Lista de Exercícios - Probabilidade e Estatística (Com respostas)

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INSTITUTO SUPERIOR DE AGRONOMIA
Departamento de Matemática
Exercícios de Apoio às
Aulas Práticas da disciplina
Estatística
(com algumas soluções)
2005/2006
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EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1. Numa turma há 6 raparigas e 12 rapazes. Quantas maneiras diferentes existem
de formar uma comissão de 6 pessoas que tenha no máximo duas raparigas e que,
entrando uma rapariga ela seja a mais nova da turma.
2. De um baralho com 40 cartas tiram-se, com reposição, 6 cartas. Qual a proba-
bilidade de que saiam exactamente três figuras?
3. Num saco estão sete bolas numeradas de 1 a 7. Retira-se uma bola do saco dez
vezes, com reposição. Qual a probabilidade do acontecimento “A bola com o
número 5 não sai mais de duas vezes”?
4. O Vitor dispõe de um saco com 10 bolas pretas e quer introduzir certo número
de bolas brancas de tal forma que, ao tirar uma bola, a probabilidade de ela ser
branca seja maior do que 0.1. Quantas bolas brancas se deve introduzir na urna?
5. Colocaram-se três pares de sapatos diferentes só na cor, dentro de uma caixa. A
Sara tem os olhos vendados e vai retirar dois sapatos da caixa. Qual a probabi-
lidade de tirar um par?
6. O José está indeciso quanto à compra de três discos. Resolveu fazer o seguinte:
para cada um atira uma moeda ao ar e se sair “face” compra o disco. Determine
a probabilidade de:
(a) não comprar nenhum;
(b) comprar pelo menos um;
(c) comprar pelo menos dois.
7. O João tem 20 pares de meias e o José tem 16. Se escolhermos ao acaso um par
de meias de cada um, a probabilidade de ambas serem brancas é 0.25. Se o João
tem 10 pares de meias brancas quantas meias brancas tem o José?
8. Fez-se uma aposta simples no totoloto (selecção de 6 números em 49). Determine
a probabilidade de:
(a) acertar nos seis números;
(b) acertar em cinco números;
(c) acertar em três números.
9. Cinco amigos vão dar um passeio num automóvel de 5 lugares. Sabendo que só
três deles podem conduzir, qual o número de formas diferentes que eles têm de
ocupar os lugares durante o passeio.
1
10. Os medicamentos em ensaio num determinado laboratório são identificados por
códigos que obedecem às seguintes regras:
– têm 5 letras seguidas de 2 algarismos;
– começam por vogal;
– não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas;
– o último algarismo é 0 ou 1.
(a) Qual o número máximo de códigos diferentes.
(b) Escolhendo um código ao acaso, calcule a probabilidade de que ele não tenha
letras nem algarismos repetidos.
(Nota: Considere 23 letras e 10 algarismos)
11. Para o jantar de encerramento de um torneio de ténis inscreveram-se 40 raparigas
e 80 rapazes, que vão ser distribuidos por 20 mesas de seis lugares. Sabendo que
em cada mesa ficarão 2 raparigas e 4 rapazes,
(a) Determine de quantas formas distintas pode a organização constituir o grupo
que ficará na mesma mesa que o rapaz e a rapariga vencedores do torneio.
(b) De cada uma das vinte mesas vai escolher-se ao acaso um representante.
Determine a probabilidade de que, nos 20 representantes, haja exactamente
5 raparigas.
12. Considere seis mil milhões de habitantes na Terra e suponha que cada um recebe
um cartão de identificação com uma sequência de letras. Qual tem de ser o
número mínimo de letras a usar em cada cartão, para garantir que as sequências
são todas diferentes?
Indique quando será necessário aumentar esse número mínimo de uma unidade.
(Nota: Considere o alfabeto com 26 letras e que todas as sequências têm o mesmo
número de letras.)
13. Um comerciante foi informado que tem 4 embalagens premiadas de entre as 20
que adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20
embalagens em fila na montra por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de
que as embalagens premiadas fiquem todas juntas no início ou no fim da fila?
14. Dos ouvintes de uma estação radiofónica 37% ouvem o programa X, 53% ouvem
o programa Y e 15% ouvem ambos os programas. Ao escolher aleatoriamente um
ouvinte desta estação qual a probabilidade de que
i) ouça apenas um dos referidos programas;
ii) não ouça nenhum destes dois programas.
15. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com 12
rapazes e 8 raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado
por cinco raparigas e cinco rapazes. De quantas maneiras diferentes se pode
formar este grupo?
2
16. Num grupo de 1000 alunos de uma escola verificou-se que 200 praticam natação,
250 praticam futebol e 700 não praticam nenhuma destas modalidades. Esco-
lhendo ao acaso 20 destes alunos, qual é a probabilidade de que só 4 pratiquem
pelo menos uma das modalidades.
17. Num aquário existem 5 peixes vermelhos, 3 dourados e 2 azuis.
Retiram-se sucessivamente 3 peixes.
(a) Qual a probabilidade de saírem 2 da mesma cor e um de cor diferente?
(b) Qual a probabilidade de o terceiro peixe a ser retirado ser azul?
18. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6.
No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2. Qual é a probabilidade
de os números saídos nos 4 lançamentos serem todos diferentes.
19. A Joana tem na estante do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de
Sophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que
ia passar as férias a casa da avó, decidiu escolher 6 desses livros, para ler nesse
período. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de
Mello Breyner Andresen e três de Carl Sagan.
(a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha?
(b) Admita agora que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler em casa da
avó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes seis livros vão ser lidos,
qual é a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um a
seguir ao outro?
20. Uma nova marca de gelados, oferece em cada gelado, um de três bonecos: rato
Mickey, Peter Pan ou Astérix. Sete amigos vão comprar um gelado cada um.
Supondo que os três bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabili-
dade de o Rato Mickey sair exactamente a dois dos sete amigos?
3
Soluções dos Exercícios de revisão
1. 5× C124 + C125 + C126
2. C63 (3/10)
3(7/10)3
3.
∑2
i=0 C
10
i (1/7)
i(6/7)10−i
4. Pelo menos 2 bolas.
5. 1/5
6. a) 1/8; b)7/8; c) 1/2
7. Tem 8.
8. a)1/(C496 ) b)
C6
5
C43
1
C49
6
; c) C
6
3
C43
3
C49
6
9. 72
10. a) 810000; b) 0.408
11. a)C391 C
79
3 b) p ≃ 0.15
12. n = 7
13. ≃ 0.0004
14. i) 0.60 ii) 0.25
15. C125 C
8
5
16. C
300
4
C700
16
C1000
20
17. a) ≃ 0.66; b)0.20
18. 1/3
19. a) 120; b) 1/3.
20. C72 (1/3)
2(2/3)5
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EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES
1. Lança-se um dado de seis faces, perfeito. Qual a probabilidade de o resultado
ser:
a) par;
b) divisível por três;
c) par ou divisível por três.
2. Lançam-se dois dados de seis faces, perfeitos. Qual a probabilidade de a soma
dos resultados do lançamento ser:
a) par;
b) divisível por três;
c) par ou divisível por três.
3. Considere o tempo de vida de uma lâmpada em centenas de horas. Seja Ω = {t :
t > 0} o espaço de resultados associado à duração de vida da lâmpada. Considere
os acontecimentos:
A = {t : t > 15} B = {t : 2 < t < 10} C = {t : t < 12}
Caracterize os seguintes acontecimentos:
A ∪ B A ∩ C A ∩ B (A ∪B) ∩ C A ∪ (B ∩ C)
4. Sejam A, B e C acontecimentos aleatórios tais que
P (A) = P (B) = P (C) =
1
4
, P (A ∩B) = P (B ∩ C) = 0 e P (A ∩ C) = 1
8
.
Calcule a probabilidade de se verificar pelo menos um dos acontecimentos A, B
ou C.
5. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios. Mostre que:
a) P (A ∩ B) ≤ P (A) ≤ P (A ∪B) ≤ P (A) + P (B);
(Exame 17/7/90)
b) P (A|B) = P (A)[1− P (B|A)]
1− P (B) , supondo P (A) 6= 0 e P (B) 6= 1;
(Exame 10/7/91)
c) P [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] = P (A) + P (B)− 2P (A ∩ B);
(Exame 23/7/91)
5d) P (B) = P (A)P (B|A)− P (A)P (B|A) + P (B|A), supondo 0 < P (A) < 1;
(Exame 13/9/91)
e) max{0, P (A) + P (B)− 1} ≤ P (A ∩ B) ≤ min{P (A), P (B)} (desigualdade
de Boole).
6. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios tais que
P (A) = 0.4, P (B) = p e P (A ∪ B) = 0.7.
