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INSTITUTO SUPERIOR DE AGRONOMIA Departamento de Matemática Exercícios de Apoio às Aulas Práticas da disciplina Estatística (com algumas soluções) 2005/2006 0 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Numa turma há 6 raparigas e 12 rapazes. Quantas maneiras diferentes existem de formar uma comissão de 6 pessoas que tenha no máximo duas raparigas e que, entrando uma rapariga ela seja a mais nova da turma. 2. De um baralho com 40 cartas tiram-se, com reposição, 6 cartas. Qual a proba- bilidade de que saiam exactamente três figuras? 3. Num saco estão sete bolas numeradas de 1 a 7. Retira-se uma bola do saco dez vezes, com reposição. Qual a probabilidade do acontecimento “A bola com o número 5 não sai mais de duas vezes”? 4. O Vitor dispõe de um saco com 10 bolas pretas e quer introduzir certo número de bolas brancas de tal forma que, ao tirar uma bola, a probabilidade de ela ser branca seja maior do que 0.1. Quantas bolas brancas se deve introduzir na urna? 5. Colocaram-se três pares de sapatos diferentes só na cor, dentro de uma caixa. A Sara tem os olhos vendados e vai retirar dois sapatos da caixa. Qual a probabi- lidade de tirar um par? 6. O José está indeciso quanto à compra de três discos. Resolveu fazer o seguinte: para cada um atira uma moeda ao ar e se sair “face” compra o disco. Determine a probabilidade de: (a) não comprar nenhum; (b) comprar pelo menos um; (c) comprar pelo menos dois. 7. O João tem 20 pares de meias e o José tem 16. Se escolhermos ao acaso um par de meias de cada um, a probabilidade de ambas serem brancas é 0.25. Se o João tem 10 pares de meias brancas quantas meias brancas tem o José? 8. Fez-se uma aposta simples no totoloto (selecção de 6 números em 49). Determine a probabilidade de: (a) acertar nos seis números; (b) acertar em cinco números; (c) acertar em três números. 9. Cinco amigos vão dar um passeio num automóvel de 5 lugares. Sabendo que só três deles podem conduzir, qual o número de formas diferentes que eles têm de ocupar os lugares durante o passeio. 1 10. Os medicamentos em ensaio num determinado laboratório são identificados por códigos que obedecem às seguintes regras: – têm 5 letras seguidas de 2 algarismos; – começam por vogal; – não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas; – o último algarismo é 0 ou 1. (a) Qual o número máximo de códigos diferentes. (b) Escolhendo um código ao acaso, calcule a probabilidade de que ele não tenha letras nem algarismos repetidos. (Nota: Considere 23 letras e 10 algarismos) 11. Para o jantar de encerramento de um torneio de ténis inscreveram-se 40 raparigas e 80 rapazes, que vão ser distribuidos por 20 mesas de seis lugares. Sabendo que em cada mesa ficarão 2 raparigas e 4 rapazes, (a) Determine de quantas formas distintas pode a organização constituir o grupo que ficará na mesma mesa que o rapaz e a rapariga vencedores do torneio. (b) De cada uma das vinte mesas vai escolher-se ao acaso um representante. Determine a probabilidade de que, nos 20 representantes, haja exactamente 5 raparigas. 12. Considere seis mil milhões de habitantes na Terra e suponha que cada um recebe um cartão de identificação com uma sequência de letras. Qual tem de ser o número mínimo de letras a usar em cada cartão, para garantir que as sequências são todas diferentes? Indique quando será necessário aumentar esse número mínimo de uma unidade. (Nota: Considere o alfabeto com 26 letras e que todas as sequências têm o mesmo número de letras.) 13. Um comerciante foi informado que tem 4 embalagens premiadas de entre as 20 que adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20 embalagens em fila na montra por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as embalagens premiadas fiquem todas juntas no início ou no fim da fila? 14. Dos ouvintes de uma estação radiofónica 37% ouvem o programa X, 53% ouvem o programa Y e 15% ouvem ambos os programas. Ao escolher aleatoriamente um ouvinte desta estação qual a probabilidade de que i) ouça apenas um dos referidos programas; ii) não ouça nenhum destes dois programas. 15. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com 12 rapazes e 8 raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco raparigas e cinco rapazes. De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? 2 16. Num grupo de 1000 alunos de uma escola verificou-se que 200 praticam natação, 250 praticam futebol e 700 não praticam nenhuma destas modalidades. Esco- lhendo ao acaso 20 destes alunos, qual é a probabilidade de que só 4 pratiquem pelo menos uma das modalidades. 17. Num aquário existem 5 peixes vermelhos, 3 dourados e 2 azuis. Retiram-se sucessivamente 3 peixes. (a) Qual a probabilidade de saírem 2 da mesma cor e um de cor diferente? (b) Qual a probabilidade de o terceiro peixe a ser retirado ser azul? 18. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6. No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2. Qual é a probabilidade de os números saídos nos 4 lançamentos serem todos diferentes. 19. A Joana tem na estante do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de Sophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a casa da avó, decidiu escolher 6 desses livros, para ler nesse período. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de Mello Breyner Andresen e três de Carl Sagan. (a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha? (b) Admita agora que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler em casa da avó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes seis livros vão ser lidos, qual é a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um a seguir ao outro? 20. Uma nova marca de gelados, oferece em cada gelado, um de três bonecos: rato Mickey, Peter Pan ou Astérix. Sete amigos vão comprar um gelado cada um. Supondo que os três bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabili- dade de o Rato Mickey sair exactamente a dois dos sete amigos? 3 Soluções dos Exercícios de revisão 1. 5× C124 + C125 + C126 2. C63 (3/10) 3(7/10)3 3. ∑2 i=0 C 10 i (1/7) i(6/7)10−i 4. Pelo menos 2 bolas. 5. 1/5 6. a) 1/8; b)7/8; c) 1/2 7. Tem 8. 8. a)1/(C496 ) b) C6 5 C43 1 C49 6 ; c) C 6 3 C43 3 C49 6 9. 72 10. a) 810000; b) 0.408 11. a)C391 C 79 3 b) p ≃ 0.15 12. n = 7 13. ≃ 0.0004 14. i) 0.60 ii) 0.25 15. C125 C 8 5 16. C 300 4 C700 16 C1000 20 17. a) ≃ 0.66; b)0.20 18. 1/3 19. a) 120; b) 1/3. 20. C72 (1/3) 2(2/3)5 4 EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES 1. Lança-se um dado de seis faces, perfeito. Qual a probabilidade de o resultado ser: a) par; b) divisível por três; c) par ou divisível por três. 2. Lançam-se dois dados de seis faces, perfeitos. Qual a probabilidade de a soma dos resultados do lançamento ser: a) par; b) divisível por três; c) par ou divisível por três. 3. Considere o tempo de vida de uma lâmpada em centenas de horas. Seja Ω = {t : t > 0} o espaço de resultados associado à duração de vida da lâmpada. Considere os acontecimentos: A = {t : t > 15} B = {t : 2 < t < 10} C = {t : t < 12} Caracterize os seguintes acontecimentos: A ∪ B A ∩ C A ∩ B (A ∪B) ∩ C A ∪ (B ∩ C) 4. Sejam A, B e C acontecimentos aleatórios tais que P (A) = P (B) = P (C) = 1 4 , P (A ∩B) = P (B ∩ C) = 0 e P (A ∩ C) = 1 8 . Calcule a probabilidade de se verificar pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C. 5. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios. Mostre que: a) P (A ∩ B) ≤ P (A) ≤ P (A ∪B) ≤ P (A) + P (B); (Exame 17/7/90) b) P (A|B) = P (A)[1− P (B|A)] 1− P (B) , supondo P (A) 6= 0 e P (B) 6= 1; (Exame 10/7/91) c) P [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] = P (A) + P (B)− 2P (A ∩ B); (Exame 23/7/91) 5d) P (B) = P (A)P (B|A)− P (A)P (B|A) + P (B|A), supondo 0 < P (A) < 1; (Exame 13/9/91) e) max{0, P (A) + P (B)− 1} ≤ P (A ∩ B) ≤ min{P (A), P (B)} (desigualdade de Boole). 6. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios tais que P (A) = 0.4, P (B) = p e P (A ∪ B) = 0.7. Para que valores de p, os acontecimentos A e B: a) podem ser mutuamente exclusivos? b) são independentes? 7. Numa propriedade agrícola, sabe-se que 60%, 75% e 50% das árvores são de folha caduca, de fruto e de fruto com folha caduca, respectivamente. Calcule a probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso: a) não ser árvore de fruto; b) ser árvore de fruto ou de folha caduca; c) ser árvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. 8. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios tais que P (A) = P (B) = p e P (C) = 0.5p. Sabendo que A eB são independentes, determine, em função de p, a probabilidade de pelo menos um dos três acontecimentos se realizar e indique os valores possíveis de p, quando: a) C é mutuamente exclusivo de A e de B; b) C é mutuamente exclusivo de A e independente de B; c) A, B e C são independentes. 9. As probabilidades de três corredores de velocidade percorrerem 100 metros em menos de 10 segundos são respectivamente: 1/3, 1/5 e 1/10. Considerando que os tempos dos três atletas são independentes, calcule a probabilidade de, uma corrida em que participam apenas os três atletas, ser ganha em menos de 10 segundos. 10. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula, definidos num espaço de resultados Ω. Mostre que: P (AC|BC) = P (A|BC) = P (AB|C) P (B|C) . (Exame de 16.9.1994) 6 11. Sejam A e B acontecimentos aleatórios. (a) Prove que se A e B são independentes, então: i. A e B são independentes; ii. A e B são independentes; iii. A e B são independentes. (b) Prove que se P (B) 6= 0, então P (A|B) = 1− P (A|B). (c) Se P (B) 6∈ {0, 1}, será verdade que P (A|B) = 1− P (A|B)? Justifique. 12. Considere três acontecimentos A, B e C tais que P (C) = 0.3, P (B|C) = 0.4, P (B|C) = 0.8, P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) = 0.2. a) Calcule P (C|B). b) Calcule P [(B ∩ C)|A]. c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes. (Exame de 29.10.2001) 13. Considere um espaço de resultados formado por N acontecimentos elementares {ai} e porM acontecimentos elementares {bj}. Os elementos ai são equiprováveis, o mesmo acontecendo com os elementos bj . Por outro lado P [{bj}] = 2P [{ai}] ∀i, j. Prove que um acontecimento E formado por n(≤ N) elementos ai e por m(≤M) elementos bj tem probabilidade P [E] = n+ 2m N + 2M . (Exame 17/9/92) 14. Um vendedor de bolbos prepara encomendas a partir de 3 lotes de bolbos que, por terem idades diferentes, não apresentam a mesma probabilidade de germinação. A probabilidade de germinação de um bolbo é de 0.80 se pertence ao lote A, de 0.85 se pertence ao lote B e de 0.90 se pertence ao lote C. a) i) Qual a probabilidade de germinação de um bolbo retirado ao acaso de um lote escolhido ao acaso? ii) Retirou-se um bolbo ao acaso de um lote escolhido ao acaso e verificou- se que não germinava. Qual a probabilidade de o bolbo ter sido retirado do lote C? b) Se uma encomenda for constituída por um bolbo (retirado ao acaso) de cada lote, qual a probabilidade de pelo menos dois bolbos germinarem, admitindo a independência de germinação entre os bolbos retirados de lotes diferentes? 7 15. Um teste é constituído por uma pergunta com n respostas alternativas. O aluno ou sabe a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de o aluno saber a resposta. Admita que as probabilidades de o aluno responder correctamente à pergunta se souber a resposta e de o aluno responder correctamente à pergunta se responder ao acaso são 1 e 1/n, respectivamente. a) Verifique que a probabilidade de um aluno não ter respondido ao acaso se respondeu correctamente é np 1 + (n− 1)p . b) Supondo n = 5 e p = 0.2, calcule a probabilidade de um aluno não responder correctamente à pergunta. 16. Três amigos A, B e C almoçam juntos. Só um deles pagará a despesa total de acordo com o seguinte jogo: A lança uma moeda de 1 Euro suposta equilibrada, se sair “face euro” paga a despesa; caso contrário B lança a moeda. Se sair “face euro” B paga; caso contrário B joga mais uma vez a moeda e conforme obtém “face euro” ou “face país” assim é ele ou C a pagar a despesa (sem que C chegue a fazer algum lançamento). (a) Calcule, para cada um, a probabilidade de pagar a despesa. (b) Determine a probabilidade de B pagar sabendo que A não pagou. (c) (*) Estes três amigos decidem fazer uma série consecutiva de almoços nos quais a despesa é paga sempre de acordo com o jogo descrito acima. Quantos almoços deverão combinar no máximo por forma a que a probabilidade de B não pagar mais de 5 almoços seja superior a 0.90? (Sugestão: se não resolveu a alínea (a) considere a probabilidade de B pagar o almoço igual a 0.4). ((*) A resolução desta alínea necessita de matéria leccionada mais tarde - dis- tribuições.) (Exame de 21/7/92) 17. Considere quatro urnas U1, U2, U3 e U4. Suponha que em cada uma há bolas brancas e pretas, assim distribuídas: U1 U2 U3 U4 brancas 3 5 1 0 pretas 1 1 5 6 a) Calcule a probabilidade de, tendo sido escolhida uma urna ao acaso e nessa urna uma bola ao acaso: i) a bola escolhida ser branca, sabendo que foi escolhida a urna U2; ii) a bola escolhida ser branca; iii) ter sido escolhida a urna U2, sabendo que a bola escolhida foi branca. 8 b) Diga, justificando, se os acontecimentos “escolher a urna U2” e “escolher bola branca” são independentes. 18. As famílias de uma certa cidade escolhem uma das três alternativas para fazer férias: praia, campo ou ficar em casa. Durante a última década verificou-se que escolhiam aquelas alternativas, respec- tivamente, 50%, 30% e 20% das famílias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as férias está relacionada com a alternativa escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou ficado em casa. a) Qual a probabilidade de uma família daquela cidade descansar durante as férias? b) Sabendo que determinada família descansou durante as férias, qual a alter- nativa mais provável de ter sido escolhida por esta família? 19. Um determinado tipo de peças é produzido pelas fábricas F1, F2 e F3. Durante um certo período de tempo, F1 produziu o dobro das peças de F2 enquanto F2 e F3 produziram o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2%, 2% e 4% das peças produzidas por F1, F2 e F3, respectivamente, são defeituosas. Todas as peças produzidas nesse período de tempo foram colocadas num depósito. a) Qual a percentagem de peças defeituosas provenientes a fábrica F2? b) Qual a percentagem de peças defeituosas armazenadas? c) Foi encontrada uma peça defeituosa no depósito. Qual a origem(fábrica) menos provável dessa peça? (Adaptado do exame de 14/11/97) 20. Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efectuado um teste que dá resultado positivo: – com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave; – com probabilidade 0.75 para um indivíduo com doença na forma moderada; – com probabilidade 0.05 para um indivíduo não doente. a) Efectuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo? b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a proba- bilidade de ele ter a doença? c) Será que existe independência entre ter a doença na forma moderada e na forma grave? Justifique. 