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Álgebra Linear MATRIZES DETERMINANTES SISTEMAS LINEARES Prof.: José Fernando Santiago Prates Universidade de Franca – UNIFRAN Franca - 2016 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 2 Conteúdo 1. Matrizes .................................................................................................................................... 5 1.1. Definições ............................................................................................................................................ 5 1.2. Operações com Matrizes................................................................................................................. 5 1.2.1. Adição de matrizes ................................................................................................................................ 5 Exemplos ....................................................................................................................................................... 5 1.2.2. Multiplicação de uma matriz por uma constante não nula .............................................................. 6 Exemplos ....................................................................................................................................................... 6 1.2.3. Multiplicação de Matrizes .................................................................................................................... 7 Exemplos ....................................................................................................................................................... 7 1.3. Igualdade entre matrizes ............................................................................................................... 8 1.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 8 1.4. Matrizes especiais........................................................................................................................... 10 1.4.1. Matriz Nula ............................................................................................................................................ 10 1.4.2. Matriz Quadrada .................................................................................................................................. 10 Exemplos ..................................................................................................................................................... 10 1.4.3. Matriz Identidade ................................................................................................................................ 10 Exemplos ..................................................................................................................................................... 10 1.4.4. Matriz Diagonal ...................................................................................................................................... 11 Exemplos ...................................................................................................................................................... 11 1.4.5. Matriz Escalar ........................................................................................................................................ 11 Exemplos ...................................................................................................................................................... 11 1.4.6. Matriz Triangular Superior ................................................................................................................ 12 1.4.7. Matriz Triangular Inferior ................................................................................................................. 12 Exemplos ..................................................................................................................................................... 12 1.4.8. Matriz Transposta................................................................................................................................ 12 Exemplos ..................................................................................................................................................... 13 1.4.9. Matriz Simétrica .................................................................................................................................. 13 Exemplos ..................................................................................................................................................... 13 1.5. Propriedades ..................................................................................................................................... 13 2. Determinantes ........................................................................................................................ 17 2.1. Definição ............................................................................................................................................ 17 2.2. Determinante de uma matriz de ordem 1 ................................................................................. 17 2.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 17 2.3. Determinante de uma matriz de ordem 2 ................................................................................ 17 2.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 17 2.4. Determinante de uma matriz de ordem 3 pela regra de Sarrus ....................................... 18 2.4.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 18 2.5. Determinante de uma matriz de ordem n por Laplace ......................................................... 19 2.5.1. Cofator .................................................................................................................................................... 19 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 3 2.5.2. Matriz cofator ................................................................................................................................. 