Para que valores de p, os acontecimentos A e B:
a) podem ser mutuamente exclusivos?
b) são independentes?
7. Numa propriedade agrícola, sabe-se que 60%, 75% e 50% das árvores são de
folha caduca, de fruto e de fruto com folha caduca, respectivamente. Calcule a
probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso:
a) não ser árvore de fruto;
b) ser árvore de fruto ou de folha caduca;
c) ser árvore de fruto, sabendo que tem folha caduca.
8. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios tais que
P (A) = P (B) = p e P (C) = 0.5p.
Sabendo que A eB são independentes, determine, em função de p, a probabilidade
de pelo menos um dos três acontecimentos se realizar e indique os valores possíveis
de p, quando:
a) C é mutuamente exclusivo de A e de B;
b) C é mutuamente exclusivo de A e independente de B;
c) A, B e C são independentes.
9. As probabilidades de três corredores de velocidade percorrerem 100 metros em
menos de 10 segundos são respectivamente: 1/3, 1/5 e 1/10. Considerando que
os tempos dos três atletas são independentes, calcule a probabilidade de, uma
corrida em que participam apenas os três atletas, ser ganha em menos de 10
segundos.
10. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula,
definidos num espaço de resultados Ω. Mostre que:
P (AC|BC) = P (A|BC) = P (AB|C)
P (B|C) .
(Exame de 16.9.1994)
6
11. Sejam A e B acontecimentos aleatórios.
(a) Prove que se A e B são independentes, então:
i. A e B são independentes;
ii. A e B são independentes;
iii. A e B são independentes.
(b) Prove que se P (B) 6= 0, então P (A|B) = 1− P (A|B).
(c) Se P (B) 6∈ {0, 1}, será verdade que P (A|B) = 1− P (A|B)? Justifique.
12. Considere três acontecimentos A, B e C tais que
P (C) = 0.3, P (B|C) = 0.4, P (B|C) = 0.8, P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) =
0.2.
a) Calcule P (C|B).
b) Calcule P [(B ∩ C)|A].
c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes.
(Exame de 29.10.2001)
13. Considere um espaço de resultados formado por N acontecimentos elementares
{ai} e porM acontecimentos elementares {bj}. Os elementos ai são equiprováveis,
o mesmo acontecendo com os elementos bj . Por outro lado P [{bj}] = 2P [{ai}] ∀i, j.
Prove que um acontecimento E formado por n(≤ N) elementos ai e por m(≤M)
elementos bj tem probabilidade
P [E] =
n+ 2m
N + 2M
.
(Exame 17/9/92)
14. Um vendedor de bolbos prepara encomendas a partir de 3 lotes de bolbos que, por
terem idades diferentes, não apresentam a mesma probabilidade de germinação.
A probabilidade de germinação de um bolbo é de 0.80 se pertence ao lote A, de
0.85 se pertence ao lote B e de 0.90 se pertence ao lote C.
a) i) Qual a probabilidade de germinação de um bolbo retirado ao acaso de
um lote escolhido ao acaso?
ii) Retirou-se um bolbo ao acaso de um lote escolhido ao acaso e verificou-
se que não germinava. Qual a probabilidade de o bolbo ter sido retirado
do lote C?
b) Se uma encomenda for constituída por um bolbo (retirado ao acaso) de cada
lote, qual a probabilidade de pelo menos dois bolbos germinarem, admitindo
a independência de germinação entre os bolbos retirados de lotes diferentes?
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15. Um teste é constituído por uma pergunta com n respostas alternativas. O aluno
ou sabe a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de o aluno saber
a resposta. Admita que as probabilidades de o aluno responder correctamente à
pergunta se souber a resposta e de o aluno responder correctamente à pergunta
se responder ao acaso são 1 e 1/n, respectivamente.
a) Verifique que a probabilidade de um aluno não ter respondido ao acaso se
respondeu correctamente é
np
1 + (n− 1)p .
b) Supondo n = 5 e p = 0.2, calcule a probabilidade de um aluno não responder
correctamente à pergunta.
16. Três amigos A, B e C almoçam juntos. Só um deles pagará a despesa total de
acordo com o seguinte jogo:
A lança uma moeda de 1 Euro suposta equilibrada, se sair “face euro” paga
a despesa; caso contrário B lança a moeda. Se sair “face euro” B paga; caso
contrário B joga mais uma vez a moeda e conforme obtém “face euro” ou “face
país” assim é ele ou C a pagar a despesa (sem que C chegue a fazer algum
lançamento).
(a) Calcule, para cada um, a probabilidade de pagar a despesa.
(b) Determine a probabilidade de B pagar sabendo que A não pagou.
(c) (*) Estes três amigos decidem fazer uma série consecutiva de almoços nos
quais a despesa é paga sempre de acordo com o jogo descrito acima. Quantos
almoços deverão combinar no máximo por forma a que a probabilidade de
B não pagar mais de 5 almoços seja superior a 0.90? (Sugestão: se não
resolveu a alínea (a) considere a probabilidade de B pagar o almoço igual a
0.4).
((*) A resolução desta alínea necessita de matéria leccionada mais tarde - dis-
tribuições.)
(Exame de 21/7/92)
17. Considere quatro urnas U1, U2, U3 e U4. Suponha que em cada uma há bolas
brancas e pretas, assim distribuídas:
U1 U2 U3 U4
brancas 3 5 1 0
pretas 1 1 5 6
a) Calcule a probabilidade de, tendo sido escolhida uma urna ao acaso e nessa
urna uma bola ao acaso:
i) a bola escolhida ser branca, sabendo que foi escolhida a urna U2;
ii) a bola escolhida ser branca;
iii) ter sido escolhida a urna U2, sabendo que a bola escolhida foi branca.
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b) Diga, justificando, se os acontecimentos “escolher a urna U2” e “escolher bola
branca” são independentes.
18. As famílias de uma certa cidade escolhem uma das três alternativas para fazer
férias: praia, campo ou ficar em casa.
Durante a última década verificou-se que escolhiam aquelas alternativas, respec-
tivamente, 50%, 30% e 20% das famílias da referida cidade.
A probabilidade de descansar durante as férias está relacionada com a alternativa
escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou
ficado em casa.
a) Qual a probabilidade de uma família daquela cidade descansar durante as
férias?
b) Sabendo que determinada família descansou durante as férias, qual a alter-
nativa mais provável de ter sido escolhida por esta família?
19. Um determinado tipo de peças é produzido pelas fábricas F1, F2 e F3. Durante
um certo período de tempo, F1 produziu o dobro das peças de F2 enquanto F2
e F3 produziram o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2%, 2% e 4%
das peças produzidas por F1, F2 e F3, respectivamente, são defeituosas. Todas
as peças produzidas nesse período de tempo foram colocadas num depósito.
a) Qual a percentagem de peças defeituosas provenientes a fábrica F2?
b) Qual a percentagem de peças defeituosas armazenadas?
c) Foi encontrada uma peça defeituosa no depósito. Qual a origem(fábrica)
menos provável dessa peça?
(Adaptado do exame de 14/11/97)
20. Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de
forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efectuado um
teste que dá resultado positivo:
– com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
– com probabilidade 0.75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
– com probabilidade 0.05 para um indivíduo não doente.
a) Efectuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o
resultado ser positivo?
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a proba-
bilidade de ele ter a doença?
c) Será que existe independência entre ter a doença na forma moderada e na
forma grave? Justifique.
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21. Uma estação agrária levou a cabo um estudo para avaliar a precisão da pre-
visão do estado do tempo para uma dada região. Com base num grande número
de registos, fornecidos peloServiço de Meteorologia, obtiveram-se as seguintes
conclusões:
– Probabilidade de, para um dia chuvoso, ter sido prevista chuva = 0.85;
– Probabilidade de, para um dia sem chuva, ter sido prevista chuva = 0.40;
– Probabilidade de um dia chuvoso = 0.20.
Calcule as seguintes probabilidades:
a) Previsão de um dia sem chuva;
b) Chover sabendo que a previsão foi chuva;
c) Previsão correcta.
(Exame de 23/7/91)
22. Um dado tipo de barómetro está preparado para prever chuva ou prever “não
chuva”. Tem-se verificado que ele prevê “não chuva” em 10% dos dias chuvosos,
chuva em 20% dos dias com sol e quando um dia não tem sol nem chuva ele
prevê “não chuva” com probabilidade igual a 0.05. Num país em que se tem
verificado nos últimos anos que “faz sol” em cerca de 60% dos dias e “ faz chuva”
em 30% dos dias, responda às seguintes questões (considere que “dia com sol”,
“dia com chuva” e “dia sem sol e sem chuva” constituem uma partição do espaço
de resultados associado à classificação dos dias quanto ao estado do tempo): .
a) Qual a probabilidade de o barómetro prever chuva?
b) Qual a probabilidade de “fazer sol” num dia para o qual a previsão seja de
chuva?
c) Qual a probabilidade de o barómetro errar?