9 21. Uma estação agrária levou a cabo um estudo para avaliar a precisão da pre- visão do estado do tempo para uma dada região. Com base num grande número de registos, fornecidos peloServiço de Meteorologia, obtiveram-se as seguintes conclusões: – Probabilidade de, para um dia chuvoso, ter sido prevista chuva = 0.85; – Probabilidade de, para um dia sem chuva, ter sido prevista chuva = 0.40; – Probabilidade de um dia chuvoso = 0.20. Calcule as seguintes probabilidades: a) Previsão de um dia sem chuva; b) Chover sabendo que a previsão foi chuva; c) Previsão correcta. (Exame de 23/7/91) 22. Um dado tipo de barómetro está preparado para prever chuva ou prever “não chuva”. Tem-se verificado que ele prevê “não chuva” em 10% dos dias chuvosos, chuva em 20% dos dias com sol e quando um dia não tem sol nem chuva ele prevê “não chuva” com probabilidade igual a 0.05. Num país em que se tem verificado nos últimos anos que “faz sol” em cerca de 60% dos dias e “ faz chuva” em 30% dos dias, responda às seguintes questões (considere que “dia com sol”, “dia com chuva” e “dia sem sol e sem chuva” constituem uma partição do espaço de resultados associado à classificação dos dias quanto ao estado do tempo): . a) Qual a probabilidade de o barómetro prever chuva? b) Qual a probabilidade de “fazer sol” num dia para o qual a previsão seja de chuva? c) Qual a probabilidade de o barómetro errar? (Exame de 13.07.2001) 23. Seja X uma variável aleatória discreta que toma valores em IN com a seguinte função probabilidade: P (X = j) = 1 2j , ∀j ∈ IN. Calcule: a) P (X par); b) P (X > 5); c) P (X divisível por 3). 24. Considere a variável aleatória discreta X que toma valores em IN0 com a seguinte função probabilidade: P (X = j) = (1− a)aj, ∀j ∈ IN0, em que a é uma constante desconhecida, não nula. 10 a) Indique o(s) valor(es) possível(eis) para a. b) Mostre que, para quaisquer inteiros não negativos s e t, se verifica: P (X ≥ s+ t|X ≥ s) = P (X ≥ t). 25. Três bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém 4 bolas vermel- has e 6 bolas brancas. Seja X a variável aleatória que representa o total de bolas vermelhas retiradas. a) Construa a distribuição de probabilidades de X. b) Represente graficamente a distribuição obtida na alínea a). c) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a grafica- mente. d) Calcule P (1 ≤ X ≤ 3). 26. Uma caixa contém 10 iogurtes, estando 4 estragados. Retiram-se 5 com reposição: a) Sendo X o número de iogurtes estragados determine a função massa de probabilidade de X. b) Determine a função distribuição cumulativa de X. Represente-a grafica- mente. c) Calcule P [1 ≤ X ≤ 3]. 27. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabili- dades: xi -2 -1 0 1 2 P (X = xi) 0.1 0.3 0.1 0.2 0.3 a) Calcule E(X) e V (X). b) Determine a função distribuição cumulativa de X. c) Calcule P (X ≥ 0|X < 2). d) Determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = X2. 28. Seja X uma variável aleatória discreta que toma os valores x = 1, 2, ..., n, ...2n−1, n ∈ IN, com probabilidades p(x). Considere p(n+ k) = p(n− k), k ∈ IN. Mostre que: a) E(X) = n; b) Todos os momentos de ordem ímpar em torno do valor médio se anulam. 11 29. O número de televisores encomendados mensalmente em determinada loja é bem descrito por uma variável aleatória X com a seguinte função distribuição cumu- lativa: F (x) = 0 se x < 0 0.1 se 0 ≤ x < 1 0.3 se 1 ≤ x < 2 0.6 se 2 ≤ x < 3 1 se x ≥ 3 a) Determine a função massa de probabilidade da variável aleatória X. b) Quantos televisores deve ter a loja em stock, por mês, para que a probabili- dade de satisfazer todas as encomendas seja superior a 0.95? c) Se num dado mês a loja só tiver 2 televisores em stock , determine a dis- tribuição de probabilidades da variável aleatória que representa a diferença, em valor absoluto, entre as encomendas e o stock . 30. O peso, em Kg, de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 meses é a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) = 0 se x ≤ 1 x− 1 se 1 < x < k 3− x se k ≤ x < 3 0 se x ≥ 3 , k ∈]1, 3[. a) Calcule k. b) Determine a função distribuição cumulativa de X. c) Qual a probabilidade de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 meses ter peso superior a 2 Kg. (Exame de 7/12/90) 31. Considere a variável aleatória contínua X com a seguinte função distribuição cumulativa: F (x) = 0 se x < 0 ax+ b se 0 ≤ x < pi 1 se x ≥ pi. a) Determine a e b. b) Determine a função densidade de probabilidade de X. c) Calcule P (X < pi 2 |X ≥ pi 4 ). d) Calcule: d1) E(X) e V ar(X); d2) E( 1 X + 2 ). 12 32. Considere a função real de variável real assim definida: f(x) = ke−|x|, k ∈ IR e x ∈ IR. a) Determine o valor de k de modo que seja função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X. b) Determine a função de distribuição cumulativa de X. c) Calcule P (|X − E(X)| < 1). 33. Considere a função fθ(x) = { θ2xe−θx para x > 0 0 para x ≤ 0, em que θ > 0. a) A função fθ(x) define uma função densidade de probabilidade? b) Determine a função de distribuição cumulativa associada a fθ(x). c) Seja X a v.a com função densidade fθ(x). Determine P (X ≥ 1). 34. Seja X uma v. a. contínua com a seguinte função distribuição cumulativa : F (x) = { k − c3/x3 para x ≥ c 0 para x < c, c > 0. a) Determine o valor de k. b) Determine a função densidade de X. c) Calcule o primeiro quartil da distribuição de X. d) Determine o valor médio e a mediana de X. e) Calcule P [c < X < 3c | X < 4c]. f) O que pode dizer quanto ao valor do terceiro momento de X? E do quarto momento? g) Determine a função densidade da v.a. Y = X2. 35. A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) = { 20x3(1− x) 0 < x < 1 0 restantes valores de x. a) Determine a função distribuição cumulativa de X e esboce o seu gráfico. b) Calcule µX , σ2X e σX . c) Suponha que o preço de venda do produto depende da percentagem de álcool. Se 1/3 < X < 2/3 o produto é vendido por A1 euros/l, caso contrário por A2 euros/l. Calcule a distribuição de probabilidades do lucro líquido por litro de produto, supondo que o custo por litro é de B euros. 13 36. Seja X a variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de proba- bilidade: f(x) = 1 2 e−|x−α|, ∀x ∈ IR, em que α ∈ IR. a) Mostre que f é uma função densidade de probabilidade. b) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a grafica- mente. c) Calcule P (|X − α| < 1). d) Mostre que a função geradora de momentos de X é MX(t) = e αt 1−t2 , |t| < 1. e) Determine E(X) e V ar(X). f) Determine a mediana de X. 37. Num processo de inventário concluíu-se que a raridade de determinada espécie animal era inversamente proporcional à área observada até que se avistasse um exemplar da espécie, associada ao percurso de amostragem. Considere então a v.a. X designando a distância percorrida até se avistar algum exemplar da espécie, com função densidade dada por f(x) = { b k x2 1 ≤ x ≤ b 0 restantes valores de x. (a) Indique quais as condições que k e b devem verificar de modo que f(x) seja uma função densidade. (b) Determine a função de distribuição cumulativa de X. (c) Calcule a mediana de X. (d) Considere a v.a. Y = C0+C1X, que caracteriza o custo de amostragem, onde C0 designa os custos fixos e C1 o custo por unidade de percurso. Determine o custo esperado para o inventário. (Exame de 10/7/92) 38. Mostre que, se a variável aleatória contínua X tem função densidade de proba- bilidade par então, caso exista E(X) , tem-se E(X) =0. 39. A distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte: Y 1 2 3 4 X 1 0.03 0.06 0.09 0.12 2 0.01 0.08 0.110.20 3 0.06 0.06 0.10 0.08 14 a) Calcule as distribuições de probabilidades marginais de X e Y . b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. c) Calcule P (X = 3, Y = 2) e P (X = 3|Y = 2). d) Determine: d1) E(X), E(Y ) e E(XY ); d2) COV (X, Y ) e ρX,Y . 