19 Exemplos .................................................................................................................................................... 20 2.5.3. Teorema de Laplace ....................................................................................................................... 20 2.5.4. Exemplos ............................................................................................................................................ 21 2.6. Propriedades de Determinantes ................................................................................................ 22 3. Matriz inversa ........................................................................................................................ 25 3.1. Definição ........................................................................................................................................... 25 3.2. Propriedades da inversão de Matrizes..................................................................................... 25 3.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................ 25 3.3. Matriz singular................................................................................................................................ 28 3.4. Matriz não singular ........................................................................................................................ 28 3.5. Operações elementares em Matrizes....................................................................................... 28 3.6. Matrizes equivalentes ................................................................................................................... 28 3.7. Transformação de uma Matriz em Triangular superior ...................................................... 29 Exemplos .................................................................................................................................................... 30 3.8. Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares ........................................ 32 Exemplos .................................................................................................................................................... 33 3.9. Cálculo da matriz inversa usando a Matriz Cofator ............................................................. 35 Exemplos .................................................................................................................................................... 35 4. Sistemas de equações lineares .......................................................................................... 38 4.1. Definição ........................................................................................................................................... 38 4.2. Classificação ..................................................................................................................................... 38 4.2.1. Solução Possível e Determinada ....................................................................................................... 38 4.2.2. Solução Possível e Indeterminada ............................................................................................... 39 4.2.3. Solução Impossível ......................................................................................................................... 39 Exemplos .................................................................................................................................................... 39 4.3. Sistemas Triangulares .................................................................................................................. 40 4.3.1. Superior ................................................................................................................................................. 40 Exemplos .................................................................................................................................................... 40 4.3.2. Inferior .............................................................................................................................................. 41 Exemplos ..................................................................................................................................................... 41 4.4. Solução de Sistemas Lineares pela Inversa ........................................................................... 42 4.4.1. Definição ............................................................................................................................................... 42 Exemplos .................................................................................................................................................... 42 4.5. Solução de Sistemas Lineares pelo Método de Gauss ......................................................... 44 4.5.1. Definição ............................................................................................................................................... 44 Exemplos .................................................................................................................................................... 45 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 4 4.6. Solução de um Sistema Linear pelo teorema de Cramer .................................................... 47 4.6.1. Definição ............................................................................................................................................... 47 Exemplos .................................................................................................................................................... 48 5. Formulação de Sistemas Lineares ..................................................................................... 49 5.1. Um exemplo em física (Espaço-velocidade). ........................................................................... 