(Exame de 13.07.2001)
23. Seja X uma variável aleatória discreta que toma valores em IN com a seguinte
função probabilidade:
P (X = j) =
1
2j
, ∀j ∈ IN.
Calcule:
a) P (X par);
b) P (X > 5);
c) P (X divisível por 3).
24. Considere a variável aleatória discreta X que toma valores em IN0 com a seguinte
função probabilidade:
P (X = j) = (1− a)aj, ∀j ∈ IN0,
em que a é uma constante desconhecida, não nula.
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a) Indique o(s) valor(es) possível(eis) para a.
b) Mostre que, para quaisquer inteiros não negativos s e t, se verifica:
P (X ≥ s+ t|X ≥ s) = P (X ≥ t).
25. Três bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém 4 bolas vermel-
has e 6 bolas brancas. Seja X a variável aleatória que representa o total de bolas
vermelhas retiradas.
a) Construa a distribuição de probabilidades de X.
b) Represente graficamente a distribuição obtida na alínea a).
c) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a grafica-
mente.
d) Calcule P (1 ≤ X ≤ 3).
26. Uma caixa contém 10 iogurtes, estando 4 estragados. Retiram-se 5 com reposição:
a) Sendo X o número de iogurtes estragados determine a função massa de
probabilidade de X.
b) Determine a função distribuição cumulativa de X. Represente-a grafica-
mente.
c) Calcule P [1 ≤ X ≤ 3].
27. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabili-
dades:
xi -2 -1 0 1 2
P (X = xi) 0.1 0.3 0.1 0.2 0.3
a) Calcule E(X) e V (X).
b) Determine a função distribuição cumulativa de X.
c) Calcule P (X ≥ 0|X < 2).
d) Determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = X2.
28. Seja X uma variável aleatória discreta que toma os valores x = 1, 2, ..., n, ...2n−1,
n ∈ IN, com probabilidades p(x). Considere p(n+ k) = p(n− k), k ∈ IN. Mostre
que:
a) E(X) = n;
b) Todos os momentos de ordem ímpar em torno do valor médio se anulam.
11
29. O número de televisores encomendados mensalmente em determinada loja é bem
descrito por uma variável aleatória X com a seguinte função distribuição cumu-
lativa:
F (x) =


0 se x < 0
0.1 se 0 ≤ x < 1
0.3 se 1 ≤ x < 2
0.6 se 2 ≤ x < 3
1 se x ≥ 3
a) Determine a função massa de probabilidade da variável aleatória X.
b) Quantos televisores deve ter a loja em stock, por mês, para que a probabili-
dade de satisfazer todas as encomendas seja superior a 0.95?
c) Se num dado mês a loja só tiver 2 televisores em stock , determine a dis-
tribuição de probabilidades da variável aleatória que representa a diferença,
em valor absoluto, entre as encomendas e o stock .
30. O peso, em Kg, de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 meses
é a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x) =


0 se x ≤ 1
x− 1 se 1 < x < k
3− x se k ≤ x < 3
0 se x ≥ 3
, k ∈]1, 3[.
a) Calcule k.
b) Determine a função distribuição cumulativa de X.
c) Qual a probabilidade de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os
14 meses ter peso superior a 2 Kg.
(Exame de 7/12/90)
31. Considere a variável aleatória contínua X com a seguinte função distribuição
cumulativa:
F (x) =


0 se x < 0
ax+ b se 0 ≤ x < pi
1 se x ≥ pi.
a) Determine a e b.
b) Determine a função densidade de probabilidade de X.
c) Calcule P (X < pi
2
|X ≥ pi
4
).
d) Calcule:
d1) E(X) e V ar(X);
d2) E(
1
X + 2
).
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32. Considere a função real de variável real assim definida:
f(x) = ke−|x|, k ∈ IR e x ∈ IR.
a) Determine o valor de k de modo que seja função densidade de probabilidade
de uma variável aleatória X.
b) Determine a função de distribuição cumulativa de X.
c) Calcule P (|X − E(X)| < 1).
33. Considere a função
fθ(x) =
{
θ2xe−θx para x > 0
0 para x ≤ 0, em que θ > 0.
a) A função fθ(x) define uma função densidade de probabilidade?
b) Determine a função de distribuição cumulativa associada a fθ(x).
c) Seja X a v.a com função densidade fθ(x). Determine P (X ≥ 1).
34. Seja X uma v. a. contínua com a seguinte função distribuição cumulativa :
F (x) =
{
k − c3/x3 para x ≥ c
0 para x < c, c > 0.
a) Determine o valor de k.
b) Determine a função densidade de X.
c) Calcule o primeiro quartil da distribuição de X.
d) Determine o valor médio e a mediana de X.
e) Calcule P [c < X < 3c | X < 4c].
f) O que pode dizer quanto ao valor do terceiro momento de X? E do quarto
momento?
g) Determine a função densidade da v.a. Y = X2.
35. A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável
aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x) =
{
20x3(1− x) 0 < x < 1
0 restantes valores de x.
a) Determine a função distribuição cumulativa de X e esboce o seu gráfico.
b) Calcule µX , σ2X e σX .
c) Suponha que o preço de venda do produto depende da percentagem de
álcool. Se 1/3 < X < 2/3 o produto é vendido por A1 euros/l, caso contrário
por A2 euros/l. Calcule a distribuição de probabilidades do lucro líquido por
litro de produto, supondo que o custo por litro é de B euros.
13
36. Seja X a variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de proba-
bilidade:
f(x) =
1
2
e−|x−α|, ∀x ∈ IR, em que α ∈ IR.
a) Mostre que f é uma função densidade de probabilidade.
b) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a grafica-
mente.
c) Calcule P (|X − α| < 1).
d) Mostre que a função geradora de momentos de X é MX(t) = e
αt
1−t2
, |t| < 1.
e) Determine E(X) e V ar(X).
f) Determine a mediana de X.
37. Num processo de inventário concluíu-se que a raridade de determinada espécie
animal era inversamente proporcional à área observada até que se avistasse um
exemplar da espécie, associada ao percurso de amostragem. Considere então
a v.a. X designando a distância percorrida até se avistar algum exemplar da
espécie, com função densidade dada por
f(x) =
{
b
k x2
1 ≤ x ≤ b
0 restantes valores de x.
(a) Indique quais as condições que k e b devem verificar de modo que f(x) seja
uma função densidade.
(b) Determine a função de distribuição cumulativa de X.
(c) Calcule a mediana de X.
(d) Considere a v.a. Y = C0+C1X, que caracteriza o custo de amostragem, onde
C0 designa os custos fixos e C1 o custo por unidade de percurso. Determine
o custo esperado para o inventário.
(Exame de 10/7/92)
38. Mostre que, se a variável aleatória contínua X tem função densidade de proba-
bilidade par então, caso exista E(X) , tem-se E(X) =0.
39. A distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte:
Y 1 2 3 4
X
1 0.03 0.06 0.09 0.12
2 0.01 0.08 0.110.20
3 0.06 0.06 0.10 0.08
14
a) Calcule as distribuições de probabilidades marginais de X e Y .
b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.
c) Calcule P (X = 3, Y = 2) e P (X = 3|Y = 2).
d) Determine:
d1) E(X), E(Y ) e E(XY );
d2) COV (X, Y ) e ρX,Y .
40. O peso de cada saco de quilo de café de certa marca é uma variável aleatória que,
segundo um estudo realizado por uma organização de defesa do consumidor, tem
função densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0.8 Kg e b
Kg, i.e.,
f(x) =
{
4 0.8 < x < b
0 restantes valores de x.
a) Determine b.
b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória e represente-
a graficamente.
c) Qual a percentagem de sacos de café da referida marca que pesam menos de
1 Kg?
d) Se o peso dos sacos for independente de saco para saco e se uma pessoa
comprar 4 sacos, qual a probabilidade de todos os sacos pesarem menos de
1 kg?
41. Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglês
e francês que não existam em stock.
O número de livros em inglês e francês encomendados semanalmente é o par
aleatório (X, Y ) com a seguinte distribuição de probabilidades:
Y 1 2 3 4
X
0 0.01 0.02 0.04 0.03
1 0.05 0.10 0.20 0.15
2 0.04 0.08 0.16 0.12
a) Qual a probabilidade de numa semana serem encomendados no máximo dois
livros?
b) Qual a percentagem de semanas em que existe igualdade de livros ingleses
e franceses encomendados?
c) Determine as funções distribuição marginais das variáveis X e Y .
d) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y e interprete o
seu resultado.
