Apostila IME Servomecanismos - Parte 4 - Lugar das Raízes

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UD-S·
 
LUGAR DAS RAizES ] 
--~-
OBJETIVO 
Apresentar os fundamentos basicos e a forma de emprcgo do metodo do 
LUGAR DAS RAIZES em sistemas de controlc lincares,continuos e invariantes 
no tempo. 
SUMARIO (D/AZZO, CAPiTULO 7) 
5.1 Introdu<;ao 
5.2 Representa<;3.o das raizes de uma equa<;ao caracteristica 
5.3 .Analise qualitativa do lugar das raizes 
5.4 Procedimcnto resumido do metodo do lugar c1as raizes 
5.5 Fun<;ao de transfercncia a malha aberta 
5.6 Palos da rela<;ao cle controle 
5.7 Propriedades geometricas do lugar das raizes 
5.S Exercicio 
PRE-REQUISITOS 
UD-I a UD-4 
5.1 INTRODU(:AO 
Para 0 projelista de sistemas de controle c esscncial a car~lciclaclc (/c 
preyer 0 desempcnho do sistema por meio cle um metodo de a!l{~lisc que scja 
simples .. 
Edesejclvel, tambcm, que eSSJ anilisc indique como ajLlst8r OLl comoenS,ll" 
o sistema, a fim de obter as caractcrlsticas de desempcnho clescj8das. 
94
 
A primeira duvida que 0 projetista deseja sanar a respeito de um si:;tern:1 
e sobre a sua estabilidade. Enquanto 0 criterio de Routh indica sc 0 sistema e 
estave1 ou nao, 0 Metododo Lugar das Raizes revela, a1cm disso, seu grau de 
estabilidade. 
Em 1942 W. R. Evans, em sua tese de mestrado, concebeu 0 Metodo do 
Lugar das Raizcs. 
LUGAR DAS RAIZES	 grafico das raizcs da cquac;ao caractCrtstIca de um 
sistema a malha fechada, em func;ao dv ganho. 
PRINCIPIO FUNDAMENTAL: os palos cia relac;ao de controle C(;;)IR(s) 
(modos cia rcsposta transitaria) se 
relacionam com os palos e zeros cia fun<;ao 
de transfc.Jcncia a malha abena G(s).H(s) e 
com 0 ganho K 
VANTAG EM : as raizes da cq uac;ao caractcnstIca podem ser obtidas 
diretamente. Oai resulta a soluc;ao completa da rc::;posla 
transitaria e da resposta em regime permanente cia v;:ri8vel 
controlada c(t). 
5.2	 REPRESENTACAO DAS RAIZESDE UMA EQUACAO 
CARACTERISTICA 
Toma-se como exemplo 0 sistema de contro!e de posic;ao abaixo : 
R(S) E (S) 
~ 
B (S) 
C(S) 
G(S)	 = S(;+ 2) 
Sua	 fun<;ao de transfercncia a malha fcchada ( relac;:ao de conlrole ) C : 
C(s)	 CD~ I 
·K	 K (7.3)
2	 :; IR(s) 5 ( 5 + 2) + K	 + ') r (US + 2 s + K s - '> II 5 + CDI~ 
onde CD n /K ( I/iK c 0</«00 
o problema que se aprCslnta (~: delelillil1:1(:F (Jizes dJ eqll:l(;:i( 
caractcrisllca f':-!J3 lodos os v(;lll'[T:-; de .f.( e rcprcscl1i:i-1J:-' !"j() r :1110 S 
-I ± Jl - K 
95
 
-
a) K=O 
51,2 sao, tambem, 
aberta G(5)H(5). 
os palos da fun~ao de transferencia a malha 
b) K = 1 51,2 =-1 
c) 0 < K < 1 as raizes 51,2 
0> 51>-1 -2 < 52 <-I 
sc situam sobre 0 eixo real negativo do planu s. 
d) K> 1 as raizes sao complexas e conjugadas. 
SI,2=a ±jWd- -(wn +jw"JI-(2 - -I ±jJK-I 
f j", 
K 
Pianos 
Tabcla 7.1 Localizn~ao das rail.cs j2.0 
para a cqua~:io caracteristica 
s~ + 2s + K = 0 j.Q 
K s, 
?.Q jl,O 
o -0 .. jO -2.0 - jO K~9 ~ 1.9 K-Q 
-O~~ -0,293 -I- jO -1.701- jO -2 -I Qj (J 
0.75 
1,0 
-0,5 
-1.0 
-I- jO 
-I- jO 
-1,5 
-1.0 
- jO 
- iO t ?.Q -jl.O 
~,O 
J.O 
-1.0 
-1,0 
.. j 1.0 
-I- jl.414 
-1.0 
-1,0 
-jt,O 
-jl,414 j.Q 
-j2.0 
K 
I 
Flg. 7.2 Tra~ado de todas as rail.es da cqua~50 caracterfstica s' + 2s + K = 0 para 0 .;; K .;; co. Os 
valorcs de K cstiio subJinhados. 
D'Al.zo/m 
Sobre as curvas, constituidas de dois ramos, situam-se todas as possivcis 
raizes da eq uac;iio caracteristica quando K assume valorcs de 0 a <Xl 
Cada ramo cgraduado em func;ao do padimetro K (valoree; sublinhados). 
As sctas assinalam a direc;ao dos valores cresccntes de K. 
Essas curvas constitucm-sc no trac;ado do lugar das raizes cia relaC;30 de 
controle (7.3). 
Concluido 0 trac;ado, podem scr sclecionadas as ralzes que melhar 
a tcndcm as cspecificac;6es de dcsempenho do sistema. 
96
 
A partir do grafico pode ser detcrminado 0 valor de K correspondente as 
raizes selccionadas. 
Escolhidas as raizes, pode ser obtida a resposta no dominio do tempo. 
A partir do lugar das raizes de urn sistema de controle pode-se determinar 
a varia<;ao no descmpenho do sistema com rela<;ao a uma varia<;ao do padimctro 
K. 
Como ilustra<;ao, a seguir c analisado 0 lugar das raizes do exemplo da 
pagina 95, sendo apresentadas as propriedades vinculadas ao aumcnto do g;lOho 
K do sistema. 
1) Diminuiyao do rator de amortccimento ( acarrctando allmento da 
ultrapassagem maxima Me da resposta no dominio do tempo. 
Equa<;ao caracteristica: b2 S2 + hi S + ho = 0 
AMORTECIMENTO EFETIVO bI bI( - (3.34)
AMORTECIMENTO CRITICO =!7; = 2 Jb b2 o 
2 1( ­
2 jI:7{ jK 
Outra abordagem para visualizar a diminui<;ao de ( com 0 aumcnto de K: 
(J = (3 ..3.3) 
( = 
(J = econstante; W n aumenta com K. 
(n 
Plano s 
a 
Fig. 7.3 Lugar das ralZ:cs rcferenlc ao sistema dc rosi<;ao da Fig. 7.1 
Iss/D'AZZO 
97
 
. '.. ' 
", 
. ',.: 
2)	 Autnento da freqGencia natural nao amorte~idacun. 
(7.3)
 
3) Aumento da freqGencia natural amortecida CUd. 
(2.32)
 