40. O peso de cada saco de quilo de café de certa marca é uma variável aleatória que, segundo um estudo realizado por uma organização de defesa do consumidor, tem função densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0.8 Kg e b Kg, i.e., f(x) = { 4 0.8 < x < b 0 restantes valores de x. a) Determine b. b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória e represente- a graficamente. c) Qual a percentagem de sacos de café da referida marca que pesam menos de 1 Kg? d) Se o peso dos sacos for independente de saco para saco e se uma pessoa comprar 4 sacos, qual a probabilidade de todos os sacos pesarem menos de 1 kg? 41. Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglês e francês que não existam em stock. O número de livros em inglês e francês encomendados semanalmente é o par aleatório (X, Y ) com a seguinte distribuição de probabilidades: Y 1 2 3 4 X 0 0.01 0.02 0.04 0.03 1 0.05 0.10 0.20 0.15 2 0.04 0.08 0.16 0.12 a) Qual a probabilidade de numa semana serem encomendados no máximo dois livros? b) Qual a percentagem de semanas em que existe igualdade de livros ingleses e franceses encomendados? c) Determine as funções distribuição marginais das variáveis X e Y . d) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y e interprete o seu resultado. 15 e) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória "Número total de livros em inglês e francês encomendados semanalmente"? f) Qual a probabilidade de numa semana se encomendar pelo menos um livro em inglês sabendo que foram encomendados dois livros em francês? 42. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes e semelhantes com distribuição de probabilidade assim definida: pX(x) = θ x−1(1− θ) 0 < θ < 1, x = 1, 2, ... (a) Mostre que pX é de facto uma distribuição de probabilidade. (b) Calcule P [X1 +X2 = 4]. (Exame de 21/7/92) 43. Um posto de gasolina é reabastecido uma vez por semana. As vendas no passado sugerem que a função densidade de probabilidade do volume de vendas semanais, X, medido em dezenas de milhares de litros, é dada por: f(x) = x− 1 1 ≤ x < 2 3− x 2 ≤ x < 3 0 restantes valores de x. a) Determine a probabilidade de numa semana o volume de vendas se situar entre os 15000 litros e os 23000 litros. b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória X. c) Calcule o valor esperado, a mediana e o desvio padrão do volume de vendas semanais. d) Determine a quantidade mínima de gasolina com que o posto se deve abaste- cer, por semana, para que a gasolina não se esgote no referido posto em mais de 8% das semanas. e) (*) Admitindo que o volume de vendas é independente de semana para semana, qual a probabilidade de, em 2 anos, o posto vender mais de 210 dezenas de milhares de litros. ((*) Esta questão só poderá ser resolvida mais tarde, após estudada a distribuição normal e Teorema Limite Central.) 44. Considere a extracção sucessiva de dois números tais que, na primeira extracção podem sair os números 1, 2, 3 e 4 com igual probabilidade e na segunda extracção pode obter-se, também com igual probabilidade, um dos valores do conjunto {1, ..., k}, onde k designa o resultado da primeira extracção. Considere as seguintes variáveis aleatórias: X-variável aleatória que indica o número da primeira extracção; Y -variável aleatória que indica o número da segunda extracção. 16 a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta do par (X, Y ). b) Qual a probabilidade de sair 2 na segunda extracção se saíu 3 na primeira? c) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique. d) Calcule E[X + Y ]. (Exame de 22.06.2001) 45. Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. A experiência tem revelado que 50% das pessoas que contactam o vendedor A e apenas 25% das pessoas que contactam o vendedor B fazem um seguro de vida. Considere o par aleatório (X, Y ) que representa o número de apólices vendidas diariamente por A e B num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas. a) Admitindo que que cada pessoa contactou um só vendedor, determine a distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ). b) Qual a probabilidade de se vender pelo menos um seguro de vida? c) Qual a probabilidade de A vender pelo menos um seguro de vida sabendo que B vendeu dois seguros? d) Calcule E(X + Y ) e V ar(X). 46. Seja (X, Y ) o par aleatório com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f(x, y) = { a (x+ y) 1 ≤ x ≤ 2 1 ≤ y ≤ 2 0 restantes valores de (x, y). a) Determine o valor da constante a. b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. c) Calcule P [Y < X] e P [Y > 3−X]. Comente. d) Determine o valor médio de 1/X. e) Determine a função densidade condicional de Y |X = 3/2. 47. Seja (X, Y ) a variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade conjunta: f(x, y) = { 4xye−x 2−y2 se x > 0 e y > 0 0 para outros valores. a) Determine as funções densidade marginais de X e Y . b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. c) Calcule COV (X, Y ). 17 48. Seja X o tempo total desde a chegada de um cliente a uma estação de serviço até ao momento em que faz o pagamento, e seja Y o tempo que está em fila até efectuar o pagamento (medidos em unidades de 5 minutos). Suponha que as variáveis (X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta assim definida: f(x, y) = { (x/2)e−x se 0 ≤ y ≤ x <∞ 0 para outros valores de (x, y). a) Calcule as funções densidade marginais de X e Y . b) Qual a probabilidade de o tempo gasto na fila ser superior a 5 minutos se o tempo total gasto por um cliente for inferior a 15 minutos. c) Calcule o tempo médio de serviço. Qual a variância do tempo de serviço.? d) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique. 49. Uma experiência aleatória pode dar dois resultados: êxito ou fracasso. O custo de uma experiência que resulte em êxito é de 5 euros e em fracasso de 10 euros. A experiência é repetida 20 vezes, de forma independente. Seja X a variável aleatória que conta o número de êxitos. a) Sabendo que a probabilidade de uma experiência resultar em êxito é 0.9, construa a distribuição de probabilidades de X. b) Calcule P [X > 15]. c) Calcule a probabilidade de haver mais êxitos do que fracassos. d) Mostre que o custo total C das 20 experiências pode ser expresso como C = 200− 5X. e) Calcule E(C). f) Calcule P [C < 125]. (Exame 4/7/88) 50. Uma dada experiência biológica analisa cobaias. Cada vez que se repete a referida experiência, uma cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia. Sabendo que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos, calcule: a) A probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas, se tiver 10 cobaias. b) O número de cobaias necessário para que o número esperado de sucessos seja 24. c) O número de cobaias necessário para que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0.95. (Exame de 18/7/88) 51. Uma pessoa planta 6 bolbos, escolhidos ao acaso de uma caixa que contém 5 bolbos de túlipa e 4 bolbos de junquilho. Qual a probabilidade de essa pessoa plantar 2 bolbos de junquilho e 4 de túlipa? 18 52. Numa escola, vai realizar-se um exame de uma dada disciplina num determinado dia. Está prevista uma greve às avaliações para este dia à qual 75% dos docentes vão aderir. Dos 20 docentes existentes, 8 são convocados para a vigilância daquele exame.Sabendo que os alunos vão ser distribuídos por duas salas e que se admite a possibilidade de o exame se realizar com um docente por sala, qual a probabilidade de o referido exame se realizar para todos os alunos? (Exame 25/9/95) 53. Um método frequentemente utilizado para estimar o número de animais de uma dada espécie num certo habitat é o da captura-recaptura. O método pode ser exemplificado pela seguinte situação: Num lago são capturados, marcados e devolvidos à água 5 peixes de uma certa espécie. Passado algum tempo (a fim de permitir que os peixes mar- cados se distribuam aleatoriamente pelo lago, embora não convenha deixar passar demasiado tempo, para se poder admitir que a dimensão da popu- lação permaneceu constante) são pescados 4 peixes dessa mesma espécie e conta-se quantos de entre eles estão marcados, o que será representado pela variável aleatória X. a) Qual a probabilidade de nenhum dos 5 peixes marcados ser recapturado, se existirem 10 peixes da referida espécie no lago? E se existirem 100? b) A ideia do método de captura-recaptura consiste em considerar o tamanho da população como sendo aquele que torna mais provável o valor de X que resultou de uma experiência deste tipo. Assim, por exemplo, qual dos 4 valores N = 10, N = 20, N = 100 ou N = 1000, considera mais plausível para o tamanho da população se: i) da experiência resultou X = 1; ii) da experiência resultou X = 2. 