15
e) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória "Número total
de livros em inglês e francês encomendados semanalmente"?
f) Qual a probabilidade de numa semana se encomendar pelo menos um livro
em inglês sabendo que foram encomendados dois livros em
francês?
42. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes e semelhantes com distribuição
de probabilidade assim definida:
pX(x) = θ
x−1(1− θ) 0 < θ < 1, x = 1, 2, ...
(a) Mostre que pX é de facto uma distribuição de probabilidade.
(b) Calcule P [X1 +X2 = 4].
(Exame de 21/7/92)
43. Um posto de gasolina é reabastecido uma vez por semana. As vendas no passado
sugerem que a função densidade de probabilidade do volume de vendas semanais,
X, medido em dezenas de milhares de litros, é dada por:
f(x) =


x− 1 1 ≤ x < 2
3− x 2 ≤ x < 3
0 restantes valores de x.
a) Determine a probabilidade de numa semana o volume de vendas se situar
entre os 15000 litros e os 23000 litros.
b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória X.
c) Calcule o valor esperado, a mediana e o desvio padrão do volume de vendas
semanais.
d) Determine a quantidade mínima de gasolina com que o posto se deve abaste-
cer, por semana, para que a gasolina não se esgote no referido posto em mais
de 8% das semanas.
e) (*) Admitindo que o volume de vendas é independente de semana para
semana, qual a probabilidade de, em 2 anos, o posto vender mais de 210
dezenas de milhares de litros.
((*) Esta questão só poderá ser resolvida mais tarde, após estudada a distribuição
normal e Teorema Limite Central.)
44. Considere a extracção sucessiva de dois números tais que, na primeira extracção
podem sair os números 1, 2, 3 e 4 com igual probabilidade e na segunda extracção
pode obter-se, também com igual probabilidade, um dos valores do conjunto
{1, ..., k}, onde k designa o resultado da primeira extracção.
Considere as seguintes variáveis aleatórias:
X-variável aleatória que indica o número da primeira extracção;
Y -variável aleatória que indica o número da segunda extracção.
16
a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta do par (X, Y ).
b) Qual a probabilidade de sair 2 na segunda extracção se saíu 3 na primeira?
c) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique.
d) Calcule E[X + Y ].
(Exame de 22.06.2001)
45. Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. A
experiência tem revelado que 50% das pessoas que contactam o vendedor A e
apenas 25% das pessoas que contactam o vendedor B fazem um seguro de vida.
Considere o par aleatório (X, Y ) que representa o número de apólices vendidas
diariamente por A e B num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas.
a) Admitindo que que cada pessoa contactou um só vendedor, determine a
distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ).
b) Qual a probabilidade de se vender pelo menos um seguro de vida?
c) Qual a probabilidade de A vender pelo menos um seguro de vida sabendo
que B vendeu dois seguros?
d) Calcule E(X + Y ) e V ar(X).
46. Seja (X, Y ) o par aleatório com a seguinte função densidade de probabilidade
conjunta:
f(x, y) =
{
a (x+ y) 1 ≤ x ≤ 2 1 ≤ y ≤ 2
0 restantes valores de (x, y).
a) Determine o valor da constante a.
b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.
c) Calcule P [Y < X] e P [Y > 3−X]. Comente.
d) Determine o valor médio de 1/X.
e) Determine a função densidade condicional de Y |X = 3/2.
47. Seja (X, Y ) a variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função
densidade conjunta:
f(x, y) =
{
4xye−x
2−y2 se x > 0 e y > 0
0 para outros valores.
a) Determine as funções densidade marginais de X e Y .
b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.
c) Calcule COV (X, Y ).
17
48. Seja X o tempo total desde a chegada de um cliente a uma estação de serviço
até ao momento em que faz o pagamento, e seja Y o tempo que está em fila
até efectuar o pagamento (medidos em unidades de 5 minutos). Suponha que as
variáveis (X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta assim definida:
f(x, y) =
{
(x/2)e−x se 0 ≤ y ≤ x <∞
0 para outros valores de (x, y).
a) Calcule as funções densidade marginais de X e Y .
b) Qual a probabilidade de o tempo gasto na fila ser superior a 5 minutos se o
tempo total gasto por um cliente for inferior a 15 minutos.
c) Calcule o tempo médio de serviço. Qual a variância do tempo de serviço.?
d) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique.
49. Uma experiência aleatória pode dar dois resultados: êxito ou fracasso. O custo
de uma experiência que resulte em êxito é de 5 euros e em fracasso de 10 euros.
A experiência é repetida 20 vezes, de forma independente. Seja X a variável
aleatória que conta o número de êxitos.
a) Sabendo que a probabilidade de uma experiência resultar em êxito é 0.9,
construa a distribuição de probabilidades de X.
b) Calcule P [X > 15].
c) Calcule a probabilidade de haver mais êxitos do que fracassos.
d) Mostre que o custo total C das 20 experiências
pode ser expresso como C = 200− 5X.
e) Calcule E(C).
f) Calcule P [C < 125].
(Exame 4/7/88)
50. Uma dada experiência biológica analisa cobaias. Cada vez que se repete a referida
experiência, uma cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia.
Sabendo que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos, calcule:
a) A probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas, se tiver
10 cobaias.
b) O número de cobaias necessário para que o número esperado de sucessos
seja 24.
c) O número de cobaias necessário para que a probabilidade de obter pelo
menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0.95.
(Exame de 18/7/88)
51. Uma pessoa planta 6 bolbos, escolhidos ao acaso de uma caixa que contém 5
bolbos de túlipa e 4 bolbos de junquilho. Qual a probabilidade de essa pessoa
plantar 2 bolbos de junquilho e 4 de túlipa?
18
52. Numa escola, vai realizar-se um exame de uma dada disciplina num determinado
dia. Está prevista uma greve às avaliações para este dia à qual 75% dos docentes
vão aderir. Dos 20 docentes existentes, 8 são convocados para a vigilância daquele
exame.Sabendo que os alunos vão ser distribuídos por duas salas e que se
admite a possibilidade de o exame se realizar com um docente por sala, qual a
probabilidade de o referido exame se realizar para todos os alunos?
(Exame 25/9/95)
53. Um método frequentemente utilizado para estimar o número de animais de uma
dada espécie num certo habitat é o da captura-recaptura. O método pode ser
exemplificado pela seguinte situação:
Num lago são capturados, marcados e devolvidos à água 5 peixes de uma
certa espécie. Passado algum tempo (a fim de permitir que os peixes mar-
cados se distribuam aleatoriamente pelo lago, embora não convenha deixar
passar demasiado tempo, para se poder admitir que a dimensão da popu-
lação permaneceu constante) são pescados 4 peixes dessa mesma espécie e
conta-se quantos de entre eles estão marcados, o que será representado pela
variável aleatória X.
a) Qual a probabilidade de nenhum dos 5 peixes marcados ser recapturado, se
existirem 10 peixes da referida espécie no lago? E se existirem 100?
b) A ideia do método de captura-recaptura consiste em considerar o tamanho
da população como sendo aquele que torna mais provável o valor de X que
resultou de uma experiência deste tipo. Assim, por exemplo, qual dos 4
valores N = 10, N = 20, N = 100 ou N = 1000, considera mais plausível
para o tamanho da população se:
i) da experiência resultou X = 1;
ii) da experiência resultou X = 2.
54. Na época natalícia, certa pastelaria fabrica 3 tamanhos de bolo-rei: de 500g, de
750g e de 1000g. Nem todos os bolos fabricados contêm brinde. Este é colocado
de tal forma que 20% dos bolos de 500g ficam sem brinde, o mesmo sucedendo
com 10% dos bolos de 1000g e com 30% dos bolos de 750g. 25% dos bolos
fabricados são de 500g e outros 25% de 1000g.
a) Qual a probabilidade de um bolo sem brinde ser de 750g?
b) A filha de um casal seu amigo apareceu-lhe com um brinde que lhe saíu no
bolo-rei comprado na referida pastelaria. Qual dos bolos (tamanho) tem
maior probabilidade de ter sido comprado pelo casal?
c) A referida pastelaria tem uma produção diária de 1000 bolos. Qual a prob-
abilidade de uma pessoa que compra 10 desses bolos ter pelo menos 2 com
brinde?