4)	 Ncnhuma influencia sobre 0 amortecimento ae taxa de decairnento ), que 
permanece constante para todos os valores de ganho K acima de 1. 
:- bi 
a 
-
-- (3.33)
2 b2 
-2 
a	 
-
--
-12.	 1 
5)	 Urn sistema linear simples de segunda ordem, qualquer que seja 0 aumento do 
ganhoK, pcrmanecc cstavel. ' 
,', Para sc obler 0 tra9ado do Lugar das Raizes para sistemas mais 
complexos que 0 do cxemplo, podem ser empregadas as Propricdadcs 
GconH~tricas do Lugar das Raizes (item 5.7) ou Mctodos CompuUi.cionC;lis 
(MATLAB). " 
5.3 ANALISE QUALITATIVA DO LUGAR DAS RAizES 
A fun9ao de transfercncia do canal direto do sistema de scgunda ordcm 
da SC9aO prccedente tcrn a forma gcral mostracla abaixo : 
K (Fig 7.4(n))G(s) = s (s + 1 / T )
1
Acrescentando-se urn zero, G(s) passa a tcr a forma mostradn abaixo : 
(Fig 7.4(b)) 
Acresccntando-se um polo, em vez de um zero, G(s) sc torna : 
K (Fig 7.4(<:))Gp(s) = s (s + I / T1)( S + 1/ T2) 
98 
jw 
" I ~ 
IK Plano s 
I 
K" :K~OK·Q 
--(1 
_liT j 
K 
G(s); K Hen; I lal 
s( .• + IITtl I 
0: 
jw 
A parte do lugar das raizes fora do
 
eixo real e um circulo ccnlrado
 
no zero z ; - lIT, e com raio
 Plano s 
KcQKu (1 
G(s); K(s + liT:! H(s) = I lbl j", 
s( .• t IITtl 
I 
.?: K, 
K Pianos 
K-Q K~Q 
~-K 
-lITJ -IITj 
K,K 
G(s); s(s + IIT,)(s + lIT.>! IJ (..) = 1 
Fig 7.4 ( D'AZZO ) Lugar d:l.S Raizcs de C(s){R(s) 
CONCLUSOES 
1) A introduy3.o dc urn zero a esquerda dos polos tcm por efeito deslocar 0 lugar 
das raizes para a esquerda, tendendo a tornar 0 sistema mais estavci c com 
menor tempo de acomoda~3.o (s. 
Os ramos verticais do lugar das ralzes dc C(s)jR(s) foram afastados do cixo 
imaginario. 
Para K> Krx as raizes se situam mais a esquerda do plano s que no sistema 
original, pro\'ocando decaimcnto mais rapido do transitorio c mdtOr 
cstabilidadc do sistema. 
2) A introdu y3.o de urn polo it esqucrda tern por efeito dcslocar 0 lugar das rJiles 
para a direita, tendcndo a tamar 0 sistema menos csulvcl c com maior tCIll po 
de acomodac;:3.o (s. 
Os ramos vcrticais do lugar das r2llCS de C(s)jR(s) forJnl desiocados para a 
dircitll. 
Para K > K y duas das tres ralles [ocalizam-sc no semiplano s da direita, 
garantindo a lnstabilidadc do sistenl.1. 
99
 
Para K > K pas raizes cst~o.mais praximasdoeixo.imaginario que' no sistema 
original, provocandodecaimento mais lento do·· transitario .; e menor 
est~bilidade do sistema. . ; .,1 
5.4 PROCEDIMENTO RESUMIDO 
Eapresentadoa seguir 0 procedimento geral para a aplica<;no do metodo 
do Lugar dasRaizes. 
1)	 Determinar a fun<;ao de t~ansferencia a malha aberta G(s)H(s) do sistema. 
2) Fatorar 0 numerador eo denominador el(; G(s)H(s) em termos da forma
 
s + a, ondc a pode ser real ou complexo.3)	 Assinalar os palos e zeros de G(s)H(s) no plano s = (J + j w. 
4) Os palos e zeros de G(s)H(s) determinam as raizes da equa<;ao caracteristica 
[I + G(s)H(s) = 0 ] da fun<;ao de transfercncia a malha fechada. 
Emprcgandopropriedades geom6tricas ou .programa de compiltador, 
.determinar 0 lugar descrito pelas raizesda cqu~l<;ao caracteristica.' 
5)	 (]raduar 0 lugar das raizes em fun<;ao dos valores do ga·nho K. 
a)	 Se 0 ganho for preestabclecido, sabe-se imediatamentc a localiza<;ao das 
raizes .. 
b) Se a localiza<;ao das raizes de 1 + G(s)H(s) = °for estabelecida, pode-se 
obtcr oganho K. 
6)	 Determinadas as raizes de 1 + G(s)H(s) = 0, pode-se calclllar a rcsposta do 
sistema tomando-se a transformada inversa de Laplace. 
7) Sc a resposta nao atender as especifica<;oes de desempenho desejadas, 
determinar a forma que 0 lugar das raizes deveria nprcscntar para ntendc-Ias. 
8)	 Sintetizar a estrUtllra a ser acrescentada no sistema a tim de produzir a 
moditica<;ao pretcndida do lugar das rnizes original. Compensa<;uo do Lugar 
das Raizes. " . 
100
 
5.5 FUNCAO DE TRANSFERENCIA A MALHA ABERTA
 
A funC;30 de transfercncia a malha aberta tern a forma: 
K (s + a\ ) ... (s + ah) ... (s + a )
G(s)H(s) = -m----------­w (7.12)
S (s + b I ) ... (s + be) ... (s + bu ) 
- podem ser reais ou complexos; 
- podem cstar localizados no scmiplano s da esquerda cjou no 
semiplano s da direita. 
K pode ser positivo, ou negativo. Nesta cadeira, contudo, so sera usado j( > O. 
SENSIBILIDADE DE MALHA ou FATOR DE GANHO C 0 valor de 
K quando a func;ao de transfercncia a malha aberta tern a forma acima : 
fatorada com todos os cocficicntcs de s iguais a urn. 
NOTA<;AO:
 
Zi -) zeros ai de G(s)H(s)
 
Pi -) palos bi de G(s)H(s)
 
Pode-se agora rcescrever ( 7. 12) : 
w 
K n (s - zh)K(S-ZI)"'(S-zw) 11=1G(s)H(s) = U (7.14) 
Sill (s - PI ) ... (s - P )u Sill n (s - Pc) 
e=1 
7! - produtorio.
 
m - multiplicidade dos palos de G(s)H(s) em s = O.
 
w - grau do numerador = quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
 
II - quantidade de palos de G(s)H(s), fora da origem.
 
11 - grau do denominador 11 = m + ll.
 
101 
5.6 POLOS DA RELACAO DE CONTROLE
 
Scjam c 
Entao a func;:ao de transfercncia a malha aberta desse sistema sera: 
(7.17)
 
( Foi cmpregada a notac;:ao Xi == Xb) )
 
A Rclac;:ao de Controlc dcsse sistema scr:5. :
 