49 5.2. Um exemplo em física (Força). ................................................................................................... 49 5.3. Uma Fábrica ..................................................................................................................................... 50 5.4. Um Circuito ........................................................................................................................................ 51 5.5. Um Concurso ..................................................................................................................................... 53 5.6. Problema da Dieta .......................................................................................................................... 54 5.7. Problema da Ração .......................................................................................................................... 55 6. Bibliografia ............................................................................................................................. 56 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 5 1. Matrizes 1.1. Definições Designa-se por matriz do tipo m por n, ou simplesmente m x n, sobre um corpo, a qualquer conjunto ordenado de elementos em m linhas e n colunas. Notação: A = (aij) = nmmnmj3m2m1m inij3i2i1i n3j3333231 n2j2232221 n1j1131211 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa Onde i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n 1.2. Operações com Matrizes. 1.2.1. Adição de matrizes Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n. A adição A + B é uma matriz S = (sij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n, onde cada elemento é resulta da soma dos elementos correspondentes das duas matrizes. S = A + B sij = aij + bij i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n Exemplos 1) Sejam as matrizes A= 04 21 e B= 31 52 calcule A + B. Solução: A + B = 04 21 + 31 52 = 30)1(4 5221 = 35 73 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 6 2) Sejam as matrizes A= 301 231 113 e B= 111 202 021 calcule A + B. Solução: A + B = 301 231 113 + 111 202 021 = 410 431 134 3) Obter uma matriz de ordem 4x4 onde aij = (-1) i+j(2i - 3j). Solução: a11 = (-1) 1+1(21 – 31) = -1 a12 = (-1) 1+2(21 – 32) = 7 a32 = (-1) 3+2(23 – 32) = 1 a43 = (-1) 4+3(24 – 33) = 11 1.2.2. Multiplicação de uma matriz por uma constante não nula Seja A = (aij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n e K R. A multiplicação KA é uma matriz C = (cij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n onde cada elemento é resulta da multiplicação dos elementos da matriz pela constante K. C = KA cij = Kaijj i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n Exemplos 1) Sejam as matrizes A= 04 21 e K = 2 calcule kA. Solução: kA = 2 04 21 = )0.(2)4.(2 )2.(2)1.(2 = 08 42 2) Sejam as matrizes A= 301 231 113 e K = 3 calcule kA. Solução: kA = 3 301 231 113 = )3.(3)0.(3)1.(3 )2.(3)3.(3)1.(3 )1.(3)1.(3)3.(3 = 903 699 339 6511713 731915 772351 792571 A Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 7 1.2.3. Multiplicação de Matrizes Sejam duas matrizes A = (aik) i = 1, 2, 3,..., m, k = 1, 2, 3,... , p e B = (bkj) k = 1, 2, 3,..., q, j = 1, 2, 3,... n. A multiplicação das matrizes AB é uma matriz C = (cij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... , n, se, e somente se p = q. p k ikijij aBAcC 1 kjb )()( i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... ,n mnmj3m2m1m inij3i2i1i n3j3333231 n2j2232221 n1j1131211 ccccc ccccc ccccc ccccc ccccc = mpmk3m2m1m ipik3i2i1i p3k3333231 p2k2232221 p1k1131211 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa pnpj3p2p1p knkj3k2k1k n3j3333231 n2j2232221 n1j1131211 bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb Obs.: O número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Exemplos Sendo A= 111 202 021 , B= 31 52 , C= 41 02 13 D= 311 212 , calcule: 1) AC Solução AC = 111 202 021 41 02 13 = 30 108 17 2) BD Solução BD = 31 52 311 212 = 741 1939 3) CB Solução CB = 41 02 13 31 52 = 172 104 185 4) DC Solução DC = 311 212 41 02 13 = 138 196 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 8 5) CD Solução CD = 41 02 13 311 212 = 1436 424 927 6) AB Solução IMPOSSÍVEL. O número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda. 7) BC Solução IMPOSSÍVEL. O número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda. 8) CA Solução IMPOSSÍVEL. O número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda. 1.3. Igualdade entre matrizes Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n. Dizemos que elas são iguais se, e somente se aij = bij i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n 1.3.1. Exemplos 1) Sejam as matrizes A= zxy 5yx e B= 31 52 Determinar, se possível, os valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. Solução: zxy 5yx = 31 52 y = -1 x + y = 2 x = 3 x + z = 3 z = 0 Portanto, x = 3, y = -1 e z = 0 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 9 2) Sejam as matrizes A= xz64 zx23 zxxyx e B= 564 423 531 Determinar, se possível, os valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. Solução xz64 zx23 zxxyx = 564 423 531 x = 1 y + x = 3 y = -2 x + z = 5 z = 4 2x = 2 x = 1 z = 4 z + x = 5 Portanto, x = 1, y = -2 e z = 4 3) Sejam as matrizes A= z64 4y3 5xyx e B= 564 423 551 Determinar, se possível, os valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. Solução z64 4y3 5xyx = 564 423 551 x = 1, y = 2, z = 5 y + x = 5 Absurdo, pois os valores iniciais x + y = 3 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 10 1.4. Matrizes especiais 1.4.1. Matriz Nula Matriz em que todos os elementos são nulos. 0.....000 0.....000 0.....000 0.....000 1.4.2. Matriz Quadrada Matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas (neste caso diz-se que a matriz é de ordem n). nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a.....aaa ........................ a.....aaa a.....aaa a.....aaa Exemplos 1) A= 111 202 021 2) B = 3202 5123 4512 8441 3) C = 31 52 1.4.3. Matriz Identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal é igual a 1, e todos os outros são nulos. 1.....000 ........................ 0.....100 0.....010 0.....001 Exemplos 1) I = 10 01 I = 100 010 001 I= 1000 0100 0010 0001 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 11 1.4.4.Matriz Diagonal Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, e todos os outros são nulos. Principal: nn 33 22 11 a.....000 ........................ 0.....a00 0.....0a0 0.....00a Secundária: 0.....00a ........................ 0.....a00 0.....000 a.....000 1n 33 n1 Exemplos 1) A= 200 030 001 , 2) B = 3000 0800 0010 0004 , 3) C = 30 02 4) A= 002 030 700 , 5) B = 0005 0010 0400 3000 , 6) C = 05 10 1.4.5. Matriz Escalar Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais, e todos os outros são nulos. k.....000 ........................ 0.....k00 0.....0k0 0.....00k onde k R. Exemplos 1) A= 500 050 005 , 2) B = 4000 0400 0040 0004 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 12 1.4.6. Matriz Triangular Superior Matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, e os elementos da diagonal e acima são não nulos. nxnnn n333 n22322 n1131211 a.....000 ........................ a.....a00 a.....aa0 a.....aaa Exemplos 1) A= 100 270 523 , 2) B = 3000 5100 4510 8441 , 3) C = 60 92 1.4.7. Matriz Triangular Inferior Matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, e os elementos da diagonal e abaixo são não nulos. nxnnn3n2n1n 333231 2221 11 a.....aaa ........................ 0.....aaa 0.....0aa 0.....00a Exemplos 1) A= 813 042 003 , 2) B = 7502 0123 0042 0005 , 1.4.8. Matriz Transposta Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... p. A matriz transposta de A, representada por AT é a matriz obtida a partir da troca das linhas pelas colunas, ou seja AT = (aji) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... p A= mxpmp3m2m1m p3333231 p2232221 p1131211 a.....aaa ........................ a.....aaa a.....aaa a.....aaa AT = pxm mpp3p2p1 3m332313 2m322212 1m312111 a.....aaa ........................ a.....aaa a.....aaa a.....aaa Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 13 Exemplos 1) A= 33 987 654 321 AT = 33 963 852 741 2) B= 22 31 52 BT = 22 35 12 3) C= 23 41 02 13 CT = 32 401 123 4) D= 32 311 212 D T = 23 32 11 12 1.4.9. Matriz Simétrica Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. Dizemos que A é uma matriz simétrica, representada por A’, se, e somente se (aji) = (aij). Exemplos 1) A= 813 142 323 , 2) B = 7502 5123 0242 2325 , 3) C= 61 12 1.5. Propriedades Sejam A, B, C Rmxn e , R. São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais; 1. A + B = B + A Demonstração (A + B)ij = aij + bij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = bij + aij = (B + A)ij; Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 14 2. A + (B + C) = (A + B) + C Demonstração [A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = (A + B)ij + cij = [(A + B) + C]ij; 3. O Rmxn, tq A Rmxn, A + O = A, onde Omxn é chamada matriz nula. Demonstração 1 Seja uma matriz Um x n tal que A + U = A, A R mxn Comparando os elementos correspondentes, temos que aij + uij = aij ou seja, uij = 0, para i = 1..., m e j = 1..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz à equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. Denotamos esta matriz por Omxn. Demonstração 2 (A + 0)ij = aij + 0ij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = aij = (A)ij; 4. A Rmxn, B Rmxn tq A + B = O, onde Bmxn é chamada matriz oposta. Demonstração 1 Para cada matriz Am x n, existe uma única matriz Bm x n, tal que A + B = 0. Representamos Bm x n por -Am x n. Dada uma matriz Am x n, seja B uma matriz m x n, tal que A + B = O Comparando os elementos correspondentes, temos que aij + bij = 0 , ou seja, bij = - aij, para i = 1..., m e j = 1..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz a equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de A. Denotamos esta matriz por - A. Demonstração 2 (A + (-A))ij = aij + (-a)ij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = 0ij = (0)ij; Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 15 5. (A) = ()A Demonstração [ (A)]ij = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = ()aij = [()A]ij 6. ( + )A = A + A Demonstração [( + )A]ij = ( + )aij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = (aij) + (aij) = [A]ij + [A]ij = [A + A]ij 7. (A + B) = A + B Demonstração [ (A + B)]ij = (aij + bij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n = aij + bij = [A]ij + [B]ij = [A + B]ij 8. A(BC) = (AB)C Demonstração A demonstração deste item é a mais trabalhosa. Sejam as matrizes Am x p, Bp x q e Cq x n. A notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta. p 1k kjikij b a)BA( = mpmk3m2m1m ipik3i2i1i p3k3333231 p2k2232221 p1k1131211 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa pqpj3p2p1p kqkj3k2k1k q3j3333231 q2j2232221 q1j1131211 bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... q q 1l ljklkj c b)CB( = pqpj3p2p1pkqkj3k2k1k q3j3333231 q2j2232221 q1j1131211 bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb pnpl3p2p1p lnll3l2l1l n3j3333231 n2l2232221 n1l1131211 ccccc ccccc ccccc ccccc ccccc k = 1, 2, 3,..., p, j = 1, 2, 3,... n [A(BC)]ij = p 1k kjik )BC(a = p 1k q 1l ljklik )cb(a = q 1l ljklik p 1k )cb(a = q 1l ljklik p 1k c)ba( = p 1k ljklik q 1l c)ba( = p 1k ljklik q 1l c)ba( = lj q 1l ilc)AB( = [(AB)C]ij . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 16 9. A(B + C) = AB + AC Demonstração Usando a notação do Somatório, [A(B+C)]ij = p 1k kjik )CB(a = p 1k kjkjik )cb(a = p 1k kjikkjik )caba( = p 1k kjik p 1k kjik )ca()ba( = [AB]ij + [AC]ij = [AB + AC]ij 10. (AB) = (A)B = A(B) Demonstração [(AB)]ij = p 1k kjikba = p 1k kjik )ba( = p 1k kjik b)a( = [(A)B]ij e [(AB)]ij = p 1k kjikba = p 1k kjik )ba( = p 1k kjik )b(a = [A(B)]ij 11. (AT)T = A Demonstração [(AT)T]ij = (aij T)T = (aji) T = aij = [A]ij 12. (A + B)T = AT + BT Demonstração [(A + B)T]ij = [A + B]ji = aji + bji = [A T]ij + [B T]ij. 13. (AB)T = BTAT Demonstração [(AB)T]ij = [AB]ji = p 1k kijkba = p 1k T ik T kj )b()a( = T kj p 1k T ik )a()b( = [BTAT]ij 14. (A)T = AT Demonstração [(A)T]ij = [A]ji = aji = [A T]ij Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 17 2. Determinantes 2.1. Definição A qualquer a matriz A = (aij) de ordem n, podemos associar um único número real chamado de determinante da matriz; Notações: Det(A), |A| 2.2. Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante de uma matriz A = [ 11a ] de ordem 1 é dado por: Det(A) = a11 2.2.1. Exemplos 1) A = 5 Solução: Det(A) = 5 2) A = 7 Solução: Det(A) = -7 2.3. Determinante de uma matriz de ordem 2 Seja a matriz A = 2221 1211 aa aa de ordem 2. O determinante de A é dado por: Det(A) = a11 . a22 - a21 . a12 2.3.1. Exemplos Encontre o determinante das seguintes matrizes. 1) A = 43 21 Solução: Det(A) = (1).(4) – (3).(2) = -2 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 18 2) A = 23 11 Solução: Det(A) = (1).(2) – (-3).(1) = 5 3) A = 21 42 Solução: Det(A) = (2).(2) – (-1).(4) = 8 2.4. Determinante de uma matriz de ordem 3 pela regra de Sarrus Seja a matriz A = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa de ordem 3. O determinante de A é dado pela seguinte Regra: 1º) Repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna. 3231333231 2221232221 1211131211 aaaaa aaaaa aaaaa 2º) Fazer o produto da diagonal principal e das paralelas. 3º) Fazer o produto da diagonal secundária e das paralelas invertendo o sinal. 4º) Somar os resultados. Det(A) = Det 333231 232221 131211 aaa aaa aaa = 3231333231 2221232221 1211131211 aaaaa aaaaa aaaaa Det(A) = a11 .a22 . a33 + a12 .a23 . a32 + a13 .a21 . a32 – a31 .a22 . a13 - a32 .a23 . a11 - a33 .a21 . a12 2.4.1. Exemplos Encontre o determinante das seguintes matrizes. 1) A = 1641 931 421 Solução: Det(A) = 2 Inverte o sinal das multiplicações Mantém o sinal das multiplicações Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 19 2) A = 111 250 321 Solução: Det(A) = 16 3) A = 311 211 112 Solução: Det(A) = 9 2.5. Determinante de uma matriz de ordem n por Laplace Seja a matriz A = (aij) de ordem n. A = (aij) = nnnnnj3n2n1n inij3i2i1i n3j3333231 n2j2232221 n1j1131211 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 2.5.1. Cofator Cof(aij) = (-1) i + j . Det(Aij) Onde Det(A)ij é o determinante da matriz A suprindo a linha i e a coluna j. (Aij) = nn1nj1nj2n1n n1i1j1i1j1i12i11i n1i1j1i1j1i12i11i n21j21j22221 n11j11j11211 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 2.5.2. Matriz cofator No caso de uma matriz de ordem 3 temos: A matriz que se obtém ao substituir cada elemento aij de A, por seu cofator Aij chamamos Matriz dos Cofatores de A e representamos por Cof(A). Matriz cofator = A = )a(Cof)a(Cof)a(Cof )a(Cof)a(Cof)a(Cof )a(Cof)a(Cof)a(Cof 333231 232221 131211 para n=3. Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 20 A transposta da Matriz dos Cofatores de A é a Matriz Adjunta de A e a representamos por Adj(A). Exemplos Seja a seguinte matriz A = 987 654 321 . Encontre os seguintes cofatores Cof(a12), Cof(a22) e Cof(a13). 1) Cof(a12) = (-1) 1+2 Det 97 64 = 6 2) Cof(a22) = (-1) 2+2 Det 97 31 = –12 3) Cof(a13) = (-1) 1+3 Det 87 54 = –3 2.5.3. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é dado pela soma dos produtos dos elementos de uma das linhas pelos correspondentes cofatores. Det(A) = (-1)i+1.ai1 .Det ]A[ 1i + (-1)i+2.ai2 .Det ]A[ 2i +....+(-1)i+n.ain .Det ]A[ in n 1j iji j ji )Det(Aa)1()A(Det , Onde Aij é matriz inicial sem a linha i e sem a coluna j e i é uma das linhas escolhida. Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 21 2.5.4. Exemplos Encontre o determinante das seguintes matrizes. 1) A = 1641 931 421 Solução: Escolhendo a primeira linha temos: Det(A) = (-1)2.a11 .Det ]A[ 11 + (-1)3.a12 .Det ]A[ 12 +(-1)2.a13 .Det ]A[ 13 Det(A) = a11 .Det 3332 2322 aa aa - a12 .Det 3331 2321aa aa + a13 .Det 3231 2221 aa aa Det(A) = 1.Det 164 93 – 2 .Det 161 91 + 4 .Det 41 31 = 1.(12) – 2.(7) + 4.(1) = 2 2) A = 987 654 321 Solução: Escolhendo a primeira linha temos: Det(A) = 1.Det 98 65 – 2 .Det 97 64 + 3 .Det 87 54 = 1.(-3) – 2.(-6) + 3.(-3) = 0 3) A = 1420 4531 0312 3121 Solução: Escolhendo a primeira linha temos: Det(A) = (-1)1+1.a11 .Det ]A[ 11 + (-1)1+2.a12.Det ]A[ 12 + (-1)1+3.a13.Det ]A[ 13 + (-1)1+4.a13.Det ]A[ 13 Det(A) = 1.Det 142 453 031 – (–2).Det 140 451 032 + 1.Det 120 431 012 – (3).Det 420 531 312 = 1.(44) – (–2).( –19) + 1.(23) – 3.( –54) = 191 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 22 4) A = 3412 1301 0312 2131 Solução: Escolhendo a primeira linha temos: Det(A)=(1).Det 341 130 031 –(3).Det 342 131 032 +(1).Det 312 101 012 –(2).Det 412 301 312 = (1).(8) – (3).(7) + (1).(–3) –(2).(–1) = – 14 5) A = 3223 1312 2121 6573 Solução: Escolhendo a primeira linha temos: Det(A)=(3).Det 322 131 212 –(7).Det 323 132 211 +(5).Det 323 112 221 –(6).Det 223 312 121 = (3).(5) – (7).(–6) + (5).(–3) –(6).(7) = 0 2.6. Propriedades de Determinantes As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que seja a ordem dos determinantes. No entanto, utilizaremos determinantes de ordem 2 e 3 para facilitar a compreensão. I) Det (A) = Det (AT) Seja a matriz A = 2221 1211 aa aa e sua transposta A T R2x2 Det(A) = 2221 1211 aa aa = a11 . a22 - a21 . a12 Det(AT) = 2212 2111 aa aa = a11 . a22 - a12 . a21 Portanto, Det (A) = Det (AT) Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 23 II) Det (kA) = knDet (A), onde n é a ordem da matriz. Seja a matriz A = ihg fed cba R3x3 e k R. Det(A) = ihg fed cba = aei + bfg + dhc – ceg – bdi - fha Det(kA) = kikhkg kfkekd kckbka = kakeki + kbkfkg + kdkhkc – kckekg – kbkdki – kfkhka = k3aei + k3bfg + k3dhc – k3ceg – k3bdi - k3fha = k3(aei + bfg + dhc – ceg – bdi – fha) = k3Det(A) Portanto, Det (kA) = knDet (A) III) Det(A.B) = Det(A)Det(B) Seja a matriz A = wz yx e B = dc ba R 2x2 Det(A) = wz yx = xw - zy Det(B) = dc ba = ad - cb Det(A)Det(B) = (xw - zy)(ad - cb) = xw(ad - cb) - zy(ad - cb) = = xwad - xwcb - zyad + zycb Det(A.B) = wdzbwcza ydxbycxa = (xa + yc)(zb + wd) – (za + wc)(xb + yd) = xa(zb + wd) + yc(zb + wd) – za(xb + yd) – wc(xb + yd) = xazb + xawd + yczb + ycwd – zaxb - zayd – wcxb - wcyd = xawd + yczb - zayd – wcxb Portanto, Det(A.B) = Det(A)Det(B) Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 24 IV) Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante troca somente de sinal. Seja a matriz A = zyx fed cba R3x3 Det(A) = zyx fed cba = aez + bfx + dyc – cex – bdz – fya Det(A’) = cba fed zyx = xec + yfa + dbz – zea – ydc – fbx = -(aez + bfx + dyc – cex – bdz – fya) V) Se uma matriz quadrada tem todos os elementos de uma linha ou coluna nulos, seu determinante é zero. VI) Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas iguais seu determinante é zero. VII) Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante é zero. VIII) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais. IX) Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é combinação linear de duas ou mais das linhas ou colunas restantes, seu determinante é zero. X) Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela, seu determinante não altera. XI) Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela multiplicada por um número, seu determinante não altera. Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 25 3. Matriz inversa 3.1. Definição Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. Seja uma outra matriz Seja a matriz B = (bij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. satisfazer as condições AB = BA = I, dizemos que B é Inversa de A, e é representada por A-1 3.2. Propriedades da inversão de Matrizes A inversa de uma matriz, caso exista, é única. (AB) -1 = B-1A-1 (A + B)-1 = A-1 + B-1 (A-1)-1 = A (AT)-1 = (A-1)T Demonstração: Admitindo que (AT)-1 seja inversa de (A-1)T temos que provar que (AT)(A-1)T = I e (A-1)T (AT) = I, ou seja; AT(A-1)T = (A-1A)T = (I)T = I (A-1)TAT = (AA-1)T = (I)T = I Logo (AT)-1 = (A-1)T É necessário e suficiente para que uma matriz seja invencível que o seu determinante seja diferente de zero; uma matriz nestas condições diz-se regular ou não regular. 3.2.1. Exemplos 1) Se A e B são duas matrizes que admitem inversas de ordem n, então: (A.B)-1=B-1.A-1. é verdadeira. Solução: Usando a definição temos: (A.B) . (B-1.A-1) = A.B.B-1.A-1 = A.I.A-1 = A.A-1 = I (B-1.A-1) . (A.B) = B-1.A-1.A.B = B-1.I.B = B-1.B = I Portanto a igualdade é verdadeira. Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 26 2) Sendo dada a matriz A= 32 75 e sua inversa A -1= 52 yx calcular x e y usando propriedades da matriz inversa. Solução: De AA-1 = I temos 32 75 52 yx = 15y26x2 35y514x5 = 10 01 5x – 14= 1 x = 3 5y + 35 = 0 y = -7 2x – 6 = 0 x = 3 2y + 15 = 1 y = -7 Portanto, x = 3, y = -7 A -1 = 52 73 3) Sendo dada a matriz A= z42 6y3 32x e sua inversa A-1= 102 313 321 calcular x, y e z usando propriedades da matriz inversa. Solução: De AA-1 = I temos z42 6y3 32x 102 313 321 6z010z2 15y36y15y3 3x32x2x = 100 010 001 - x = 1 x = - 1 - 2x – 2 = 0 x = - 1 3x + 3 = 0 x = - 1 x = - 1 3y + 15 = 0 y = - 5 Y + 6 = 1 y = - 5 - 3y – 15 = 0 y = - 5 y = - 5 - 2z – 10 = 0 z = - 5 z + 6 = 1 z = - 5 z = - 5 3) Sendo dada a matriz A= y0 0x determine x e y de modo que A 2 =I. 4) Sabendo que A= x20 1x2 é igual a sua inversa. Determine x R. 5) Se P=(2, 4) é um ponto do plano cartesiano. Pede-se: a) Represente P. b) Represente P.A, onde A= 90 Cos90 Sen 90 Sen90 Cos Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 27 6) Se M= 33 22 11 yx yx yx = T 452 362 formam um triangulo ABC do plano cartesiano. Pede-se: a) Represente M. b) Represente M.A, onde A= 90 Cos90 Sen 90 Sen90 Cos 7) Sendo a matriz A= dc ba determine sua inversa por meio da propriedade. 8) Se a inversa da matriz A = b3 2a é a matriz A -1 = 2 1 2 3 12 , determine a solução do sistema 3byx3 1y2ax . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 28 3.3. Matriz singular Uma matriz é dita singular quando o seu determinante é nulo. 3.4. Matriz não singular Uma matriz é dita não singular quando o seu determinante é não nulo. 3.5. Operações elementares em Matrizes Denominam-se operações elementares em matrizes as seguintes: Trocar duas linhas de uma matriz. Exemplo: A= 987 654 321 3 2 1 L L L trocar L1 por L3 321 654 987 = B Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante não nula. Exemplo: A= 987 654 321 3 2 1 L L L 3 2 1 L L2 L3 987 12108 963 = B Substituir todos os elementos de uma linha pela soma (subtração) desta com os múltiplos de outra linha. Exemplo: A= 987 654 321 3 2 1 L L L 13 12 1 L7L L4L L 1260 630 321 = B Obs.: podemos efetuar as operações acima também em colunas. 3.6. Matrizes equivalentes Duas matrizes A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. são equivalentes se for possível obter uma através de operações elementares sobre a outra. Notação: A B Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 29 3.7. Transformação de uma Matriz em Triangular superior Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, 4. Através das seguintes operações elementares temos uma matriz equivalente triangular superior. A= 44434141 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa 1ª Etapa 1414 1313 1212 1 LmL LmL LmL L 444341 343332 242322 14131211 bbb0 bbb0 bbb0 aaaa Onde 11 21 21 a a m , 11 31 31 a a m , 11 41 41 a a m . 2ª Etapa 2424 2323 2 1 LmL LmL L L 4443 3433 242322 14131211 cc00 cc00 bbb0 aaaa Onde 22 32 32 b b m , 22 42 42 b b m . 3ª Etapa 3434 3 2 1 LmL L L L 44 3433 242322 14131211 d000 cc00 bbb0 aaaa Onde 33 43 43 c c m . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 30 Exemplos Obter a matriz triangular superior equivalente às seguintes matrizes 1) A= 34 72 Solução: 1ª Etapa 12 1 L(2) L L 110 72 Onde 11 21 21 a a m = 2 2 4 Portanto, a matriz triangular superior é 110 72 . 