54. Na época natalícia, certa pastelaria fabrica 3 tamanhos de bolo-rei: de 500g, de 750g e de 1000g. Nem todos os bolos fabricados contêm brinde. Este é colocado de tal forma que 20% dos bolos de 500g ficam sem brinde, o mesmo sucedendo com 10% dos bolos de 1000g e com 30% dos bolos de 750g. 25% dos bolos fabricados são de 500g e outros 25% de 1000g. a) Qual a probabilidade de um bolo sem brinde ser de 750g? b) A filha de um casal seu amigo apareceu-lhe com um brinde que lhe saíu no bolo-rei comprado na referida pastelaria. Qual dos bolos (tamanho) tem maior probabilidade de ter sido comprado pelo casal? c) A referida pastelaria tem uma produção diária de 1000 bolos. Qual a prob- abilidade de uma pessoa que compra 10 desses bolos ter pelo menos 2 com brinde? (Exame 7/12/90) 19 55. Um agricultor tem na sua cave duas categorias de vinhos engarrafados: garrafas de vinho tinto e garrafas de vinho branco. Supõe-se que nesta cave só há vinhos de três anos (1968, 1969 e 1970) e que há o mesmo número de garrafas de cada ano. A percentagem de garrafas de vinho tinto entre as engarrafadas em cada um daqueles anos ( 1968, 1969 e 1970) é de 70%, 50% e 90%, respectivamente. a) Um ladrão leva uma garrafa ao acaso que verifica ser de vinho branco. Qual é o ano mais provável de engarrafamento desse vinho? b) Depois de ter provado o vinho branco, o referido ladrão achou que ele era muito bom. Decide então fazer nova ‘visita’ à cave com o objectivo de levar consigo pelo menos três garrafas de vinho branco. Considerando que a escolha é feita ao acaso, quantas garrafas deverá o ladrão levar para que a probabilidade de atingir o seu objectivo seja superior ou igual a 0.6? 56. Considere uma empresa agrícola que produz uvas e melões nas quantidades (em toneladas) X e Y , respectivamente. Devido às instáveis condições atmosféricas o valor das produções é aleatório com f.d.p. conjunta dada por: f(x, y) = k(1− x)(2− y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 20 outros valores. a) Calcule k. b) Se num dado momento a produção de melões for de 1 ton, qual será a f.d.p. da produção de uvas? c) Será que as quantidades produzidas de cada fruta são independentes? Jus- tifique. d) Escolhendo ao acaso 20 empresas nas condições anteriores, qual será a prob- abilidade de, em pelo menos 5 delas, a produção de uvas ser superior a 800 kg? 57. Um laboratório exporta um certo produto químico para o mercado europeu. Este mercado exige que o produto fornecido tenha entre outras características, uma determinada coloração. Da produção do laboratório, 60% tem a coloração ade- quada, mas apenas metade desta quantidade satisfaz também as outras condições exigidas pelo referido mercado. a) Qual a percentagem da produção do laboratório que satisfaz as condições exigidas pelo referido mercado ? b) De um lote de 100 produtos em que 30 não estão em condições de exportação, retirou-se uma amostra de 10, sem reposição. Calcule a probabilidade de aparecer pelo menos um produto que não seja exportável. (Exame 17/9/90) 20 58. Seja X uma variável aleatória com distribuição B(n; p) e Y a variável aleatória definida por Y = X n . Calcule: a) E[Y ] , V ar[Y ] e E[Y 2]; b) A função geradora de momentos de Y . c) E [1/(X + 1)]; 59. Numa linha de fabrico de uma determinada componente electrónica pode ocorrer um defeito muito raro mas causador de grandes prejuizos. Seja 0.01 a proba- bilidade de ocorrência desse defeito. Um teste muito simples é realizado para detecção do defeito. Apresenta, no entanto, probabilidades significativas de con- duzir a conclusões erradas. Assim, cerca de 5% das vezes o teste indica a existên- cia de defeito se não houver defeito e cerca de 3% das vezes indica ausência de defeito se houver defeito. (a) Qual a probabilidade de se ter uma conclusão incorrecta? (b) Determine a probabilidade de o teste indicar a existência de defeito. (c) São comercializadas embalagens contendo 80 daquelas componentes. Qual a probabilidade de, numa determinada embalagem, duas componentes ap- resentarem defeito? (d) A venda de cada embalagem referida na alínea anterior para o mercado é feita com um lucro Y , que é função de vários factores entre os quais o número de componentes defeituosas. Com o objectivo de simplificar os cálculos considere constante o efeito de todos os outros factores, sendo o lucro dado pela relação Y = 0.02− 0.1X onde X é o número de componentes defeituosas em cada embalagem. Qual é nessa situação, a probabilidade de uma embalagem não dar prejuizo? (Exame de 17/7/92) 60. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição binomial de parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente. a) Prove que X1 +X2 tem distribuição binomial de parâmetros (n+m, p). b) Prove que X1|(X1 + X2 = k), k = 0, 1, 2, · · · , m + n tem distribuição hipergeométrica e indique os parâmetros da distribuição. 61. A probabilidade de um atirador acertar num alvo é p = 1/4. a) Seja X a variável aleatória que conta o número de tiros necessários até acertar, pela primeira vez, no alvo. Determine n tal que P [X ≤ n] > 0.8. b) Quantos tiros espera o atirador dar até acertar pela primeira vez no alvo? 21 c) Qual a probabilidade de ter de atirar 5 vezes até acertar duas vezes no alvo? 62. O Duarte vai posicionar-se na linha de lançamento livre num campo de bas- quetebol e atirar até fazer um cesto. Se admitirmos que os lançamentos são independentes e de probabilidade de acertar constante e igual a 0.8, determine: a) a probabilidade de necessitar de menos de 5 lançamentos para acertar; b) o número esperado de lançamentos que tem que efectuar para acertar. 63. Se X é uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p, ex- prima P [a ≤ X ≤ b] como função de p, a e b. 64. Suponha que, de cada vez que conduz o carro em excesso de velocidade, tem uma probabilidade 0.001 de vir a ser multado e que ao fim de três multas perde a carta. Identifique e caracterize a distribuição da variável aleatória que indica o número de vezes que conduz em excesso de velocidade até perder a carta (admita ocorrências de multa independentes). 65. Admita quer 5% da população possui um dado tipo de sangue. Como a população é suficientemente grande a selecção aleatória de indivíduos pode considerar-se satisfazendo as condições de provas i.i.d. a) Qual o número esperado de testes necessários para localizar três pessoas com aquele tipo de sangue. b) Quala probabilidade de que seja necessário realizar pelo menos 8 testes para localizar duas pessoas com aquele tipo de sangue? 66. Uma empresa de aluguer de autocarros para excursões de longo curso dispõe de 5 veículos. Sabe-se, pela análise do seu comportamento, que a procura semanal de veículos segue uma distribuição de Poisson de média 4. a) Determine a probabilidade de, em certa semana, um dos autocarros não ser alugado. b) Qual a probabilidade de, em duas semanas, serem procurados 6 veículos? c) Determine o valor esperado do número de clientes que em certa semana não podem ser atendidos por já estarem alugados todos os autocarros. (Exame de 16/2/91) 67. O número de petroleiros que chega a uma certa refinaria, em cada dia, é uma v.a. X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 2. As actuais instalações portuárias da refinaria podem atender até 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 petroleiros chegam num dia, os petroleiros em excesso são enviados para outro porto. a) Qual a probabilidade de, num dado dia, a refinaria ter de recusar petroleiros? 