C(s) A(s) G(s) (7.1 S)= R(s) B(s) I + G(s)H(s) 
C(s) P(s) (7.20)
R(s) Q(s) 
o polinomio caracterlstico, por sua vez, sera: 
D j D2 + KcKHN, N2B(s) (7.19)D1 D2 
Os zeros do polinomio caractenstlco B(s) sao os palos da relcl<;ao de 
controlc C(s)/R(s). Eles dcterminam a forma da resposta transiU)ria do sistema, 
produzindo componentes transitarios de c(t) que pcrtencem ~ls categorias 
apresentadas na tabela 7.2. 
o numerador P(s) de (7.20) apenas modifica a constante que multiplica 
os componcntes dJ tabela 7.2. 
Doravantc, KH = 1 . Logo, K = Kc => ganhos iguais para: canal 
dircto G(s) , malha aberta G(s)H(s) , rnalha fechacla C(s) / R(s) e rolinomio 
caracteristico B(s). 
102 
Tabcla 7.2 - Resposta c(t) no dominio do tempo. 
I 
FATOR 1\'0 DE~Oi\IE\'ADOR 
C(s) 
DE R(s) 
s 
TRANSfORMADA ll'NERSA 
DE LAPLACE 
/(-I(t) 
fORMA 
DO SI~AL 
DEGRAU 
_o-
I 
I 
s+ I T 
1
e-T f EXPO;\,Ei\"CIAL 
DECRESCEi\"TE I 
52 + :2 ( OJ" 5 + (wS C( -; w"f) sent OJ" J (I _ (2) t+ 0) SEi\OIDE 
AMORTECID;\ 
(OIule « I) J 
o principio fund3mental do metodo do lugar das raizes repousa no fato 
de q lie os palos da rclaliao de controlc C(s) I R(s) se relacionam com os palos c 
zeros da fllnc;ao de transfercncia a malha aberta G(s)H(s) e com a sensibiliclade 
de malha K. 
C(s) K Nt D2 (7.20)R(s) = D1 D2 + [( N1 N2 
KJV1 N2 (7.17)G(s)H(s) = --­
D[ D2 
Os palos de C(s) / R(s) siio valores de 5 q l1e sa tisfazem ~1 
D l D2 + K N1 N2 = O. 
a) ParJ [( ~ 0 => D , D 2 = 0 [ palos de G(s)H(s) ]. 
b) ParJ K ~ 00 => K N 1 N2 = 0 [ zeros de G(s)H(s) ]. 
CONCLUSAO 
PJra K variando de zero a 00,0 !ugar das raizes de C(s) / R(s) lrllCla 
sell caminho nos palos de C(s)H(s) e tCfminCl-o nos zeros de C(s)H(s). 
103 
As raizes da cqua9ao caracteristica B(s) =° podem ser determinadas a 
partir dc(7.22) : 
°B(s) = I + G(s)H(s) = (7.21) 
Dc (7.14) : 
K (s - 21 ) ( S - 2w ) (7.22)G(s)H(s) - - -1 
sm ( S - PI) ... (s - P )u 
Dcssa forma, enquanto K assume valores de zero a 00, a funr;ao de 
transferencia a malha aberta G(s)H(s) deve manter-se sempre igual a -1. 
Os valores de s que satisfazcm a ( 7.22 ) para todos as valores de K sao 
as palos de C(s) I R(s) [vcr (7.18) ]. 
A§ curvas descritas par csses valores Je s sao denominadas LUGAR 
DAS RA£ZES de C(s) I R(s) . 
A seguir sao determinadas as condiyoes de obtcnyaodo lugar das raizes 
para valores positivos da sensibilidade de malha K. 
A forma geral de G(s)H(s) , al6m de ( 7.12 ) e ( 7.14 ), pode tambcm scr: 
G(s)H(s) = Fe - j f3 = I G(s)H(s) I e- j (J 
A partir da identidade de Euler, ejO = cos e + j sen 0, 0 segundo 
membra de (7.22), -I, pode ser expresso da seguinte forma: 
-1 = i (I + 2 h ) 1f ; h = 0, ± I, ± 2, ... 
A equa9ao (7.22) csatisfeita unicamentc para valores de s para as quais 
se tern : 
e j (1 + 2 Jz ) 1fI G(s)H(s) I e-)P -I 
onde I G(s)H(s) I ­
-fJ - (1 - 2/i)rr (7.23) 
CONCLUSOES 
Para que um certo valor de s seja uma raiz da equa<;:.ao catacteristica 
B(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 ( ou urn polo da rcla<;:ao de controlc C(s) I R(s) ) c 
necessario que: 
I) 0 modulo de G(s)H(s), fun<;:ao da variavel complexa s, seja sempre igual a 1. 
2) 0 angulo de fase de G(s)H(s) seja sempre urn multiplo impar de rr (180°). 
104
 
As conclusoes anteriores podem ser formalmente cxpressas e trad uzidas 
par duas condiyoes : 
I) CONDIC;AO DE MODULO 
(7.24)II G(s)H(s) I = I I 
2) CONDICAO ANGULAR 
Arg[ G(s)H(s)] = (1 + 2 h ) 1800 h = 0, ± I, ± 2, '" (7.25) 
Essas sao as duas condi<;oes cujo atendlmento define a lugar d2S raizes 
para todos as valores de K, de zero a infinj~o,em sistemas de controle com 
rcalimenta<;ao negativa. 
APLICAC;Ao DAS CONDIC;OES ANGULAR E DE MODULO 
Considere-se urn sistema de controle com fun<;ao de transfercnci;":l 3. malha 
abcrta da forma: 
(7.28)G(s)H(s) 
A figura 7.6 aprcscnta os polos e zeros desse G(s)H(s) locados no plano 
s. 
Um polo ou zero de multiplicidade 171 = 2, 3,4, ... c assim indicado no 
diagrama : 
jW 
polo: X J,n zero: OJ In s 
s- Pi s 
~ 
--------=---f-----f-;.-}----l--------7<;--'----------OiE-----~> 
~ 
P-==U-J'W X Fig 7.G Diagram:! de p(')/os c Zeros de ( 7.'28 ). 3 d 
iOS 
Para urn dado valor de 5 os termos de 5,5 - Pi e 5 - Zi sao representados 
por segmentos de reta orientados. Como exemplo, para 5 =- 4 + j 4 e 
PI = -1, tem-se : 
5 - PI = - 3 + j 4 
2 2I s - PI I = J 3 + 4 = 5 
lcPt = Arg(s - PI) = tg- ( 4 ) = 126,87°3 
A partir da locac;ao dos palos e zeros de G(s)H(s) pode-se obter 0 trs.c;ado 
do lugar das raizes de C(s) / R(s) testando, para varios pontos do plano s, se cada 
urn deles pertence ou nao a esse lugar. 
Isso c feito verificando se caela ponto nendc ou nao, simultaneamentc, 
as condic;6es angular e de modulo. 
FORMA GERAL DE G(s)H(s) 
K (s - 2 1 ) (S - 2 J G(s)H(s) u (7.14 ) 
Slrl ( s - PI) (S - Pu ) 
CONDIc;AO DE MODULO I G(s)H(s) I = (7.29) 
I K I I s - zi I I s - IZw (7.31 )
I snl I I s - PI I ... I s - Pu I 
SENSIBILIDADE DE MALHA 
I Sill I , s - PI I I s - Pu I (7.33)I K I ­ I s - 2 1 I I s - 2 ev I 
CONDI(:AO ANGULAR 
A rg[ C(s)H(s) ] = - 0 = ( I + 2 h ) 180 0 /z = 0, + 1, ± 2, ... (7.30) 
. ", _~o.dos os anguJos sao considcrados positivos quando mcdidos no 5cntido 
...- .0. 0 
... 
(7.32) 
- {J = I ( fases dos termos do nurrierador ) - I ( fases 
deno
dos 
minad
tcrmos 
)or 
do(":'.34) 
{J = I: ( fases dos termos do dcnominador ) - I: ( fases dos termos do 
- {J = Arg(s - ZI) + ... + Arg(s - Zw) -m Arg(s) - .Arg(s - PI) - - Arg~.s - {Ju) 
numerador) 
Como /z pode ser posltivo ou negativo, entao : 
( 1 + 2 h) 1800 Arg(DENOMINADOR) Arg(NUMERADOR) -j (7.35) 
( I + 2 h ) 1800 = L ¢j L t/J, 
Excmpld 5.1 : 
K ( 1 + 0,25 5 ) oG(5)H(s) = (7.36)( I + 5) ( I + 0,5 5) ( I + 0,2 5 ) 
Descja-se determinar 0 lugar de todos os palos posslyeis de C(5) / R(s) 
para 0 sistema de eontrolc com a furH;ao de transfercneia a malha aberta ae;ma. 
1) Exprcssar G(5)H(s) de aeordo com sua forma geral (7.14). 
Ko·0,25 (s + 4 ) G(s)H(s) 
0,5.0,2 (s+ 1 )(S+2)(5+5) 
K(s+4)
G(s)H(s) (7.37)(s+ l )(5+2)(s+5) 
onde K = 2,5Ko 
2) Assinalar os palos e zeros de G(s)H(s) no plano eomplcxo. 
jW 
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__---:)<~:----'-i-:;~c;(~._--c'-----X-~l-----,-,'i;--'----f---t>- cr 
- 5 - .- 2 
- Li 
fig 7.7 CO(lstn/(;:lo do Liag!;uiI;\ de Palos e Zeros de G(s)!l(s). 
!07 
3) Assinalar urn ponto de teste no plano s : 
o ponto de teste e ligado a todos os polos c zeros de malha aberta por meio 
de segmentos orientados. 
<Pi - fases dos termos do denominador (polos).
t/!i - fases dos termos do numerador (zeros).
 