2) A= 1187 654 321 Solução: 1ª Etapa 13 12 1 L(7) L L(4) L L 1060 630 321 Onde 11 21 21 a a m = 4 1 4 , 11 31 31 a a m = 7 1 7 2ª Etapa 23 2 1 L(2) L L L 200 630 321 Onde 22 32 32 b b m = 2 3 6 Portanto, a matriz triangular superior é 200 630 321 . 3) A= 1128 614 132 Solução: 1ª Etapa 13 12 1 L(-4) L L(2) L L 500 850 131 Onde 11 21 21 a a m = 2 2 4 , 11 31 31 a a m = 4 2 8 Portanto, a matriz triangular superior é 500 850 131 . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 31 4) A= 1006 5124 0242 2622 Solução: 1ª Etapa 14 13 12 1 L)3(L L)2(L L)1(L L 71860 11120 2420 2322 Onde 11 21 21 a a m = 1 2 2 , 11 31 31 a a m = 2 2 4 , 11 41 41 a a m = 3 2 6 . 2ª Etapa 24 23 2 1 L)3(L L)1(L L L 133000 11500 2420 2322 Onde 22 32 32 b b m = 1 2 2 , 22 42 42 b b m = 3 2 6 . 3ª Etapa 34 3 2 1 L)2(L L L L 11000 11500 2420 2322 Onde 33 43 43 cc m = 2 15 30 Portanto, a matriz triangular superior é 11000 11500 2420 2322 . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 32 3.8. Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, .. n, j = 1, 2, 3,.. n. Assumindo que existe sua inversa, o processo para calcular sua inversa através das operações elementares é dado por: a) Coloca-se a matriz A e a identidade I de mesma dimensão. [A | I ] b) Usando as operações elementares sobre [A | I ] até que na posição de A tenhamos a matriz identidade I, e na posição de I encontraremos a matriz inversa A-1. [ I | A-1 ] Ilustração para n = 3. Seja A = (aij) i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 A= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa I = 100 010 001 , [A | I ] = 100 010 001 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 1ª Etapa 1313 1212 1 L)(m L L)(m L L 363534 262524 3332 2322 131211 bbb bbb 001 bb0 bb0 aaa Onde 11 21 21 a a m , 11 31 31 a a m 2ª Etapa 2323 2 1 L)(m L L L 363534 262524 33 2322 131211 ccc bbb 001 c00 bb0 aaa Onde 22 32 32 b b m 3ª Etapa )c(L )b(L )a(L 333 222 111 363534 262524 14 23 1312 ddd ddd 00d 100 d10 dd1 4ª Etapa 3 3232 3131 L L)d(L L)d(L 363534 262524 16151412 ddd eee eee 100 010 0e1 5ª Etapa 3 2 2131 L L L)e(L 363534 262524 161514 ddd eee fff 100 010 001 Portanto, a matriz inversa é A-1 = 363534 262524 161514 ddd eee fff . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 33 Exemplos Obter a matriz inversa para as seguintes matrizes. 1) A= 411 410 121 Solução: [A | I ] = 100 010 001 411 410 121 1ª Etapa 13 12 1 L(-1) L L(0) L L 101 010 001 310 410 121 Onde 11 21 21 a a m = 0 1 0 , 11 31 31 a a m = 1 1 1 2ª Etapa 23 2 1 L(1) L L L 111 010 001 100 410 121 Onde 22 32 32 b b m = 1 1 1 3ª Etapa )1(L )1(L )1(L 3 2 1 111 010 001 100 410 121 4ª Etapa 3 32 31 L L)4(L L)1(L 111 434 110 100 010 021 5ª Etapa 3 2 21 L L L)2(L 111 434 978 100 010 001 Portanto, a matriz inversa é A-1 = 111 434 978 . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 34 2) A= 542 653 321 Solução: [A | I ] = 100 010 001 542 653 321 1ª Etapa 13 12 1 L(2) L L(3) L L 102 013 001 100 310 321 Onde 11 21 21 a a m = 3 1 3 , 11 31 31 a a m = 2 1 2 2ª Etapa 23 2 1 L(0) L L L 102 013 001 100 310 321 Onde 22 32 32 b b m = 0 1 0 3ª Etapa )1(L )1(L )1(L 3 2 1 102 013 001 100 310 321 4ª Etapa 3 32 31 L L)3(L L)3(L 102 313 305 100 010 021 5ª Etapa 3 2 21 L L L)2(L 102 313 321 100 010 001 Portanto, a matriz inversa é A-1 = 102 313 321 . Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 35 3.9. Cálculo da matriz inversa usando a Matriz Cofator Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, .. n, j = 1, 2, 3,.. n. Se A = (aij) é uma matriz tal que Det(A)≠0, então A é invertível e sua matriz inversa pode ser obtida através de: T1 A )A(Det 1 A Onde: A = nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a........aaa ..... a........aaa a........aaa a........aaa )a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof ..... )a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof )a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof )a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof A nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 Cof(aij) = (-1) i+j.Det(Aij) Aij : Matriz inicial sem a linha i e coluna j Exemplos Obter a matriz inversa para as seguintes matrizes usando a matriz cofator. 1) A= 32 75 Solução: Det(A) = 15-14 = 1 Cof(a11) = (-1) 1+1.Det(3) = 3 Cof(a12) = (-1) 1+2.Det(2) = -2 Cof(a21) = (-1) 2+1.Det(7) = -7 Cof(a22) = (-1) 2+2.Det(5) = 5 A = )a(Cof)a(Cof )a(Cof)a(Cof 2221 1211 = 57 23 T1 A )A(Det 1 A = 52 73 1 1 = 52 73 Tirando a prova: A.A-1= 32 75 . 52 73 = 5.3)7.(2)2.(33.2 5.7)7.(5)2.(73.5 = 10 01 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 36 3) A= 411 410 121 Solução: Det(A) = 1 Cof(a11) = (-1) 1+1.Det 41 41 = -8 Cof(a12) = (-1) 1+2.Det 41 40 = 4 Cof(a13) = (-1) 1+3.Det 11 10 = 1 Cof(a21) = (-1) 2+1.Det 41 12 = 7 Cof(a22) = (-1) 2+2.Det 41 11 = -3 Cof(a23) = (-1) 2+3.Det 11 21 = -1 Cof(a31) = (-1) 3+1.Det 41 12 = -9 Cof(a32) = (-1) 3+2.Det 40 11 = 4 Cof(a33) = (-1) 3+3.Det 10 21 = 1 149 137 148 A T1 A )A(Det 1 A = 111 434 978 1 1 = 111 434 978 Tirando a prova: A.A-1= 411 410 121 . 111 434 978 = 100 010 001 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 37 3) A= 230 200 121 Solução: Det(A) = -6 Cof(a11) = (-1) 1+1.Det(A11)= - 6 Cof(a12) = (-1) 1+2.Det(A12)= 0 Cof(a13) = (-1) 1+3.Det(A13)= 0 Cof(a21) = (-1) 2+1.Det(A21)= -1 Cof(a22) = (-1) 2+2.Det(A22)= 2 Cof(a23) = (-1) 2+3.Det(A23)= -3 Cof(a31) = (-1) 3+1.Det(A31)= 4 Cof(a32) = (-1) 3+2.Det(A32)= -2 Cof(a33) = (-1) 3+3.Det(A33)= 0 024 321 006 A T1 A )A(Det 1 A = 030 220 416 6 1 = 0 2 1 0 3 1 3 1 0 3 2 6 1 1 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 38 4. Sistemas de equações lineares 4.1. Definição Seja um sistema linear do tipo A.x=b de n equações lineares e n incógnitas; n 3 2 1 nnn33n22n11n nn3333232131 nn2323222121 nn1313212111 b . b b b . xa........xaxaxa ..... xa........xaxaxa xa........xaxaxa xa........xaxaxa Ou na notação matricial bxA , ou seja, n 3 2 1 n 3 2 1 nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 b . b b b x . x x x a........aaa ..... a........aaa a........aaa a........aaa Onde A : Matriz dos coeficientes do sistema linear, x : Vetor das incógnitas do sistema linear, b : Vetor dos termos independentes do sistema linear, O objetivo de um sistema linear é encontrar os valores para as variáveis x1 , x2 , x3 , ........., xn que o resolva. 