(Exame 7/12/90)
19
55. Um agricultor tem na sua cave duas categorias de vinhos engarrafados: garrafas
de vinho tinto e garrafas de vinho branco. Supõe-se que nesta cave só há vinhos
de três anos (1968, 1969 e 1970) e que há o mesmo número de garrafas de cada
ano. A percentagem de garrafas de vinho tinto entre as engarrafadas em cada
um daqueles anos ( 1968, 1969 e 1970) é de 70%, 50% e 90%, respectivamente.
a) Um ladrão leva uma garrafa ao acaso que verifica ser de vinho branco. Qual
é o ano mais provável de engarrafamento desse vinho?
b) Depois de ter provado o vinho branco, o referido ladrão achou que ele era
muito bom. Decide então fazer nova ‘visita’ à cave com o objectivo de
levar consigo pelo menos três garrafas de vinho branco. Considerando que
a escolha é feita ao acaso, quantas garrafas deverá o ladrão levar para que
a probabilidade de atingir o seu objectivo seja superior ou igual a 0.6?
56. Considere uma empresa agrícola que produz uvas e melões nas quantidades (em
toneladas) X e Y , respectivamente. Devido às instáveis condições atmosféricas o
valor das produções é aleatório com f.d.p. conjunta dada por:
f(x, y) =

 k(1− x)(2− y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 20 outros valores.
a) Calcule k.
b) Se num dado momento a produção de melões for de 1 ton, qual será a f.d.p.
da produção de uvas?
c) Será que as quantidades produzidas de cada fruta são independentes? Jus-
tifique.
d) Escolhendo ao acaso 20 empresas nas condições anteriores, qual será a prob-
abilidade de, em pelo menos 5 delas, a produção de uvas ser superior a 800
kg?
57. Um laboratório exporta um certo produto químico para o mercado europeu. Este
mercado exige que o produto fornecido tenha entre outras características, uma
determinada coloração. Da produção do laboratório, 60% tem a coloração ade-
quada, mas apenas metade desta quantidade satisfaz também as outras condições
exigidas pelo referido mercado.
a) Qual a percentagem da produção do laboratório que satisfaz as condições
exigidas pelo referido mercado ?
b) De um lote de 100 produtos em que 30 não estão em condições de exportação,
retirou-se uma amostra de 10, sem reposição. Calcule a probabilidade de
aparecer pelo menos um produto que não seja exportável.
(Exame 17/9/90)
20
58. Seja X uma variável aleatória com distribuição B(n; p) e Y a variável aleatória
definida por Y =
X
n
. Calcule:
a) E[Y ] , V ar[Y ] e E[Y 2];
b) A função geradora de momentos de Y .
c) E [1/(X + 1)];
59. Numa linha de fabrico de uma determinada componente electrónica pode ocorrer
um defeito muito raro mas causador de grandes prejuizos. Seja 0.01 a proba-
bilidade de ocorrência desse defeito. Um teste muito simples é realizado para
detecção do defeito. Apresenta, no entanto, probabilidades significativas de con-
duzir a conclusões erradas. Assim, cerca de 5% das vezes o teste indica a existên-
cia de defeito se não houver defeito e cerca de 3% das vezes indica ausência de
defeito se houver defeito.
(a) Qual a probabilidade de se ter uma conclusão incorrecta?
(b) Determine a probabilidade de o teste indicar a existência de defeito.
(c) São comercializadas embalagens contendo 80 daquelas componentes. Qual
a probabilidade de, numa determinada embalagem, duas componentes ap-
resentarem defeito?
(d) A venda de cada embalagem referida na alínea anterior para o mercado
é feita com um lucro Y , que é função de vários factores entre os quais
o número de componentes defeituosas. Com o objectivo de simplificar os
cálculos considere constante o efeito de todos os outros factores, sendo o
lucro dado pela relação
Y = 0.02− 0.1X
onde X é o número de componentes defeituosas em cada embalagem. Qual
é nessa situação, a probabilidade de uma embalagem não dar prejuizo?
(Exame de 17/7/92)
60. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição binomial
de parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente.
a) Prove que X1 +X2 tem distribuição binomial de parâmetros (n+m, p).
b) Prove que X1|(X1 + X2 = k), k = 0, 1, 2, · · · , m + n tem distribuição
hipergeométrica e indique os parâmetros da distribuição.
61. A probabilidade de um atirador acertar num alvo é p = 1/4.
a) Seja X a variável aleatória que conta o número de tiros necessários até
acertar, pela primeira vez, no alvo. Determine n tal que P [X ≤ n] > 0.8.
b) Quantos tiros espera o atirador dar até acertar pela primeira vez no alvo?
21
c) Qual a probabilidade de ter de atirar 5 vezes até acertar duas vezes no alvo?
62. O Duarte vai posicionar-se na linha de lançamento livre num campo de bas-
quetebol e atirar até fazer um cesto. Se admitirmos que os lançamentos são
independentes e de probabilidade de acertar constante e igual a 0.8, determine:
a) a probabilidade de necessitar de menos de 5 lançamentos para acertar;
b) o número esperado de lançamentos que tem que efectuar para acertar.
63. Se X é uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p, ex-
prima P [a ≤ X ≤ b] como função de p, a e b.
64. Suponha que, de cada vez que conduz o carro em excesso de velocidade, tem uma
probabilidade 0.001 de vir a ser multado e que ao fim de três multas perde a
carta. Identifique e caracterize a distribuição da variável aleatória que indica o
número de vezes que conduz em excesso de velocidade até perder a carta (admita
ocorrências de multa independentes).
65. Admita quer 5% da população possui um dado tipo de sangue. Como a população
é suficientemente grande a selecção aleatória de indivíduos pode considerar-se
satisfazendo as condições de provas i.i.d.
a) Qual o número esperado de testes necessários para localizar três pessoas com
aquele tipo de sangue.
b) Quala probabilidade de que seja necessário realizar pelo menos 8 testes para
localizar duas pessoas com aquele tipo de sangue?
66. Uma empresa de aluguer de autocarros para excursões de longo curso dispõe de
5 veículos. Sabe-se, pela análise do seu comportamento, que a procura semanal
de veículos segue uma distribuição de Poisson de média 4.
a) Determine a probabilidade de, em certa semana, um dos autocarros não ser
alugado.
b) Qual a probabilidade de, em duas semanas, serem procurados 6 veículos?
c) Determine o valor esperado do número de clientes que em certa semana não
podem ser atendidos por já estarem alugados todos os autocarros.
(Exame de 16/2/91)
67. O número de petroleiros que chega a uma certa refinaria, em cada dia, é uma
v.a. X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 2. As actuais instalações
portuárias da refinaria podem atender até 3 petroleiros por dia. Se mais de 3
petroleiros chegam num dia, os petroleiros em excesso são enviados para outro
porto.
a) Qual a probabilidade de, num dado dia, a refinaria ter de recusar petroleiros?
22
b) Qual deverá ser a capacidade de atendimento da refinaria para permitir o
acolhimento de todos os petroleiros que chegam em cerca de 95% dos dias?
c) Qual o número esperado de petroleiros chegados por dia?
d) Qual o número mais provável de petroleiros chegados num dia?
e) Qual a probabilidade de em dois dias chegarem 5 petroleiros?
f) Qual o número esperado de petroleiros atendidos num dia?
g) Qual o número esperado de petroleiros recusados num dia?
68. O número de automóveis que em cada dia passa num certo troço de estrada pode
considerar-se uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro
µ = 10. Nesse troço de estrada existe um posto de venda de melões. O número
de automobilistas que param no referido posto de venda, num dado dia, é uma
variável aleatória Y . Sabe-se que
P (Y = m|X = r) =
(
r
m
)
(0.1)m(0.9)r−m , m = 0, 1, 2, ..., r.
NOTA: P (Y = m|X = r) =0 se r < m.
a) Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y .
b) Determine a função de probabilidade marginal de Y .
c) Sabendo que pararam 3 automobilistas no posto de venda num dado dia,
qual a probabilidade de o número de carros que passaram na estrada nesse
dia ter sido no máximo 6?
69. Em certo bairro recentemente construído e constituído por prédios de duas, três
ou quatro assoalhadas, verificou-se que em 37% dos apartamentos os moradores
não têm filhos. A distribuição dos apartamentos por número de assoalhadas é a
seguinte:
No¯de assoalhadas 2 3 4
Percentagem 30% 40% 30%
(a) Determine a média e a variância do número de assoalhadas de um aparta-
mento.
(b) Admitindo que o número de filhos por apartamento tem uma distribuição
de Poisson, determine a probabilidade de num certo apartamento haver pelo
menos cinco filhos.
(c) Sabendo que dos moradores em apartamentos de duas assoalhadas apenas
20% têm pelo menos um filho e que nos de três assoalhadas 30% não têm
filhos, qual a probabilidade de num apartamento de 4 assoalhadas escolhido
ao acaso haver pelo menos um filho.