22 b) Qual deverá ser a capacidade de atendimento da refinaria para permitir o acolhimento de todos os petroleiros que chegam em cerca de 95% dos dias? c) Qual o número esperado de petroleiros chegados por dia? d) Qual o número mais provável de petroleiros chegados num dia? e) Qual a probabilidade de em dois dias chegarem 5 petroleiros? f) Qual o número esperado de petroleiros atendidos num dia? g) Qual o número esperado de petroleiros recusados num dia? 68. O número de automóveis que em cada dia passa num certo troço de estrada pode considerar-se uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 10. Nesse troço de estrada existe um posto de venda de melões. O número de automobilistas que param no referido posto de venda, num dado dia, é uma variável aleatória Y . Sabe-se que P (Y = m|X = r) = ( r m ) (0.1)m(0.9)r−m , m = 0, 1, 2, ..., r. NOTA: P (Y = m|X = r) =0 se r < m. a) Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y . b) Determine a função de probabilidade marginal de Y . c) Sabendo que pararam 3 automobilistas no posto de venda num dado dia, qual a probabilidade de o número de carros que passaram na estrada nesse dia ter sido no máximo 6? 69. Em certo bairro recentemente construído e constituído por prédios de duas, três ou quatro assoalhadas, verificou-se que em 37% dos apartamentos os moradores não têm filhos. A distribuição dos apartamentos por número de assoalhadas é a seguinte: No¯de assoalhadas 2 3 4 Percentagem 30% 40% 30% (a) Determine a média e a variância do número de assoalhadas de um aparta- mento. (b) Admitindo que o número de filhos por apartamento tem uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de num certo apartamento haver pelo menos cinco filhos. (c) Sabendo que dos moradores em apartamentos de duas assoalhadas apenas 20% têm pelo menos um filho e que nos de três assoalhadas 30% não têm filhos, qual a probabilidade de num apartamento de 4 assoalhadas escolhido ao acaso haver pelo menos um filho. (Exame de 10/7/92) 23 70. Duas máquinas A e B produzem 10% e 90% da produção total de um dado artigo, respectivamente. Suponha que 5% dos artigos fabricados por cada uma das máquinas são defeituosos. a) Qual a probabilidade de um artigo defeituoso ter sido fabricado pela máquina A? b) De um lote bastante grande do referido artigo, é retirada uma amostra aleatória de 50 artigos. Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 artigos defeituosos? E 5? c) Qual o número máximo de artigos que deverá tirar ao acaso da produção total para que a probabilidade de não encontrar defeituosos seja superior a 0.80? 71. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias com distribuição de Poisson de parâmetros λ1 e λ2, respectivamente. Prove que se X1 e X2 forem independentes, a distribuição de X1|(X1 +X2 = k), k ∈ IN, é binomial. 72. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição uniforme no intevrvalo (−0.5, 1.0),i.e., com função densidade de probabilidade assim definida: f(x) = { 2/3 −0.5 < x < 1.0 0 x /∈]− 0.5, 1.0[ a) Determine a função distribuição cumulativa de X. b) Calcule, justificando convenientemente todos os seus cálculos: i) P (X > 0.5); ii) P (X2 < 0.25); c) Deduza: i) A função distribuição cumulativa da variável aleatória Y = X3; ii) A função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = X3. (Exame 21/6/99) 73. Uma análise estatística sobre 1000 chamadas de longa distância indica que a du- ração de uma chamada pode considerar-se uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com parâmetros µ = 240 s e σ = 40 s. a) Qual a percentagem destas chamadas com duração inferior a 180 s? b) Qual a probabilidade de uma dada chamada durar entre 180 e 300 s? c) Sabe-se que apenas 1% das chamadas tem duração inferior a uma dada chamada. Determine a duração desta chamada. 74. Uma empresa agro-química fabrica mensalmente 90 toneladas de um dado pro- duto. Sabendo que a procura mensal deste produto é uma variável aleatória aproximadamente normal de parâmetros µ =80 ton e σ =10 ton, calcule: 24 a) A probabilidade de a procura mensal do produto se situar entre 68 e 90 toneladas; b) A probabilidade de haver num mês procura excedentária; c) A produção necessária para que a probabilidade de haver procura mensal insatisfeita seja 0.025. (Exame 18/7/88) 75. O erro aleatório cometido numa dada medição segue uma lei normal de desvio padrão σ =1 mm e média µ =0 mm. Calcule a probabilidade de, em duas medições independentes, o erro cometido pelo menos numa delas não ultrapassar, em valor absoluto, 1.28mm. (Exame 12/9/88) 76. Uma fábrica produz motores cujo tempo de vida é uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros µ =10 anos e σ =2 anos. A fábrica quer criar um período de garantia para os motores de forma a que não mais de 3% tenham de ser substituídos. Qual deverá ser o período de garantia máximo oferecido pela fábrica? 77. Cada um de 20 postos de trabalho nas linhas de montagem de uma fábrica con- some diariamente peças do tipo A a um ritmo dado por uma variável aleatória com distribuição N (50, 3.2). Se os stocks de peças forem renovados todos os dias úteis, qual deverá ser o stock mínimo no início de cada dia de forma a que a probabilidade de ruptura dos stocks não exceda 20% ? Admita que o consumo em cada posto de trabalho é independente do consumo nos restantes postos de trabalho. (Exame 23/7/91) 78. Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função geradora de mo- mentos: MY (t) = e 3t+8t2 , t ∈ IR a) Calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X = Y−3 4 . b) Determine o valor médio e a variância de X. c) Se W ∩N(µ, σ) então a função geradora de momentos de W é definida por MW (t) = e µt+ 1 2 t2σ2 , t ∈ IR. Identifique as distribuições de X e Y . (Exame 22/6/98) 79. Numa fábrica de pesticidas, o peso em kg de certo tipo de embalagens de fungi- cidas é uma v. a. normal com média 2 kg. Tem-se verificado que 1.5% das embalagens são rejeitadas por conterem menos de 1.870 kg. (a) Qual a percentagem de embalagens cujo peso difere do peso médio mais de 150g? 25 (b) Enviado um lote de 60 embalagens para um fornecedor, qual a probabilidade de o peso total dessas embalagens ser superior a 121 kg? E a 120? (c) Qual a probabilidade de, em 100 embalagens, serem aceites pelo menos 80, se for feita a seguinte alteração do critério: rejeita-se as embalagens que têm menos de 1.950 kg. (Exame 10/7/92) 80. Um grossista de distribuição de fruta recebe do produtor pêssegos de quatro categorias: extra, A, B e C. Da experiência anterior, sabe-se que o diâmetro de um pêssego é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 64 mm e desvio padrão 3 mm. Aclassificação do referido fruto em função do seu diâmetro é a seguinte: Categoria Diâmetro (x) em mm C x ≤ 60 B 60 < x ≤ 65 A 65 < x ≤ 70 Extra x > 70 Atendendo aos custos de armazenamento e de distribuição, admite-se que o lucro líquido por tonelada é de 80 contos para a categoria extra, 50 contos para a categoria A, 10 contos para a categoria B e -5 contos para a categoria C. Qual o lucro líquido esperado de um fornecimento constituído por uma tonelada de pêssegos? (Exame 14/7/88) 81. Um produto pesa em média 10g com desvio padrão de 2g. Este produto é em- balado em caixas com 50 unidades cada. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média 500g com desvio padrão de 25g. Admita que as variáveis peso do produto e da caixa vazia são independentes com distribuição normal. a) Qual é a probabilidade de numa caixa encontrar no máximo 40 unidades do referido produto com peso inferior a 8g cada? b) Qual é a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais do que 1050g? (Exame 10/7/98) 82. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se que 40% dessas garrafas contêm realmente uma quantidade de líquido menor do que a indicada no rótulo. Calcule a probabilidade de em 100 garrafas existentes numa grande loja: a) haver 30 com menos de 1 litro; b) haver não mais de 30 com menos de 1 litro; 26 c) haver mais de 45 com menos de 1 litro; d) haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro. 83. Um determinado modelo de avião pode transportar uma carga máxima (pas- sageiros e bagagens) de 9000kg. Admita que o peso da bagagem de um passageiro é uma variável aleatória com distribuição N(18, 5), que o peso de um passageiro- homem é uma variável aleatória com distribuição N(70, 10) e que o peso de um passageiro-mulher é uma variável aleatória com distribuição N(60, 10). a) Qual é o peso da bagagem de um passageiro que não é ultrapassado por mais de 20% dos passageiros? b) Considere um casal (homem e mulher) que entra no avião. Qual a proba- bilidade de o peso da mulher ser superior ao do homem? Que hipóteses tem de admitir para responder a esta questão? c) Num determinado vôo a lotação do avião está completa com 80 homens e 20 mulheres, que levam a respectiva bagagem. Qual a probabilidade de o avião não poder partir por excesso de carga? d) A companhia pratica a cobrança de uma taxa para bagagens com peso su- perior a 20kg. Havendo 60 passageiros num vôo, qual é a probabilidade de que mais de 10 passageiros paguem a referida taxa. (Exame 11/10/95) 84. Suponha que os elos de uma corrente de bicicleta têm comprimentos aleatórios com distribuição normal de média 0.5 cm e desvio padrão 0.04cm. As normas de um fabricante de bicicletas exigem que o comprimento de uma corrente esteja compreendido entre 49 e 50 cm . (a) Qual a percentagem de elos cujo comprimento excede 0.6cm? (b) Se uma corrente tiver 100 elos, qual a proporção de correntes a satisfazer as normas exigidas? (c) Utilizando apenas 99 elos, que valor deverá assumir o desvio padrão para que 90% das correntes satisfaça as normas do fabricante? (Exame 21/7/92) 85. O diâmetro de um certo tipo de peças é uma variável aleatória com distribuição normal. As peças são consideradas defeituosas se o seu diâmetro diferir do valor médio µmais do que 1.25 mm. Sabe-se que 2.28% das peças possuem um diâmetro superior a 7 mm, sendo também esta percentagem a das peças com um diâmetro inferior a 5 mm. Tendo-se extraído uma amostra de 100 peças de um grande lote, qual a proba- bilidade de aparecerem pelo menos 5 peças defeituosas. 27 86. Para efeitos de comercialização, um dado fruto é classificado de acordo com o seu tamanho. Considera-se que o diâmetro de uma peça deste fruto é uma variável aleatória com distribuição normal de desvio padrão igual a 5 cm e média µ cm. A classificação, em categorias, do referido fruto é a seguinte: Categoria Diâmetro (x) em cm C1 x ≤ 6 C2 6 < x < 12 C3 x ≥ 12 a) Sabendo que 30% dos frutos são da categoria C3, calcule o diâmetro médio dos frutos e a percentagem dos frutos das outras categorias. b) Se os frutos forem vendidos em embalagens de 6 unidades, qual a probabil- idade de uma embalagem ter pelo menos 2 frutos da categoria C3? c) Sabendo que 10%, 8% e 2% dos frutos pertencentes respectivamente às cat- egorias C1,C2 e C3 se apresentam em más condições, qual a probabilidade de um fruto retirado ao acaso não estar em condições de ser consumido? 87. Uma máquina deve ensacar sacos com 500g de turfa para plantações. O peso de cada saco de turfa é uma v.a. normal com σ=20 gramas. A média da distribuição pode ser regulada na máquina pelo operador. (a) Qual deverá ser a média calibrada na máquina, de modo que apenas 5% dos sacos tenha peso inferior ao desejado? (b) Enquanto aguardam em armazém a saída para o campo, os sacos são coloca- dos numa prateleira que, por ser pouco resistente, apenas consegue suportar 300 kg. Qual o risco de a prateleira desabar no caso de serem empilhados 610 sacos? (Exame 17/9/92) 88. Num edifício funcionam 7 elevadores. A carga máxima de cada elevador é de 320 kg. A dada altura entra um grupo de 4 pessoas em cada um dos elevadores. Calcule a probabilidade de no máximo 3 elevadores não funcionarem se o peso de uma pessoa for considerado uma variável aleatória com distribuição normal de média 71,75 kg e desvio padrão 10 kg. 89. O João vai entrar para a Universidade e foi informado de que há 30% de pos- sibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa, a probabilidade de se licenciar é de 0.80, enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0.50. a) Diga ao João qual a probabilidade de ele não se licenciar. b) Se daqui a uns anos encontrar o João já licenciado, qual a probabilidade de ele ter recebido a bolsa de estudo? 28 c) Considere toda a população estudantil que se encontra nas mesmas condições do João relativamente à possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. c1) Se for retirada uma amostra de 100 estudantes ao acaso, qual a proba- bilidade de se licenciarem entre 50 e 60 (inclusivé)? c2) Se for retirada uma amostra de 20 estudantes ao acaso dos que vierem a licenciar-se, qual a probabilidade de nenhum ter recebido bolsa de estudo. (Exame 13/9/91) 90. Uma fábrica de derivados de cortiça produz lotes de 10000 rolhas para exportação. Por cada lote, 100 rolhas são retiradas sem reposição para analisar. Se não existirem mais de 3 rolhas defeituosas, o lote está em condições de ser exportado. a) Determine a função probabilidade da variável aleatória que indica o número de rolhas defeituosas na amostra retirada de um lote com y rolhas defeitu- osas. b) Calcule a probabilidade de um lote com 600 rolhas defeituosas estar em condições de ser exportado. c) Qual deveria ser o critério a adoptar para que a probabilidade de exportar o lote referido na alínea anterior fosse inferior a 0.05? (Exame 7/7/89) 91. O comprimento (em cm) de uma peça produzida por uma máquina A é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [5, 7]. O comprimento (em cm) de uma peça produzida por outra máquina B é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [6, 9]. A máquina A produz o dobro das peças da máquina B. a) Uma peça é retirada ao acaso da produção total das duas máquinas. i) Qual é a probabilidade da peça ter um comprimento superior a 6.5 cm? ii) Sabendo que a peça tem um comprimento superior a 6.5 cm , qual é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A? b) Recolheu-se uma amostra aleatória de 100 peças produzidas pela máquina A. Qual é a probabilidade aproximada de o comprimento médio das peças ser superior a 6.5 cm? Justifique. (Exame 10/7/98) 92. O número de avarias por mês nos comboios da linha de Sintra que provocam a interrupção da circulação é uma variável aleatóriaX com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 3.5. O número de avarias num dado mês é independente do número de avarias nos outros meses. Por outro lado, o tempo necessário para restabelecer a circulação ferroviária após 29 uma avaria é uma variável aleatória Y com distribuição N (2.5 ,0.75) (em horas), e também aqui, o tempo de reparação após uma avaria é independente dos tempos de reparação após outras avarias. a) Qual o número esperado de avarias num dado mês? E num ano? b) Qual a probabilidade de a interrupção da circulação após uma avaria exceder 4.5 horas? c) Qual a probabilidade de o tempo total de interrupção da circulação na linha de Sintra exceder 8 horas, se houver 2 avarias num mês? d) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória que conta o tempo total de interrupção da circulação num mês, se houver r avarias ? Qual o seu valor esperado? 