Fazendo as equivalências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E portanto: 
 
 
 
 
# Determinando a nova forma matricial da cônica: 
Lembrar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo as equivalências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
# Determinando a nova forma canônica da cônica: 
Lembrar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo as equivalências: 
 
E não há necessidade de fazer translação. 
 
# Classificando a cônica: 
 
 
 
Logo, a cônica é uma parábola. 
 
A figura abaixo mostra o que foi feito nessa questão. 
A cônica (de verde) não sofre alteração, tudo o que é feito é a definição de novos eixos (de 
roxo) com vetores diretores e (em vermelho). Como não houve translação, os novos 
eixos são os antigos, rotacionados de um ângulo .