Ii - comprimento dos scgmentos oricntados originados de fatorcs do
 
denominador (polos).
 
(Ii) - idem, do numerador (zeros).
 
4)	 Testar se 0 ponto anterior pcrtcnce ao lugar das raizes. 
Para tal cmprega-se a condiyao angular: 
(7 .3~) 
Sc 0 ponto satisfaz a condic;3.o angular, entao pcrtcnce ao Jugar das raizes. 
5)	 Repetir 3) c 4). 
Faze-Io ate obter uma quantidadc de pontos pcrtencentcs ao lugu das ralzes 
qua possibilite traya-Io. 
6)	 Graduar 0 lugar das raizes em funyao da scnsibilidadc de malba K. 
(7.39)IKI 
Seja 51 urn ponto que satisfaz a condiyao angular. Entao: 
11 = 151 + 11 12 = 151 + 21 
13 = 151 + S I (II) = 15\ + 4 1 
""1 
jw 
1 
,K 
I 
Plano J 
}: 
(a) I j 
"'. 
108 
OBSERVA<;OES 
a)	 E importante ressaltar que 0 lugar das raizes foi graduado em func;ao de K e 
nao de Ko. K = 2,S.Ko . Comparar express6es (7.36) e (7.37). 
b) A simetria do JugaI' das raizes em reJac;ao ao eixo real facilita tanto sua 
construc;ao quanto sua graduac;ao em func;ao da sensibilidade de malha K. 
c)	 Os procedimentos 3, 4 C 5 sao extremamente trabaJhosos. A proxima sec;ao 
apresenta as propriedades geometricas do JugaI' das raizes, que facilitam muito 
seu trac;ado. 
5.7 PROPRIEDADES GEOMETRICAS DO LUGAR DAS RAIZES 
A aplicac;ao do metoda do lugar das raizes e muito facilitada pclo 
emprego de suas propriedades como regras de constrw;ao do lugar. 
Tais propriedades sao baseadas na interpretac;ao da conctic;ao angular e 
na analise da cCJ uac;ao caracteristica para K> O. 
I)	 NUMERO DE RAMOS 
"0 ntlmero de ramos clo lugar de Evans c igual ao nUnlero de palos da 
func;ao de transferencia a malha abena G(s)H(s)." 
o numero de palos de G(s)H(s) deterlnina 0 grau do polinomio caracteristico
 
I + G(s)H(s). (7.14), (7.17) e (7.19).
 
A eCJuac;ao caracteristica B(s) = 0 e de grau n = m + u.
 
m - Quantidade de palos de G(s)H(s) na origem.
 
u - Quan ticlade de palos de G(s)H(s) fora da origem.
 
Hel, portanto, 11 raizes. Cad<l r[liz e uma func;ao continua cia scnsibilicladc <.Jc
 
malha K.
 
Como K vari<l continuamente de zero a infinito, cada raiz clesclcve lIIlla CUIV:l 
continua. 
Ha, entao, n curvas ou ramos no lugar das raizes complcto. 
109
 
2) TRECHa SaBRE a Elxa REAL 
liSe 0 numero totaL...cle-P61os e zeros reais adircita do ponto de teste 5 
~obrc 0 eixo real e impar, esse ponto pertenee ao lugaL" ~ ­
jW 
PLANO 5 
~ef-++---x:X:--~X~-8f--t----------7<XI:------:-----:K-----1~ (J 
Z2 P3 ~ Zt 52 11 
Fig7.9 Dctcrlllina~ao do lugar soore 0 cixo real. 
Para 0 ponto de teste 51 da figura 7.9 0 atendimento da eondi<;ao angular 
impliea em scr vercladeiro : 
a) A eontribui<;ao angular de todos os palos e zeros sobre 0 eixo real a csquerJa 
de 51 Cnula. 
b) A eontribui<;ao angular de eada par de palos ou zeros eomplexos eonjugados c 
de 360°, 
c) A contribui<;ao de cad a polo ou zero sobre 0 eixo real il clireita de SI Cde 180°. 
cPo = 180o 
Entr<lndo em (7.41) : 1800 + 360 0 = (I + 2/Z)180°.
 
Portanto, SI pertcnce ao lugar c18S raizes
 
Para 0 ponto de teste 52 tem-se alteray-ao arenas em <P'
 
q;I = 1800 
Entranclo em (7.41): [80 0 x 2 + 3600 ¥ (I + 7...iz) 180°. 
Portanto, 52 nao pertence ao lugar das [;llzes. 
110 
3)	 PONTOS TERMINAlS 
"Os pontos de partida ( I( = 0) sao as palos de malha aberta, os pontos 
terminais ( I( = 00 ) sao as zeros de malha aberta, e as pontos nc) infinito s50 
considerados zeros equivalcntes de rnultipliciclade n - W n. 
o valor da sensibilidade de rnalha I( que satisfaz a condir;.1o de 
modulo cdada par (7.33) e tern a forma geral (7.43) : 
15m I.15 - PI I ... Is - Pu III(I =-------	 (7.33)
Is - zl I ... Is - Zw I 
In	 - quantidade de palos de G(s)H(s) na origem. 
II - quantidacle de palos de G(s)H(s) fora do. origem. 
w	 - quantidade de zeros finitos de G(s)H(s). 
n - quantidade total de palos de G(s)H(s). (n = m + ll) 
Il 
n Is-Pcl 
I( = _c_=_I _ (7.43)
w 
n 15 - Zh I 
h=1 
Obs : para 0 ~ K ~ 00 -4 IK I = K 
Il 
n 15 - pcl 
c=1K=----­	(7.43 ) 
n
w 
15 - zhl 
h = 1 
a)	 Quando 5 = pc -+ K = O. 
b)	 Quando 5 = Zh -4 K = 00. 
Comparar a) e b) com a p:igina 103. 
c)	 Quando n > w, 5 = 00 -4 K = 00, equivalendo a "zero no infinito". 
K ( 5 - zl) ... (s - Zeo )
C(s)H(s) = (7.! ..nIII	 . 
s	 (5 - PI) ... (5 - flu) 
Examinando (7.14) observa-se que C(s)H(s) possui w zeros Ci,;ilOS C Il - C!) 
zeros no infinito (n = m + u). 
III 
4) ASSINTOTAS QUANDO s TENDE PARA INFINITO 
"Existem n - w assintotas do lugar das raizes, e seus angulos sao dados 
por (7.49).11 
( 1 + 21z ) 1800 
Y= (7.49)n-w 
IZ - quantidade total de polosde G(5)H(s). 
w - quantidade de zeros finitos de G(s)H(s). 
Scja: 
OJ 
K n (s - z/z) 
G(s)H(s) = __~:_=_l _ (7.14) 
n (s-Pc) 
c=1 
Tomando-se 0 limite de G(s)H(s) quando s ~ 00 : 
lim G(s)H(s) = II~OJ (7 .4~) 
S ->00 S 
Oa eq uac;ao caracteristica B(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 tem-se G(s)H(s) = -1. 
II -OJ 
S 
K 
= -1 - K n-OJ =s (7.44) 
I - K I = Isn -w ICondic;ao de modulo: 
Condic;ao angular: Arg( -1..1 = Arg(s"-w) 
Dc (7.47) : (Il - w) Arg(s) = ( 1+ 21z )180 0 
- (I + 2h)180° 
(7.45) 
(7.47) 
Entao, y = Arg(s) quando s ~ co. 
Seja y 0 angulo da assintota com 0 eixo real. 
Y= 
(1 + 2h) 1800 
n-w (7.49) 
jW 
PLANO
 