(Exame de 10/7/92)
23
70. Duas máquinas A e B produzem 10% e 90% da produção total de um dado
artigo, respectivamente. Suponha que 5% dos artigos fabricados por cada uma
das máquinas são defeituosos.
a) Qual a probabilidade de um artigo defeituoso ter sido fabricado pela máquina
A?
b) De um lote bastante grande do referido artigo, é retirada uma amostra
aleatória de 50 artigos. Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10
artigos defeituosos? E 5?
c) Qual o número máximo de artigos que deverá tirar ao acaso da produção
total para que a probabilidade de não encontrar defeituosos seja superior a
0.80?
71. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias com distribuição de Poisson de parâmetros λ1
e λ2, respectivamente. Prove que se X1 e X2 forem independentes, a distribuição
de X1|(X1 +X2 = k), k ∈ IN, é binomial.
72. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição uniforme no intevrvalo
(−0.5, 1.0),i.e., com função densidade de probabilidade assim definida:
f(x) =
{
2/3 −0.5 < x < 1.0
0 x /∈]− 0.5, 1.0[
a) Determine a função distribuição cumulativa de X.
b) Calcule, justificando convenientemente todos os seus cálculos:
i) P (X > 0.5);
ii) P (X2 < 0.25);
c) Deduza:
i) A função distribuição cumulativa da variável aleatória Y = X3;
ii) A função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = X3.
(Exame 21/6/99)
73. Uma análise estatística sobre 1000 chamadas de longa distância indica que a du-
ração de uma chamada pode considerar-se uma variável aleatória com distribuição
aproximadamente normal com parâmetros µ = 240 s e
σ = 40 s.
a) Qual a percentagem destas chamadas com duração inferior a 180 s?
b) Qual a probabilidade de uma dada chamada durar entre 180 e 300 s?
c) Sabe-se que apenas 1% das chamadas tem duração inferior a uma dada
chamada. Determine a duração desta chamada.
74. Uma empresa agro-química fabrica mensalmente 90 toneladas de um dado pro-
duto. Sabendo que a procura mensal deste produto é uma variável aleatória
aproximadamente normal de parâmetros µ =80 ton e σ =10 ton, calcule:
24
a) A probabilidade de a procura mensal do produto se situar entre 68 e 90
toneladas;
b) A probabilidade de haver num mês procura excedentária;
c) A produção necessária para que a probabilidade de haver procura mensal
insatisfeita seja 0.025.
(Exame 18/7/88)
75. O erro aleatório cometido numa dada medição segue uma lei normal de desvio
padrão σ =1 mm e média µ =0 mm. Calcule a probabilidade de, em duas
medições independentes, o erro cometido pelo menos numa delas não ultrapassar,
em valor absoluto, 1.28mm. (Exame 12/9/88)
76. Uma fábrica produz motores cujo tempo de vida é uma variável aleatória com
distribuição normal de parâmetros µ =10 anos e σ =2 anos. A fábrica quer criar
um período de garantia para os motores de forma a que não mais de 3% tenham
de ser substituídos. Qual deverá ser o período de garantia máximo oferecido pela
fábrica?
77. Cada um de 20 postos de trabalho nas linhas de montagem de uma fábrica con-
some diariamente peças do tipo A a um ritmo dado por uma variável aleatória
com distribuição N (50, 3.2). Se os stocks de peças forem renovados todos os dias
úteis, qual deverá ser o stock mínimo no início de cada dia de forma a que a
probabilidade de ruptura dos stocks não exceda 20% ? Admita que o consumo
em cada posto de trabalho é independente do consumo nos restantes postos de
trabalho. (Exame 23/7/91)
78. Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função geradora de mo-
mentos:
MY (t) = e
3t+8t2 , t ∈ IR
a) Calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X = Y−3
4
.
b) Determine o valor médio e a variância de X.
c) Se W ∩N(µ, σ) então a função geradora de momentos de W é definida por
MW (t) = e
µt+ 1
2
t2σ2 , t ∈ IR.
Identifique as distribuições de X e Y .
(Exame 22/6/98)
79. Numa fábrica de pesticidas, o peso em kg de certo tipo de embalagens de fungi-
cidas é uma v. a. normal com média 2 kg. Tem-se verificado que 1.5% das
embalagens são rejeitadas por conterem menos de 1.870 kg.
(a) Qual a percentagem de embalagens cujo peso difere do peso médio mais de
150g?
25
(b) Enviado um lote de 60 embalagens para um fornecedor, qual a probabilidade
de o peso total dessas embalagens ser superior a 121 kg? E a 120?
(c) Qual a probabilidade de, em 100 embalagens, serem aceites pelo menos 80,
se for feita a seguinte alteração do critério: rejeita-se as embalagens que têm
menos de 1.950 kg.
(Exame 10/7/92)
80. Um grossista de distribuição de fruta recebe do produtor pêssegos de quatro
categorias: extra, A, B e C. Da experiência anterior, sabe-se que o diâmetro de
um pêssego é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal
de média 64 mm e desvio padrão 3 mm. Aclassificação do referido fruto em
função do seu diâmetro é a seguinte:
Categoria Diâmetro (x) em mm
C x ≤ 60
B 60 < x ≤ 65
A 65 < x ≤ 70
Extra x > 70
Atendendo aos custos de armazenamento e de distribuição, admite-se que o lucro
líquido por tonelada é de 80 contos para a categoria extra, 50 contos para a
categoria A, 10 contos para a categoria B e -5 contos para a categoria C.
Qual o lucro líquido esperado de um fornecimento constituído por uma tonelada
de pêssegos?
(Exame 14/7/88)
81. Um produto pesa em média 10g com desvio padrão de 2g. Este produto é em-
balado em caixas com 50 unidades cada. Sabe-se que as caixas vazias pesam em
média 500g com desvio padrão de 25g. Admita que as variáveis peso do produto
e da caixa vazia são independentes com distribuição normal.
a) Qual é a probabilidade de numa caixa encontrar no máximo 40 unidades do
referido produto com peso inferior a 8g cada?
b) Qual é a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais do que 1050g?
(Exame 10/7/98)
82. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se que
40% dessas garrafas contêm realmente uma quantidade de líquido menor do que
a indicada no rótulo. Calcule a probabilidade de em 100 garrafas existentes numa
grande loja:
a) haver 30 com menos de 1 litro;
b) haver não mais de 30 com menos de 1 litro;
26
c) haver mais de 45 com menos de 1 litro;
d) haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro.
83. Um determinado modelo de avião pode transportar uma carga máxima (pas-
sageiros e bagagens) de 9000kg. Admita que o peso da bagagem de um passageiro
é uma variável aleatória com distribuição N(18, 5), que o peso de um passageiro-
homem é uma variável aleatória com distribuição N(70, 10) e que o peso de um
passageiro-mulher é uma variável aleatória com distribuição N(60, 10).
a) Qual é o peso da bagagem de um passageiro que não é ultrapassado por
mais de 20% dos passageiros?
b) Considere um casal (homem e mulher) que entra no avião. Qual a proba-
bilidade de o peso da mulher ser superior ao do homem? Que hipóteses tem
de admitir para responder a esta questão?
c) Num determinado vôo a lotação do avião está completa com 80 homens e
20 mulheres, que levam a respectiva bagagem. Qual a probabilidade de o
avião não poder partir por excesso de carga?
d) A companhia pratica a cobrança de uma taxa para bagagens com peso su-
perior a 20kg. Havendo 60 passageiros num vôo, qual é a probabilidade de
que mais de 10 passageiros paguem a referida taxa.
(Exame 11/10/95)
84. Suponha que os elos de uma corrente de bicicleta têm comprimentos aleatórios
com distribuição normal de média 0.5 cm e desvio padrão 0.04cm. As normas
de um fabricante de bicicletas exigem que o comprimento de uma corrente esteja
compreendido entre 49 e 50 cm .
(a) Qual a percentagem de elos cujo comprimento excede 0.6cm?
(b) Se uma corrente tiver 100 elos, qual a proporção de correntes a satisfazer as
normas exigidas?
(c) Utilizando apenas 99 elos, que valor deverá assumir o desvio padrão para
que 90% das correntes satisfaça as normas do fabricante?
(Exame 21/7/92)
85. O diâmetro de um certo tipo de peças é uma variável aleatória com distribuição
normal. As peças são consideradas defeituosas se o seu diâmetro diferir do valor
médio µmais do que 1.25 mm. Sabe-se que 2.28% das peças possuem um diâmetro
superior a 7 mm, sendo também esta percentagem a das peças com um diâmetro
inferior a 5 mm.
Tendo-se extraído uma amostra de 100 peças de um grande lote, qual a proba-
bilidade de aparecerem pelo menos 5 peças defeituosas.
27
86. Para efeitos de comercialização, um dado fruto é classificado de acordo com o seu
tamanho. Considera-se que o diâmetro de uma peça deste fruto é uma variável
aleatória com distribuição normal de desvio padrão igual a 5 cm e média µ cm.