4.2. Classificação Os sistemas de equações lineares são classificados de acordo com as soluções. 4.2.1. Solução Possível e Determinada Quando o sistema admite solução única. 2yx2 4yx x = 2 e y = -2 Nestes casos, Det(A) 0 e o vetor b não nulo. Quando o vetor b nulo, temos um sistema homogêneo, que admite solução trivial. 0yx2 0yx x = 0 e y = 0 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 39 4.2.2. Solução Possível e Indeterminada Quando o sistema admite infinitas soluções. 8y2x2 4yx 4yx x = 4 + y, y R. Nestes casos, Det(A) = 0 e o vetor b não nulo. 4.2.3. Solução Impossível Quando não admite solução alguma. 8yx 4yx Nestes casos, Det(A) = 0 e o vetor b não nulo. Exemplos Obter a solução para os seguintes sistemas Lineares abaixo. a). 2x3x 2x3x3 :S 21 21 1 b). 1x3x 2x2x :S 21 21 1 c). 1x4x2 2x2x3 :S 21 21 1 d). 1x2x5 2x7x3 :S 21 21 1 e). 4x4x2 2x2x :S 21 21 1 f). 0x4x6 0x2x3 :S 21 21 1 g). 0x2x5 0x7x3 :S 21 21 1 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 40 4.3. Sistemas Triangulares 4.3.1. Superior Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas e, A uma matriz triangular superior, ou seja; n 3 2 1 nnn nn3333 nn2323222 nn1313212111 b . b b b . xa .. xa........xa xa........xaxa xa........xaxaxa As soluções: 1-n1,2,3,..,i para a xab x a b x ii n 1ik kiki i nn n n Exemplos Obter a solução dos seguintes sistemas lineares. 1) 2x2 3x3x2 2x4x3x2 3 32 321 (III) (II) (I) Solução: De (III) temos x3 = 1 De (II) temos x2 = 0 De (I) temos x1 = -1 2) 12x6 6x5x4 3xx2x3 3 32 321 )III( )II( )I( Solução: De (III) temos x3 = 1 De (II) temos x2 = -1 De (I) temos x1 = 1 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 41 4.3.2. Inferior Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas e, A uma matriz triangular superior, ou seja; nnnnnnn b . b b b . xa........xaxaxa .... xaxaxa xaxa xa 3 2 1 332211 333232131 222121 111 As soluções: nn1n1nn33n22n11nnn 11 1 1 a/)]xa.......xaxaxa(b[x a b x Exemplos Obter a solução dos seguintes sistemas lineares. 1) 1x4xxx 1x5x2x 6x5x2 8x4 4321 321 21 1 )IV( )III( )II( )I( Solução: De (I) temos x1 = 3 De (II) temos x2 = 2 De (III) temos x3 = -2 De (IV) temos x4 = 5 2) 18x2x2xx2 12xx3x3 8x2x4 5x5 4321 321 21 1 )IV( )III( )II( )I( Solução: De (I) temos x1 = 1 De (II) temos x2 = 2 De (III) temos x3 = 3De (IV) temos x4 = 4 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 42 4.4. Solução de Sistemas Lineares pela Inversa 4.4.1. Definição Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas. Se A-1 é sua matriz inversa então a solução é dada por: x = A-1.b Exemplos Obter a solução dos seguintes sistemas lineares pela inversa. 1) 2x4xx 3x4x 2xx2x 321 32 321 Solução: A = 411 410 121 , b = 2 3 2 , x = 3 2 1 x x x , Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 111 434 978 Aplicando a definição x = A-1.b temos x = 3 2 1 x x x = 1 7 13 , 2) 2x5x4x2 3x6x5x3 1x3x2x 321 321 321 Solução: A = 542 653 321 , b = 2 3 1 , x = 3 2 1 x x x , Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 102 313 321 Aplicando a definição x = A-1.b temos x = 3 2 1 x x x = 0 6 11 , Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 43 3) 3321 221 1321 bxx6x2 bxx bxx4x para b(1) = 3 2 1 , b(2) = 1 2 1 Solução: A = 162 011 141 , b(1) = 3 2 1 , b(2) = 1 2 1 , x = 3 2 1 x x x , Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 324 111 121 Aplicando a definição x = A-1.b para b(1) = 3 2 1 temos x = 3 2 1 x x x = 17 6 8 Aplicando a definição x = A-1.b para b(2) = 1 2 1 temos x = 3 2 1 x x x = 3 2 4 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 44 4.5. Solução de Sistemas Lineares pelo Método de Gauss 4.5.1. Definição Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas e, A uma O método consiste em transformar o sistema inicial com Det(A) 0 em um sistema equivalente triangular superior, através de operações elementares. Estas operações, estendidas ao vetor dos termos independentes, permite que se resolva o sistema triangular, por substituições sucessivas, ou seja; Etapa de Triangularização Transformar o sistema em um sistema equivalente triangular superior na matriz aumentada A | b. Ilustração para n = 3. 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa A= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa [A | b ] = 3 2 1 333231 232221 131211 b b b aaa aaa aaa 1ª Etapa 1313 1212 1 L)(m L L)(m L L 3 2 1 3332 2322 131211 c c b cc0 cc0 aaa Onde 11 21 21 a a m , 11 31 31 a a m 2ª Etapa 2323 2 1 L)(m L L L 3 2 1 33 2322 131211 d c b d00 cc0 aaa Onde 22 32 32 c c m Etapa de Retro-substituição Resolver o sistema triangular superior equivalente. 3333 2323222 1313212111 dxd cxcxc bxaxaxa Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 45 A condição do Det(A)0 implica que a cada iteração no processo de triangularização do sistema, o elemento da diagonal principal (Pivô) seja aii 0 Exemplos Obter a solução dos seguintes sistemas lineares pelo método de Gauss. 1) 2x4xx 3x4x 2xx2x 321 32 321 Solução: A = 411 410 121 , b = 2 3 2 , x = 3 2 1 x x x , [A | b ] = 2 3 2 411 410 121 Etapa de Triangularização 1ª Etapa 13 12 1 L(-1) L L(0) L L 4 3 2 310 410 121 Onde 11 21 21 a a m = 0 1 0 , 11 31 31 a a m = 1 1 1 2ª Etapa 23 2 1 L(1) L L L 1 3 2 100 410 121 Onde 22 32 32 b b m = 1 1 1 Etapa de Retro-substituição 1x 3x4x 2xx2x 3 32 321 Aplicando a resolução de sistemas triangulares temos x = 3 2 1 x x x = 1 7 13 Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. José Fernando Santiago Prates 46 2) 2x5x4x2 3x6x5x3 1x3x2x 321 321 321 Solução: A = 542 653 321 , b = 2 3 1 , x = 3 2 1 x x x , [A | b ] = 2 3 1 542 653 321 Etapa de Triangularização 1ª Etapa 13 12 1 L(2) L L(3) L L 0 6 1 100 310 321 Onde 11 21 21 a a m = 3 1 3 , 11 31 31 a a m = 2 1 2 Etapa de Retro-substituição
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