S
 
Fig 7.10 - Condi~iio assintotica par:! grandcs ya(orcs de s. 
a) n - w = I b) n - w = 2 
jWj\..J 
c) IZ - w = 3 d) IZ - W = 4 
jW jw 
t 
1=60° y=- 45°1 _~'-----__H-~----L..L.L...L-l ---t-_~(f 
113 
5) PONTO DE INTERSEC;AO DAS ASSINTOTAS SOBRE 0 EIXO REf.~L
 
"0 ponto de interse~ao das assintotas sabre a eixo real C uo, dado par 
(7.50)". 
n-w 
(7.50) 
Esse resultado pode ser obtido a partir da teol'ia das equac;6es. 
6) PONTOS DE PARTIDA E DE CHEGADA SOBRE 0 EIXO REAL 
"Uma vez que K comep com valor zero nos polos e aUnlenta de -:alar 
a medida que a lugar se afasta deles, ha um ponto em algum local entre as 
polos onde as valores de K dos dais ramos alcanc;a simultaneamente 0 seu 
maximo. Esse Ca chamado ponto de partida." 
"Uma vcz que K termina com valor inftnito nos zeros finitos au nao, e 
Qiminui de valor a medida que 0 lugar se afasta dclcs, ha um ponto em algum 
local entre as zeros onde as valores de K dos dois ramos alcanya 
simultaneamente a sell valor minimo. Esse C0 chamado ponto de chegacla." 
I 
I 
I 
I 
IPonlo de 
I inflcxao I I 
I \ I I " 
K. - -.. .M<ix. I 
I I I ---K10-­Min. __ ; _ ! 1\ = a I : K ~ _I I : ' 
I ~ K .'-... 1 . '- I 1 I _'~_-_K -+'-I/_S_2-..{,~ =_~_~~. ; "'. I / K - 0 
o 
l? Pz" PI~ PoII '51 
K = 0(0) 
j 
K 
~I 
tK! 
f 11\1I I 
I 
!;\",i \.'K 
I I 
I Min. - - _. 
J!f;' ~ ! 
._-- ... 0.. '/j 
s, 
Fig. 7.11 Tra<;Juo de I: ;'usus a C OS Ircchos do lugar eJas raizes correspondcnlcs para (a) Fig. 7.)a ~ 
(b) fig. 7.51,. 
114 
o tra<;ado de K versus u, referente ao trecho do lugar das raizes 
compreendido entre urn polo e urn zero, recai em uma das seguintes catcgorias: 
a) 0 tra<;ado indica c1aramente urn pica e uma depressao, conforme ilustrado 
na parte direita da fig 7.11 (b), trecho entre PI e Z!. 0 pica representa um 
valor de K maximo que satisfaz it condi<;ao de ponto de partida. A 
depressao representa urn valor de K minimo que satisfaz ~1 condiyao de 
ponto de chegada. 
b)	 0 tra<;ado contcm urn POQ.t9 deioflexQo._Os pontos de partida e de c~:egada 
sao coincidentes, conforme mostrado na parte central da fig 7.11(a), trccho 
en tre Zj e P2. 
c)	 0 tra<;ado nao indica combina<;ao pico-depressao e mostra c1at'amente a 
impossibilidade de existencia de pontos de inflexao. Ncsse caso nao ha 
pontos de partida ou de chcgada. 
Equa<;ao caracteristica: B(5) = 1 + G(5)H(5) = 0 G(5)H(5) = -1 
Entrando com (7.14) : 
OJ 
K n (5 - ZIi) 
Ii = 1 
II -1 
n (5 - Pc) 
c=1 
n 
II 
(5 - pJ 
c=\K 
Deriva-se a expressao acima em rclayao a s e igua la-se 0 resultadu a 
zero. As raizes assim obtidas corespondem aos valores m[lximos au min~mos 
da sensibilidade de malha K, ou respectivamcntc aos pontos de rartida ou de 
chegada do lugar de Evans. 
115 
jw . 
jw 
PIanos 
(f 
(0) 
K-~ K=Q 
(h I 
fig. 7.5 Diversas conr;gura~6es de lugar das ralzes: 
(a)	 1(s + IIT,)(., + lIT.) 
G(s)lI(s) = .,(s + IIT,)(s 7 liT,) 
K(s + IIT,)(s + tIL)G(., )Hen = (s + iT~if5+ -'/"=To-,)::':"(s-+--;'-;"OIT:;;-,-J 
(c)	 K (s + lIT,) 
EXEMPLO 5.2 
KScja : G(s)H(s) = ----- -I 
... s(s+1)(s+2) 
K = -S(5 + 1)(5 + 2) 
K = -S3 - 3s 2 - 25 
dK 
-- = -352 - 65-2 
d5 
lUi 
6 ± J36 - 24 
.: 51 = -0,423
-6 52 = -1,577 
jW 
t 
-2 -i ! 
-0,423 
A raiz 52 edescartada pela propriedadc 2, uma vez que 0 trecho entre 
os palos -1 e -2 nao pertence ao lugar das raizes 
51 C, portanto, 0 ponto de partida, 0 maximo valor de K entre os p<')los 
oe -1. 
7) ANGULO DE CHEGADA OU DE PARTIDA DE RAIES COMPLEXAS 
"0 angulo de partida <P de urn polo complcxo c igual a 180° mais a 
soma das contribuir;6es angulares dos zeros finitos menos a soma das 
contribui~6es angulares dos demais palos." 
0
<Pi - L \11 - L(DEMArs <p) + (I + 2h) 180
"0 angulo de chcgada if; de urn zero complexo c igual a soma das 
contribui~6es angulares dos palos menos a soma das contribui<;:6es angulares 
dos demais zeros, menos 180°." 
\IIi L <p - L(DEMArS if;) - ( 1 + 217) 1800 
Obs : os palos c zeros citados sao de malha aberta. 
117 
( b ) 
Fig 7.12 Condis;ao angubr 1l:lS proximidadcs de UlIl polo cOl1lplcxo. 
A figura 7.12 apresenta, na parte (a), uma certa configurac;:ao de' pO!JS 
c zeros de malha aberta. Deseja-se determinar 0 angulo de partida <P2 do lugar 
(a) 
das ralzes no polo P2. Uma regiao em. torno de P2 ccscolhida e ampliada na 
parte (b). Essa rcgiao Csuficientemente pequena de modo a ter [2 muito menor 
que [0, ft, [3 e (01' 
Nessas condic;;6es, a contribuic;;ao angular de todos os polos e zeros, 
exccto P2, C aproximadamcnte constante para todos os pontos no interior da 
regiao. 
A aplicac;:ao da condic;:ao angular conduz a : 
(7.56)
 