A classificação, em categorias, do referido fruto é a seguinte:
Categoria Diâmetro (x) em cm
C1 x ≤ 6
C2 6 < x < 12
C3 x ≥ 12
a) Sabendo que 30% dos frutos são da categoria C3, calcule o diâmetro médio
dos frutos e a percentagem dos frutos das outras categorias.
b) Se os frutos forem vendidos em embalagens de 6 unidades, qual a probabil-
idade de uma embalagem ter pelo menos 2 frutos da categoria C3?
c) Sabendo que 10%, 8% e 2% dos frutos pertencentes respectivamente às cat-
egorias C1,C2 e C3 se apresentam em más condições, qual a probabilidade
de um fruto retirado ao acaso não estar em condições de ser consumido?
87. Uma máquina deve ensacar sacos com 500g de turfa para plantações. O peso de
cada saco de turfa é uma v.a. normal com σ=20 gramas. A média da distribuição
pode ser regulada na máquina pelo operador.
(a) Qual deverá ser a média calibrada na máquina, de modo que apenas 5% dos
sacos tenha peso inferior ao desejado?
(b) Enquanto aguardam em armazém a saída para o campo, os sacos são coloca-
dos numa prateleira que, por ser pouco resistente, apenas consegue suportar
300 kg. Qual o risco de a prateleira desabar no caso de serem empilhados
610 sacos?
(Exame 17/9/92)
88. Num edifício funcionam 7 elevadores. A carga máxima de cada elevador é de
320 kg. A dada altura entra um grupo de 4 pessoas em cada um dos elevadores.
Calcule a probabilidade de no máximo 3 elevadores não funcionarem se o peso
de uma pessoa for considerado uma variável aleatória com distribuição normal
de média 71,75 kg e desvio padrão 10 kg.
89. O João vai entrar para a Universidade e foi informado de que há 30% de pos-
sibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa, a
probabilidade de se licenciar é de 0.80, enquanto que no caso de não a obter, a
probabilidade de se licenciar é de apenas 0.50.
a) Diga ao João qual a probabilidade de ele não se licenciar.
b) Se daqui a uns anos encontrar o João já licenciado, qual a probabilidade de
ele ter recebido a bolsa de estudo?
28
c) Considere toda a população estudantil que se encontra nas mesmas condições
do João relativamente à possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo.
c1) Se for retirada uma amostra de 100 estudantes ao acaso, qual a proba-
bilidade de se licenciarem entre 50 e 60 (inclusivé)?
c2) Se for retirada uma amostra de 20 estudantes ao acaso dos que vierem
a licenciar-se, qual a probabilidade de nenhum ter recebido bolsa de
estudo.
(Exame 13/9/91)
90. Uma fábrica de derivados de cortiça produz lotes de 10000 rolhas para exportação.
Por cada lote, 100 rolhas são retiradas sem reposição para analisar. Se não
existirem mais de 3 rolhas defeituosas, o lote está em condições de ser exportado.
a) Determine a função probabilidade da variável aleatória que indica o número
de rolhas defeituosas na amostra retirada de um lote com y rolhas defeitu-
osas.
b) Calcule a probabilidade de um lote com 600 rolhas defeituosas estar em
condições de ser exportado.
c) Qual deveria ser o critério a adoptar para que a probabilidade de exportar
o lote referido na alínea anterior fosse inferior a 0.05?
(Exame 7/7/89)
91. O comprimento (em cm) de uma peça produzida por uma máquina A é uma
variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [5, 7]. O comprimento
(em cm) de uma peça produzida por outra máquina B é uma variável aleatória
com distribuição uniforme no intervalo [6, 9]. A máquina A produz o dobro das
peças da máquina B.
a) Uma peça é retirada ao acaso da produção total das duas máquinas.
i) Qual é a probabilidade da peça ter um comprimento superior a 6.5 cm?
ii) Sabendo que a peça tem um comprimento superior a 6.5 cm , qual é a
probabilidade de ter sido produzida pela máquina A?
b) Recolheu-se uma amostra aleatória de 100 peças produzidas pela máquina
A. Qual é a probabilidade aproximada de o comprimento médio das peças
ser superior a 6.5 cm? Justifique.
(Exame 10/7/98)
92. O número de avarias por mês nos comboios da linha de Sintra que provocam a
interrupção da circulação é uma variável aleatóriaX com distribuição de Poisson
de parâmetro µ = 3.5. O número de avarias num dado mês é independente do
número de avarias nos outros meses.
Por outro lado, o tempo necessário para restabelecer a circulação ferroviária após
29
uma avaria é uma variável aleatória Y com distribuição N (2.5 ,0.75) (em horas), e
também aqui, o tempo de reparação após uma avaria é independente dos tempos
de reparação após outras avarias.
a) Qual o número esperado de avarias num dado mês? E num ano?
b) Qual a probabilidade de a interrupção da circulação após uma avaria exceder
4.5 horas?
c) Qual a probabilidade de o tempo total de interrupção da circulação na linha
de Sintra exceder 8 horas, se houver 2 avarias num mês?
d) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória que conta o tempo
total de interrupção da circulação num mês, se houver r avarias ? Qual o
seu valor esperado?
93. O tempo de duração T , em minutos, de uma chamada telefónica é uma var-
iável aleatória com distribuição exponencial padrão. O custo, em euros, de cada
chamada C(T ), função da duração, é dado por
C(T ) =

 0.2 0 < T ≤ 30.2 + 0.6(T − 3) T > 3 .
Determine o custo médio de cada chamada.
94. O tempo de espera para uma pessoa ser atendida numa dada pastelaria é uma
variável aleatória com distribuição exponencial de média 4 minutos. Qual a
probabilidade de uma pessoa ser atendida em menos de três minutos, em pelo
menos 4 dias de uma semana (considere uma semana com 7 dias)?
95. Considere três componentes colocadas em série de tal modo que a avaria de
qualquer uma determina uma avaria no sistema. Admita que os tempos de vida
(Xi, i = 1, 2, 3) das componentes são variáveis aleatórias independentes com
distribuição exponencial com parâmetros β1, β2 e β3, sendo βi > 0, ∀i ∈
{1, 2, 3}. Deduza a função de distribuição cumulativa do tempo de vida dos
sistema, Y = min{X1, X2, X3}.
(Exame 17/9/92)
96. Determine:
a) O quantil de ordem 0.99 numa distribuição χ2(4);
b) q0.99 numa distribuição χ
2
(18);
c) q0.9 numa distribuição t-Student com 3 graus de liberdade;
d) q0.1 numa t(3);
e) q0.9 numa t(23);
f) q0.9 numa t(10000);
30
g) o quantil de ordem 0.95 numa distribuição F (7,15);
h) q0.05 numa F (15,7).
97. Sejam X1, X2, ..., X80 80 variáveis aleatórias independentes com distribuição nor-
mal reduzida. Calcule P (X21 +X
2
2 + ... +X
2
80 > 107).
98. Sejam X,X1, X2, ..., X10 11 variáveis aleatórias independentes com distribuição
normal de valor médio nulo e desvio padrão 2. Considere
T =
X√√√√ 10∑
i=1
X2i
.
a) Calcule P (|T | < 0.4339).
b) Determine k tal que P (T > k) = 0.5.
c) Calcule P (T 2 > 0.496).
99. Considere uma amostra aleatória de dimensão 25, (X1, X2, ..., X25) , em que
Xi, (i = 1, 2, ..., 25) tem distribuição N (0, 0.3).
a) Qual a probabilidade do estimador X tomar um valor inferior a -0.05?
b) Seja Y =
25∑
i=1
X2i . Calcule:
b1) P (Y > 1);
b2) P (Y > 0|Y < 1).
100. Sejam Z1, Z2 e Z3 variáveis aleatórias independentes com distribuição normal
reduzida. Calcule as seguintes probabilidades:
a) P (Z1 < 1.5);
b) P (Z1 + Z2 < 1.5);
c) P (Z21 < 3.84);
d) P
(
Z21 + Z
2
2
Z23
< 400
)
;
e) P

 Z1√
Z22 + Z
2
3
> 7

;
f) P (Z21 + 2 Z1 Z2 + Z
2
2 < 10).
101. Sejam V1, V2, ..., V9 variáveis aleatórias normais reduzidas independentes. Con-
sidere as variáveis aleatórias seguintes:
V =
9∑
i=1
Vi, X =
V 21∑9
i=2 V
2
i
e Y =
V1 − V2√
V 23 + V
2
4 + V
2
5
.
Calcule:
31
a) P (|V | < 0.25);
b) P (X > 0.014);
c) P (Y < 1.9).
(Exame 7/12/90)
32
Soluções de alguns Exercícios de Probabilidades
2. a) 0.5.
b) 1/3.
c) 2/3.
4. 5/8.