93. O tempo de duração T , em minutos, de uma chamada telefónica é uma var- iável aleatória com distribuição exponencial padrão. O custo, em euros, de cada chamada C(T ), função da duração, é dado por C(T ) = 0.2 0 < T ≤ 30.2 + 0.6(T − 3) T > 3 . Determine o custo médio de cada chamada. 94. O tempo de espera para uma pessoa ser atendida numa dada pastelaria é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 4 minutos. Qual a probabilidade de uma pessoa ser atendida em menos de três minutos, em pelo menos 4 dias de uma semana (considere uma semana com 7 dias)? 95. Considere três componentes colocadas em série de tal modo que a avaria de qualquer uma determina uma avaria no sistema. Admita que os tempos de vida (Xi, i = 1, 2, 3) das componentes são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com parâmetros β1, β2 e β3, sendo βi > 0, ∀i ∈ {1, 2, 3}. Deduza a função de distribuição cumulativa do tempo de vida dos sistema, Y = min{X1, X2, X3}. (Exame 17/9/92) 96. Determine: a) O quantil de ordem 0.99 numa distribuição χ2(4); b) q0.99 numa distribuição χ 2 (18); c) q0.9 numa distribuição t-Student com 3 graus de liberdade; d) q0.1 numa t(3); e) q0.9 numa t(23); f) q0.9 numa t(10000); 30 g) o quantil de ordem 0.95 numa distribuição F (7,15); h) q0.05 numa F (15,7). 97. Sejam X1, X2, ..., X80 80 variáveis aleatórias independentes com distribuição nor- mal reduzida. Calcule P (X21 +X 2 2 + ... +X 2 80 > 107). 98. Sejam X,X1, X2, ..., X10 11 variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de valor médio nulo e desvio padrão 2. Considere T = X√√√√ 10∑ i=1 X2i . a) Calcule P (|T | < 0.4339). b) Determine k tal que P (T > k) = 0.5. c) Calcule P (T 2 > 0.496). 99. Considere uma amostra aleatória de dimensão 25, (X1, X2, ..., X25) , em que Xi, (i = 1, 2, ..., 25) tem distribuição N (0, 0.3). a) Qual a probabilidade do estimador X tomar um valor inferior a -0.05? b) Seja Y = 25∑ i=1 X2i . Calcule: b1) P (Y > 1); b2) P (Y > 0|Y < 1). 100. Sejam Z1, Z2 e Z3 variáveis aleatórias independentes com distribuição normal reduzida. Calcule as seguintes probabilidades: a) P (Z1 < 1.5); b) P (Z1 + Z2 < 1.5); c) P (Z21 < 3.84); d) P ( Z21 + Z 2 2 Z23 < 400 ) ; e) P Z1√ Z22 + Z 2 3 > 7 ; f) P (Z21 + 2 Z1 Z2 + Z 2 2 < 10). 101. Sejam V1, V2, ..., V9 variáveis aleatórias normais reduzidas independentes. Con- sidere as variáveis aleatórias seguintes: V = 9∑ i=1 Vi, X = V 21∑9 i=2 V 2 i e Y = V1 − V2√ V 23 + V 2 4 + V 2 5 . Calcule: 31 a) P (|V | < 0.25); b) P (X > 0.014); c) P (Y < 1.9). (Exame 7/12/90) 32 Soluções de alguns Exercícios de Probabilidades 2. a) 0.5. b) 1/3. c) 2/3. 4. 5/8. 6. a) 0.3. b) 0.5. 7. a) 0.25. b) 0.85. c) 5/6. 8. a) [0, 0.5]. b) [0, 2/3] ∪ {1}. c) [0, 1]. 9. A- Acontecimento “atleta 1 percorre 100 m em menos de 10 s” B- Acontecimento “atleta 2 percorre 100 m em menos de 10 s” C- Acontecimento “atleta 3 percorre 100 m em menos de 10 s” Pede-se P (A ∪B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+ P (A ∩B ∩C) ou P (A ∪B ∪ C) = 1− P ( A ∩B ∩ C ) = 78150 = 0.52 14. a) i) P (G) = P (G ∩ A) + P (G ∩B) + P (G ∩ C) = 0.85. ii) P (C|G) = 2/9. b) P (G|A).P (G|B).P (G¯|C) + P (G|A).P (G¯|B).P (G|C)+ +P (G¯|A).P (G|B).P (G|C) + P (G|A).P (G|B).P (G|C) =0.941. 15. b) 0.64. 21. a) 0.51. b) 17/49. c) 0.65. 22. Consideremos os seguintes acontecimentos: C - ”dia chuvoso” - P (C) = 0.3 P ( PC|C ) = 0.10 S - ”dia sol” - P (S) = 0.6 P (PC|S) = 0.20 N - ”dia S/sol e S/chuva” - P (N) = 0.1 P ( PC|N ) = 0.05 PC - ”prever chuva” PC - ” prever não chuva ” 33 a) P ( PC ) = P ( PC ∩ S ) + P ( PC ∩ C ) + P ( PC ∩N ) ↓ Teorema da probabilidade total = P ( PC|S ) · P (S) + P ( PC|C ) · P (C) + P ( PC|N ) · P (N) = 0.52 b) P (S|PC) = P (PC|S)·P (S) P (PC) = 0.20×06 1−0.52 = 0.25 c) P (erro) = P ( PC ∩C ) + P (PC ∩ S) + P ( PC ∩N ) + P (PC ∩N)︸ ︷︷ ︸ = 0.25 P (N) = 0.1 23. a) P (X = 2j) = ∞∑ j=1 1 22j = 1/3. b) P (X > 5) = ∞∑ j≥6 1 2j = 1/32. c) P (X = 3j) = ∞∑ j=1 1 23j = 1/7. 24. a) a ∈]0, 1[. 31. a) Se X é v.a. contínua então terá que ter-se F (x) contínua limx→0+ F (x) = 0 e limx→pi− F (x) = 1 , isto e´, a.0 + b = 0 e api + b = 1 ⇒ b = 0 e a = 1 pi b) f(x) = 1 pi 0 < x < pi 0 x < 0 ou x > pi c) P (X < pi 2 |X ≥ pi 4 ) = P (pi4 ≤ X < pi2 ) P (X ≥ pi4 ) = 1 3 d1) E(X) = ∫ pi 0 x pi dx = pi 2 ; V ar[X] = pi 2 12 d2) [log(pi + 2)− log2] /pi 35. a) F (x) = 0 x ≤ 0 x4(5− 4x) 0 < x < 1 1 x ≥ 1. b) 2/3, 2/63 e √ 2/63 c) L(X) = { A1 −B 1/3 < X < 2/3 A2 −B restantes valores. P (A1 −B) = 101/243 P (A2 −B) = 142/243. 36. b) F (x) = 1 2 ex−α x < α 1− 1 2 eα−x x ≥ α. 34 c) 1− 1/e. e) α e 2. f) α. 45. a) O vendedor A pode fazer 0, 1 e 2 seguros com probabilidades 0.5 × 0.5, 2 × 0.5× 0.5 e 0.5 × 0.5, respectivamente. O vendedor B pode fazer 0, 1 e 2 seguros com probabilidades 0.75 × 0.75, 2× 0.75 × 0.25 e 0.25 × 0.25, respectivamente. Y 0 1 2 X 0 0.140625 0.09375 0.015625 1 0.28125 0.1875 0.03125 2 0.140625 0.09375 0.015625 b) P (X + Y ≥ 1) =0.859375. c) P (X ≥ 1|Y = 2) = 0.75. d) 1.5 e 0.5. 49. a) X ∩B(20; 0.9). b) 0.9568. c) ≃ 1. e) 110 f) 0.9568. 50. a) 0.9536. b) 60 cobaias. c) Pelo menos 6 cobaias. 54. a) 0.667. b) 750 g. c) ≃ 1. 55. a) 1969. b) Pelo menos 10 garrafas. 56. a) k = 1 b) f(x/y = 1) = { 2(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1 0 o.v. c) Sim d) p =prob. de a produção ser superior a 800 kg p = ∫ 1 0.8 2(1 − x)dx = 0.04 X → no¯ de empresas naquelas condições X ∩B(20; 0.04) P [X ≥ 5] = 1− P [X ≤ 4] 35 57. a) 30%. b) ≃ 0.977. 61. a) ≥ 6. b) 4. c) 0.105. 62. a) 0.9984. b) 1.25. 65. a) 60. b) 0.9556. 66. a) 0.1954. b) 0.1221. c) 0.41. 67. a) 0.1429. b) A capacidade de atendimento deverá ser de 4 petroleiros por dia. c) 2. d) 1 ou 2. e) 0.156 f) 1.782. g) 0.218. 68. a) P (Y = m,X = r) = ( r m ) (0.1)m(0.9)r−m. e−1010r r! se r ≥ m P (Y = m,X = r) = 0 se r < m. b) P (Y = m) = ∞∑ r=0 P (Y = m,X = r) = m−1∑ r=0 P (Y = m,X = r)+ + ∞∑ r=m P (Y = m,X = r) = ∞∑ r=m P (Y = m,X = r) = = ∞∑ r=m ( r m ) (0.1)m(0.9)r−m e−1010r r! = = e−10(0.1)m ∞∑ r=m 6 r! (r −m)!m! (0.9) r−m 10 r 6 r! = = 10me−10(0.1)m m! ∑ r=m (0.9)r−m (r −m)! 10 r−m = = (10× 0.1)me−10 m! e0.9×10 = (10 × 0.1)me−1 m! . Ou seja, Y ∩ P (10 × 0.1) = P (1) 36 c) 0.031. 73. a) 6.68%. b) 0.8664. c) 147 s. 74. a) 0.7262. b) 0.1587. c)99.6 ton. 75. 0.9598. 76. 6.24 anos. 77. X v.a. consumo de cada posto em que X ∩ N (50; 3.2). Y = 20∑ i=1 Xi v.a. consumo dos 20 postos em que Y ∩ N (1000; 3.2 √ 20). P (Y > a) < 0.20⇐⇒ P (Y < a) > 0.8⇐⇒ Φ(a− 1000 3.2 √ 20 ) > 0.8 ⇐⇒ ⇐⇒ a−100014.31 ≥ 0.85⇐⇒ a ≥ 1013. O stock mínimo deverá ser constituído por 1013 peças. 80. 24.135 contos. 82. X v.a. no¯ de garrafas c/ menos de 1 litro em que X ∩B(100; 0.40) ∼ N (40; √ 24). a) P (X = 30) ∼ P (29.5 < X < 30.5) = 0.01. b) P (X ≤ 30) ∼ P (X < 30.5) = 0.0262. c) P (X > 45) = 1− P (X ≤ 45) ∼ 1− P (X ≤ 45.5) = 0.1314. d) P (44 ≤ X ≤ 50) ∼ P (43.5 ≤ X ≤ 50.5) = 0.2227. 85. 0.008. 86. a) Diâmetro médio dos frutos: 9.4 cm; 24.8% e 45.2% de frutos C1 e C2, respectiva- mente. b) 0.58. c) Categorias P (Ci) P (Mau/Ci) C1 0.25 0.10 C2 0.45 0.08 C3 0.30 0.02. Então P (Mau)= 0.067. 88. 0.9998. 90. a) H(10000, 100, y) ∼ B(100; y 10000 ). 37 b) ≃ 0.145. c) Se não existir mais de 1 rolha defeituosa na amostra então o lote está em condições de ser exportado. 92. a) 3.5 e 42. b) 0.0039. c) 0.0023. d) A v.a. tem distribuição N (2.5r; 0.75 √r) . O seu valor esperado é 2.5r. 97. 0.025. 98. a) 0.8. b) k = 0. c) 0.05. 38
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