o angulo de partida e, entao : 
Esse resultado confirma a expressao da pagina anterior. 
Para se determinar 0 5ngulo de ehegada t/Ji do lugar das ralzes em um 
zero, 0 raciocinio c analogo ao desenvolvido aeima. 
8) PONTO DE INTERSEC;AO COM 0 EIXO IMAGINARIO 
"Quando 0 lugar dJS raizes atravessa 0 cixo imaginario em clircc;:30 ao 
semiplano 5 da direita, 0 ponto de intersec;:ao eom 0 eixo imaginario pode ser 
obtido Jtra\'cs do algoritmo de Routh." 
i 
\ I 
I 
Rever item 4.2, paginas 69 a 76. 
liS 
---
9)	 NAO INTERSECAO OU INTERSECAO DE' RAMOS DO LUGAR DAS 
RAIZES 
Seja : 
n 
n (s - pJ 
c=! (Vcr pagina l15) W(s) - - K = 
As propriedades a seguir podem ser deduzidas a partir da teoria ctas 
variaveis complexas. 
a)	 "L!m valor de 5 que satisfaya a condiy?to angular pertence ao lugar das 
ralzes. 
Se, ncsseponto, dW(s) / ds::f. 0, entao ha urn unico ramo do lugar que passa 
ali. 
Nao ha, portanto, interseyocs de ramos do lugar nesse ponto." 
b) "Se as primeiras y - 1 derivadas de W(s), com rclayao a 5, se anulam para 
um dado ponto do lugar das raizes, havcn!. y 
saindo desse ponto. 
ramos chegando e y ramos 
o angulo /y entre as direyoes de dais 
ponto c dado por (7.62). 
ramos adjacentes que cbcgam <10 
o angulo By entre a direyao de dois ramos adjacentcs, urn cheg<1ndo e O!Jlro 
saindo do ponto, cdado por (7.63)." 
360 0 Paino., 
+	 
(7.62))'y	 = ± 
A
.Oy Y 
(J 
y 
'" I 
180 0 (7.()J)By ±G(.I)H(5) = K , . yFig. 7.14 Lugar das ralzes rclativo a (5 + 2)(5 + 4)(5' + 65 + 10) 
206 
119 
10) INVARIANCIA DA SOMA DAS RAIZES DO SISTEMA
 
"Enquanto 0 ganho de K varia de zero a infinito, a soma das raizes 
permanece constante." 
Em outras palavras, a soma das raizes se conserva e e independcnte 
de K. 
Quando um sistema aprescnta vanos· ramos do lugar das raizes 
tendendo para infinito, as direyoes dos ramos sao tais que a soma das raizcs 
nao se altera. Urn ramo que se dirige para a direita exige, assim, um outro que 
se dirige para a esquerda. 
Sejam ti, j = 1,2, ... n, as ralZCS do ~.istema para urn valor qualq uer 
da sensibilidade de malha K. 
Pj, j = 1,2, ' .. n, palos da funyao de transfercncia a malha aberta 
G(s)H(s), sao valores partieulares de Ij para K = O. 
Tem-se entao que: 
(7.68)
 
11) DETERMINAC;AO DE RAIZES NO LUGAR DE EVANS 
Pronto 0 trayado do lugar das raizes, empregam-se espeeifieayoes de 
desempcnho do sistema para determinar a loealizac;ao das raizes domin:mtcs 
que as atcndem. 
A sensibilidadc de malha K, ncecssanCl para a obtcn<;5.o das rnizes 
dominantes, pode ser entao cletcrminada a panir cla eondiyao de n1l:idu[o 
(7.33). 
As raizcs rcsUmtcs nos outros ramos do lugar poclcm ser dcterminacl~ls 
de tres manciras : 
a) Por tcntativas 
Sobre cada urn dos ramos procura-se eneontrar, por tcntativJs, 0 ponto que 
satisfaz J scnsibilidade cle malha rClaLlVJ its raizcs c10minantes clllprcg':lLldo 
nova men te a eonclic;ao de mod ulo. 
b) DivisJO da cqUGlyJO caracterrstica 
Se todas as raizes sao eonhecidJS, exec to uma reeli ou um par de (aizes 
complcx3.s conjugacJas, di\ide-se a cquayao c(1ractcrlstica pelos t'atores que 
representam as raizes conhccidas. 0 quocicnte fornece as raizes lestantes. 
l20 
c) Regra de Grant 
Faz uso da 10!! propriedade geometrica do 1ugar das raizes : invari:lncia da 
soma das raizes do sistema. A condiC;ao necessaria c que 0 den0minador 
de G(s)H(s) seja de grau superior ao do numerador em pelo menos duas 
unidades. 
n-2?:.w 
n - numero de palos de G(s)H(s). 
w- numero de zeros finitos de G(s)H(s). 
Se todas as raizes sao conhecidas, cxccto uma real, a cxprcssao (7.68) 
permite sua obtenc;ao. 
(7.68)
 
Sc todas as raizes sao eonhccidas, exccto urn par eomplcxo conjugado 
r = (j ± j w, a exprcsao (7.68) foroeec a parte real (j. A parte ec,mplexa 
j w pode entao ser obtida do grafico do lugar das raizes a partir dc' fJ. 
MARGENS DE GANHO E DE FASE 
( Distefano, paginas 90, 233 e 32 I ) 
MARGEM DE GANHO (MG), uma medicla de estabilidade relativa, e0 Cator 
pelo qual 0 valor de projeto ( Kpr ) da sensibilidade de malha K C l11ultiplicado 
para se obter 0 valor limite de K(K lim ), em que 0 lugar das raizes cruza 0 eixo 
imaginario do plano 5, da esqucrda para a direita. 
(13.16)
 
MARGEM DE FASE (MF), tambcm uma medida de estabilidade rclativa, C 
definida como 1800 mais 0 angulo de fase da func;ao de transfcrcncia a malha 
aberta no ganho unitario. 
Obtcm-se 0 ponto j WI sobre 0 eixo imaginario para (1 qual
IG.(jwl)H(jWI) I = I para 0 valor de projeto KpR da scnsibilidadc de mall,) K. 
(13.17)
 
121
 
EXEMPLO 5.3
 
a) Determinar a margen de ganho :
 