6. a) 0.3.
b) 0.5.
7. a) 0.25.
b) 0.85.
c) 5/6.
8. a) [0, 0.5].
b) [0, 2/3] ∪ {1}.
c) [0, 1].
9. A- Acontecimento “atleta 1 percorre 100 m em menos de 10 s”
B- Acontecimento “atleta 2 percorre 100 m em menos de 10 s”
C- Acontecimento “atleta 3 percorre 100 m em menos de 10 s”
Pede-se P (A ∪B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+
P (A ∩B ∩C)
ou P (A ∪B ∪ C) = 1− P
(
A ∩B ∩ C
)
= 78150 = 0.52
14. a) i) P (G) = P (G ∩ A) + P (G ∩B) + P (G ∩ C) = 0.85.
ii) P (C|G) = 2/9.
b) P (G|A).P (G|B).P (G¯|C) + P (G|A).P (G¯|B).P (G|C)+
+P (G¯|A).P (G|B).P (G|C) + P (G|A).P (G|B).P (G|C) =0.941.
15. b) 0.64.
21. a) 0.51.
b) 17/49.
c) 0.65.
22. Consideremos os seguintes acontecimentos:
C - ”dia chuvoso” - P (C) = 0.3 P
(
PC|C
)
= 0.10
S - ”dia sol” - P (S) = 0.6 P (PC|S) = 0.20
N - ”dia S/sol e S/chuva” - P (N) = 0.1 P
(
PC|N
)
= 0.05
PC - ”prever chuva”
PC - ” prever não chuva ”
33
a) P
(
PC
)
= P
(
PC ∩ S
)
+ P
(
PC ∩ C
)
+ P
(
PC ∩N
)
↓
Teorema da probabilidade total
= P
(
PC|S
)
· P (S) + P
(
PC|C
)
· P (C) + P
(
PC|N
)
· P (N) = 0.52
b) P (S|PC) = P (PC|S)·P (S)
P (PC) =
0.20×06
1−0.52 = 0.25
c) P (erro) = P
(
PC ∩C
)
+ P (PC ∩ S) + P
(
PC ∩N
)
+ P (PC ∩N)︸ ︷︷ ︸ = 0.25
P (N) = 0.1
23. a) P (X = 2j) =
∞∑
j=1
1
22j
= 1/3.
b) P (X > 5) =
∞∑
j≥6
1
2j
= 1/32.
c) P (X = 3j) =
∞∑
j=1
1
23j
= 1/7.
24. a) a ∈]0, 1[.
31. a) Se X é v.a. contínua então terá que ter-se F (x) contínua
limx→0+ F (x) = 0 e limx→pi− F (x) = 1 , isto e´,
a.0 + b = 0 e api + b = 1 ⇒ b = 0 e a = 1
pi
b) f(x) =


1
pi
0 < x < pi
0 x < 0 ou x > pi
c) P (X <
pi
2
|X ≥ pi
4
) =
P (pi4 ≤ X < pi2 )
P (X ≥ pi4 )
=
1
3
d1) E(X) =
∫ pi
0
x
pi
dx =
pi
2
; V ar[X] = pi
2
12
d2) [log(pi + 2)− log2] /pi
35. a) F (x) =


0 x ≤ 0
x4(5− 4x) 0 < x < 1
1 x ≥ 1.
b) 2/3, 2/63 e
√
2/63
c) L(X) =
{
A1 −B 1/3 < X < 2/3
A2 −B restantes valores.
P (A1 −B) = 101/243
P (A2 −B) = 142/243.
36. b) F (x) =


1
2
ex−α x < α
1− 1
2
eα−x x ≥ α.
34
c) 1− 1/e.
e) α e 2.
f) α.
45. a) O vendedor A pode fazer 0, 1 e 2 seguros com probabilidades 0.5 × 0.5, 2 ×
0.5× 0.5 e 0.5 × 0.5, respectivamente.
O vendedor B pode fazer 0, 1 e 2 seguros com probabilidades 0.75 × 0.75, 2×
0.75 × 0.25 e 0.25 × 0.25, respectivamente.
Y 0 1 2
X
0 0.140625 0.09375 0.015625
1 0.28125 0.1875 0.03125
2 0.140625 0.09375 0.015625
b) P (X + Y ≥ 1) =0.859375.
c) P (X ≥ 1|Y = 2) = 0.75.
d) 1.5 e 0.5.
49. a) X ∩B(20; 0.9).
b) 0.9568.
c) ≃ 1.
e) 110
f) 0.9568.
50. a) 0.9536.
b) 60 cobaias.
c) Pelo menos 6 cobaias.
54. a) 0.667.
b) 750 g.
c) ≃ 1.
55. a) 1969.
b) Pelo menos 10 garrafas.
56. a) k = 1
b) f(x/y = 1) =
{
2(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1
0 o.v.
c) Sim
d) p =prob. de a produção ser superior a 800 kg
p =
∫ 1
0.8 2(1 − x)dx = 0.04
X → no¯ de empresas naquelas condições X ∩B(20; 0.04)
P [X ≥ 5] = 1− P [X ≤ 4]
35
57. a) 30%.
b) ≃ 0.977.
61. a) ≥ 6.
b) 4.
c) 0.105.
62. a) 0.9984.
b) 1.25.
65. a) 60.
b) 0.9556.
66. a) 0.1954.
b) 0.1221.
c) 0.41.
67. a) 0.1429.
b) A capacidade de atendimento deverá ser de 4 petroleiros por dia.
c) 2.
d) 1 ou 2.
e) 0.156
f) 1.782.
g) 0.218.
68. a) P (Y = m,X = r) =
(
r
m
)
(0.1)m(0.9)r−m.
e−1010r
r!
se r ≥ m
P (Y = m,X = r) = 0 se r < m.
b) P (Y = m) =
∞∑
r=0
P (Y = m,X = r) =
m−1∑
r=0
P (Y = m,X = r)+
+
∞∑
r=m
P (Y = m,X = r) =
∞∑
r=m
P (Y = m,X = r) =
=
∞∑
r=m
(
r
m
)
(0.1)m(0.9)r−m
e−1010r
r!
=
= e−10(0.1)m
∞∑
r=m
6 r!
(r −m)!m! (0.9)
r−m 10
r
6 r! =
=
10me−10(0.1)m
m!
∑
r=m
(0.9)r−m
(r −m)! 10
r−m =
=
(10× 0.1)me−10
m!
e0.9×10 =
(10 × 0.1)me−1
m!
.
Ou seja, Y ∩ P (10 × 0.1) = P (1)
36
c) 0.031.
73. a) 6.68%.
b) 0.8664.
c) 147 s.
74. a) 0.7262.
b) 0.1587.
c)99.6 ton.
75. 0.9598.
76. 6.24 anos.
77. X v.a. consumo de cada posto em que X ∩ N (50; 3.2).
Y =
20∑
i=1
Xi v.a. consumo dos 20 postos em que Y ∩ N (1000; 3.2
√
20).
P (Y > a) < 0.20⇐⇒ P (Y < a) > 0.8⇐⇒ Φ(a− 1000
3.2
√
20
) > 0.8 ⇐⇒
⇐⇒ a−100014.31 ≥ 0.85⇐⇒ a ≥ 1013.
O stock mínimo deverá ser constituído por 1013 peças.
80. 24.135 contos.
82. X v.a. no¯ de garrafas c/ menos de 1 litro em que X ∩B(100; 0.40) ∼ N (40;
√
24).
a) P (X = 30) ∼ P (29.5 < X < 30.5) = 0.01.
b) P (X ≤ 30) ∼ P (X < 30.5) = 0.0262.
c) P (X > 45) = 1− P (X ≤ 45) ∼ 1− P (X ≤ 45.5) = 0.1314.
d) P (44 ≤ X ≤ 50) ∼ P (43.5 ≤ X ≤ 50.5) = 0.2227.
85. 0.008.
86. a) Diâmetro médio dos frutos: 9.4 cm; 24.8% e 45.2% de frutos C1 e C2, respectiva-
mente.
b) 0.58.
c)
Categorias P (Ci) P (Mau/Ci)
C1 0.25 0.10
C2 0.45 0.08
C3 0.30 0.02.
Então P (Mau)= 0.067.
88. 0.9998.
90. a) H(10000, 100, y) ∼ B(100; y
10000
).
37
b) ≃ 0.145.
c) Se não existir mais de 1 rolha defeituosa na amostra então o lote está em condições
de ser exportado.
92. a) 3.5 e 42.
b) 0.0039.
c) 0.0023.
d) A v.a. tem distribuição N (2.5r; 0.75 √r) . O seu valor esperado é 2.5r.
97. 0.025.
98. a) 0.8.
b) k = 0.
c) 0.05.
38