64KPR = 8 MG = lvfG 8 8 
Klim = 64 
.1 pillI" \~~.' c_ 
K=8 ">.. 
a 
Fig. B-24 
8b) Dcterminar a margem de rase: C(s)H(s) = (s + 2)3 
Fig. 13-25 
-
8 ,
-[ WI = a(jWI + 2)3I 
,-\IfF = [80 0 
EXEMPLO 5.4
 
c 
-I; - ,I 
,
 
Fig. 13-26 Fig. 13-2i 
Detcrminar a margem de fase : 
IG(jw,)H(;w ,) I 
Ijwl(;w, + 4)21 
= 
= 
II. . 24 
I jC.')IUWI + 
Ij(;)I( - WI 2 
\' = !4/ 
+ 8jw, + [6)1 24 
- jcu 13 
122 
Com 0 auxilio de computador, calculadora programavel, metoda de Briot-Ruffini 
ou por tentativas obtem-se': WI =1,35 . 
Arg[GUI ,35)HUl ,35)] = Arg[ _ _ _ 24_ )2 ] = 
;1 ,3)(jl ,3) + 4 
. 1 35 
= Arg(24) - Arg(jl ,35) - 2 Arg(j1 ,35 + 4) = 0° - 90° - 2 arctg -'_ 
4 
Arg[GUI ,35)HUl ,35)J = -90° - 2 x 18,65° = ~ 127,3° 
MF = 180° + Arg[G(jI,35)HU1,35)] = 180° - 127,3° MF = 52,7° 
EXEMPLOS DE GRAFICOS DE LUGARES DAS RAIZES 
Tnbela 8.1 Cole~a(\ de grMicos de !ugarcs d~s raizes simples 
LocalizayOes do I Localizar;6es do 
p61o-zero Oe malha- I G(s)H(s) p61o-zero de malha­G(s)H(s) aberta e lugares I aberta e lugares 
oas ralzes I das raizos 
jw t I ~bK is-s 1~ s2 I 
Ii 
jw t 
I 
jw 
jw, 
.L­ I K,( , I Us~P -P I 
U s2 ... w,2 
- jWII 
I jw J. I 
I 
1jw+ .I I I 
----ifK(s~? ) I I K-­ ~ (S-fu}< ... wj2 -0 0S"-P I f -jw,Iz > p) I I 
I~ II *~K(s "zl I K I s+p I -p -z I U II (s +P,)( S ~ P2 ) -PI -P2 1 0 (z < p) 
123 
---­ ....
.,. 
~/ 
, ! 
Tabela 8.2 Configurae,6es de polos e zeros de malha-aberta TabeJa 803 Gr.ificos dos lugares das raizes de sistemas com e lugares das raizes correspondentes 
realimentae,:io negativa e com realimenta<;:iopositiva 
jw 1
 
/'" <v I
~ 
~I-) ~--
N 
A / ~, /~ 
iWI j r/! ;L--J-- I ----,.o-x-:---' ~ '1 , ITi .,. I
 'I I
 I i ~ 'j I
 
I !
1( 
x 1 I \!! 
I '-. 'I;
1 ! i
 
I 1 ' i
 
I / 1/",; /'" ! i
 
I
 iii:I x x : j
 I
(c I • I _-x x-__
I I .,. tilT ,
I x ! ! I I
 
1
 ,,!! i I 
I \ j I I
L i !
 
~wl
 
rr;
 
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~I '\ 
•
 
I
 
I
 
·... 1
 
J "; , ~~-~ IT0-­ 1
" 
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I
 
jw 
._----~ 
IT 
\ 
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\ 
\ 
----+C)(- }--­ ------~ IT 
I
 
I
 
I
 
/ 
I ---1-f- -----.
L 
,
,
, 
'I I-~II 
i
 
I
 
jw 
r=-~} -----J-'.,. 
~/I 
iw 
/",-~ 
----"....IT'---i------r­
\ ...-/ 
;"'1 
\) 
-----,...
-
---:::-f'.{- .. -{ ­ .,.
.' U 
.~1 
\) I
or---' 
! I I
 
5.8 EXERCicIO (D'AZZO, pag. 208) 
Dcscja-sc determinar a resposta c(t) a uma entrada do tipo degrau 
uniuirio, com fator de amortecimento ( = 0,5 para as raizes dominantes do 
sistema de controle a seguir : 
Kl i '·5G(s) = . H(s) 0,045 -I­5 ( 52 / 2600 + 5 / 26 + 1) 
a) Expressar G(s)H(s) na forma geral (7.14) 
2600 x 25 x K,
G(s)H(s) = 
5 (52 + 1005 + ~.600) (5 + 25) 
65000Kl
G(s)H(s) =
 
5 (5 + 25)( s + 50 - )10 ) (5 + 50 +)10) 
b) Assinalar os palos c' zcros de malha aberta no plano complexo. 
Palos: 
*----------- ­I . 
53,4 = -50 ± )10 _150 - 5 
I 
Nao ha zeros finitos *-----------­
jW 
+j /0 
0 
-jlO 
REGRA 1 - NUMERO DE RAMOS
 
Como G(s)H(s) possui 4 palos, entao ha 4 ramos.
 
REGRA 2 - TRECHO SOBRE 0 EIXO REAL 
o lugar existe sobre 0 eixo rcal entre 0 e -25. 
REGRA 3 - PONTOS TERMINAlS 
!1 = 4 palos } 
n - W = 4 zeros no infinito 
:D = 0 (nenhum zero finito)
 
?ontos de partida (K = 0) : os 4 palos de malha aberta do item "b" .
 
. ontos de chegada (K = (0) : os 4 zeros no 00. 
125
 
REGRA 4 - ASSINTOTAS QUANDO s -+ 00 
n - ill = 4 -+ 4 assintotas 
(1 + 211) 1800 
Y = n - ill = (1 + 211)45 0	 Y1,2 = ± 45 0 
Y3,4 = ± 135 0 
REGRA 5 - PONTO DE INTERSEC;AO DAS ASSINTOTAS SOBRE 0 
EIXO REAL 
( (
n (D 
:z= ~e( Pc) - 1: ~e( Zh) 
c= I h = I 0- 25 - 50 - so	 r 
(Jo =. ----n---w--- =	 (Jo = -31,254 jW 
"	 /
" 0; /
 
X "
 t /
 " / / ----------¥-"*"----~--p.() 
- 50 / "'-- 5 0 
/ '" 
X // '" 
""/
REGRA 6 - PONTOS DE PARTIDA E DE CHEGADA SOBRE 0 EIXO 
REAL 
fY(5) = - K(5) = 5 (5 + 25) (5 + 50 - j 10) (s + 50 + j 10) 
W(s) = s4 + 125 53 + 5100 52 + 65000 5 
dW(5) 
= 453 + 3 x 125 52 + 2 x 5100 5 + 65000d5 
51 = - 45,95 } Nao pertencem ao lugar das ralles.52 = - 38,64 
53 = -9,15	 Ponto de partida: -9,15. 
Ponto de chcgada : nao hel. 
REGRA 7 - ANGULO DE PARTIDA OU DE CHEGADA DE RAIZES 
COMPLEXAS 
)WPara as palos 53 = -so + jlO : 
cPo = arctg ( ~) = 168,70 
-)0 ~x~__'_Q~~...-l..l--~j?.o 
4>1 '= arclg ( _1~5 ) = !58,2 0 -~ -25 
1-<10cP2 = 90° 
116 
cP3' = 0 ~,( 168,7° + 158,2° + 90°) + (1 + 21z) 1800 
cP3 = -416,90 + 5400 </h = 123,1 0 
Para 0 polo S4 = -50 - j 10, por simetria com 0 eixo rea I ; </;4 = -123,1° 
REGRA 8 - PONTO DE INTERSE(:AO COM 0 EIXO IMAGINARIO 
C(5) (/(5)
 
R(5) = I' + (/(5)H(5)
 
K1 
(/(5) = 5 ( 52 / 2600 + 5 / 26 + 1) - 5 (52 + 100 5 + 2600) 
H(5) = 0,04 : + 1 - s ~5 25 
KG = 2600 K1 }
 
KIl = 25 Vcr pagina 102.
 
KG Kl/ = 65000 K1
 ~~ 
~ / 
. C(s) 5 (52 + 100 5 + 2600) 
.. R(s) 2600 K1 251+ 
S (52 + 100 5 + 2600) (5 + 25) 
C(s) 2600 K1(5 + 25) 
R(s) S(S2 + 1005 + 2600)(5 + 25) + 2600.K1.25 
C(s) 2600 K1(s + 25) 
R(s) S4 + 12553 + 51 00S2 + 65000s + 65000 K1 ~ , 
Ap1ica-se agora 0 ALGORITMO DE ROUTH ao POLINOMIO 
CARACTERISTICO (denominador da funtyao de transfercncia a, malha 
fcchada). 
5100 65000 K1 
520 ( ­ (apos divisao por 125 ) 
14,2 K1 ( ­ (apos divisao por 4580 ) 
520 - 14,2 K, 
127
 
Raizcs puramcnte imaginarias ocorrerao quando uma linha do algoritmo for 
nula. 
·520Linha 51 : 520 - 14,2K1 = a K1 = 3G,G14,2 
A EQUA<;AO AUXlLIAR c formada a partir da linha anterlor; neste caso, 
linha 52. 
Os PONTOS qE INTERSE\=A.,0 do Juga!" das raizes com eixo imaginario serao, 
assim, as RAIZES IMAG INARIAS obtidas a partir da cquac;ao auxillar, 
empregando-se 0 valor de K1 que anulou uma das lin has do algoritmo. 
52 + 14,2 x 36)6 = a 52 = -520 
5 = ±j J)2fJ 5 ±j 22,8 
Fator de amortecimcn to ( = 0,5 
e = COS-I ( a = cos-la,s 
Na figura abaixo c aprescntado 0 grMlco do lugar das ralzes rcsultantc com 
e = 60° locado. 
Plano 5 
K 
I~ 
Fig. 7.17 Lugar das ralles relativo a G(5)H(s) = 65.000 K,{(5(5 + 25)(5' + 100 5 + 2.6(0)J. 
210 
REGRA It - DETERMli\;A\=AO DE RAfzES NO LUGAR DE EVA;iS 
A partir da cspcciflco<;:ao ek UCSCIllrcnho (= 0,) as [-aizcs c!Oll1lnJIllCS do 
sistema SJO oblieJas (0 gr:l:lco Clcima : 
.1"1,2 = - 6,6 ±jl [,4 
A sensibilidade de malha K Cobtida a partir da condic;ao de modulo (pagina 106): 
15 - pul (7.33)IKI = 
15 - zd 
K = 151 . '5 + 251. 15 + 50 - j 10 I . 15 + 50 + j 10 I - KG KJ[
 
Para 5, = -·6,6 + j 11,4 . obtcm-sc: K ~ 598800
 
=:> K = 598800
K .. 65000 Kr 
1 65000 
As duas raizes restantcs nos outros dois ramos podem ser obtidas Delos tres 
mctodos ascguir. 
a) POR TENTATIVAS 
Muito trabalhoso. 
Verpagina 120. 
b) DIVISAO DA EQUA\=AO CARACTERISTICA 
A equac;ao caracteristica C0 polinomio caracteristico, da pagina 127, igualado 
a zero : 
54 + 12553 + 510052 + 650005 + 65000K1 = 0 
Como K) = 9,2 , en tao: 54 + 12553 + 510052 + 650005 + 598800 - 0 
o fator quadratico que representa as raizes dominantes e: 
(5 + 6,6 - j 11,4)( 5 + 6,6 + j 11,4) = 52 + 13,25 + 173,5 
Dividlndo 0 polinomio caracteristico pelo fator quaclrMico acim~, c 
desprezando0 resto cncontrado, obtcm-se 0 tcrmo quadratico rclativo as raizcs 
nao dominan tes : 
54 + 12553 + 510052 + 650005 + 598800 ~ 2 112 34 -0 
52 + 13,25 + I73,5 - 5 + 5 + ) 
As ralzes nao dominantes sao agora obtidas a partir do quociente cncontrado. 
53,4 = - 56 + j 18 
c) REGRA DE GRANT 
Emprega a REG RA 10: invariancia da soma das raizes do sistema. 
(7.68)
 
129
 
Como 0 denominador de G(5)H(5) Cquatro graus superior ao grau do numerador. 
esta satisfeita a eondic;ao para 0 emprego dessa regra. 
0- 25 + (-50 +)10) + (-50 -)10) = 
= (-6,6 + ) 11,4) + (-6,6 - ) 11,4) + (0"3 + ) WdJ) + (0"4 - ) Wd.,J 
Como as raizcs 53 c 54 eonstituem urn par eomplexo eonjugado, entao 
0"3 = <J4 e Wd) = Wd,j. 
Portanto, <J3.4 = -55,9 
Esse valor difere muito poueo do obtido em "b" ( - 56 ); ali foi empregada lima 
simplificac;ao. 
A partir do valor da parte real, obtcm-se graf;eamente no lugar das raizes os 
valores das partes imaginarias, iguais a + IS. 
53,4 = -55,3 + ) 18 
Rclac;ao de Controlc para a K1 = 9,2 : 
A partir da pagina 102 tem-se : 
C(s) 
= (7.20)R(5) Fatores determinados a partir do lugar das raizcs 
Os fatores rclativos as quatro raizes eneontradas foram obticlos pan) u In valor 
de ganho de malha feehada KG = 2600 K1 , onde K1 = 9,2 ( vcr p:iginas 127 c 
129 ). 
Sendo iVl = 1 e D2 = (5 + 25), de aeordo eom as paginas 102 e 127, tcm-se : 
C(5) 24040 (5 + 25 ) 
R(s) = (5 + 6,6 - j 11,4) (5 + 6,6 + j 11,4) (5 +55,9 - j 18) (s + 55,9 + j t8) 
Rcsposta e(t) it entrada do tipo degrau uniulrio. 
On ttltima exprcssao tcm-se : 
C(s) = 24040 (s + 25) R(5) 
(5 + 6,6 - j 11,4) (5 + 6,6 +) 1I,4) (s + 55,9 - ) I8) (5 + 55,() +j 1S) 
I, t ~ 0 1
r( t) => R(s) = 5{ 0, t < 0 
24040 (5 + 25)C(s) 
5 (s + 6,6 - j 11,4)(5 + 6,6 +) 11,4)(5 + 55,9 -) 1S)(SL 55,9 + j I~) 
130
 
C(s) A o + Al - S S + 6,6 - j 1l,4 s + 
A~ 
+ 
A4 
+ 
S + 55,9 - j 18 s + 55,9 + j 18 
Aplicando os te6remas de Heaviside relativos a expa.nsao em fra~6es par::;iais 
encontrados em D'AZZO, item 4.7, pagina 96, obtem-se : 
Ao = 1,0 A3 = 0,14 Arg( - 63,90 )
 
A 2 C complexo conjugado de Al
 D'AZZO, pagina 100.A 4 C complexo conjugado de A 3 } 
Aplicando a transformada inversa de Laplace ohtcm-se : 
° (Q termo erelativo ao estado estacionario da resposta. 
° 2Q termo deve-se as raizes dominantes s 1,2' 
° 3,Q termo C devido as raizes nao dominantcs S3,4 
U3,4 _ -55,9 = 8,47 
au -6,6 
A parte real das raizes nao dominantes nao chega a scr 10 vezcs ( porcrn 8,47 )
 
maior que a das raizes dominantes.
 
Vejamos como fica ria a resposta desprezando-as.
 
Abandonando 0 3Q termo a resposta se rcduz a :
 
c(t) '" ( + 1,21 e-G,G I sen( 11,4 t (7.86) 
1,0 
0,5 
Fig. 7.23 Trac;ado de eel) verslls I para as Eqs. (7.85) e (7.86). 
A figura acima mostra como a inOucncia das ralzes 11:10 dO,11in:lntes 
53,4 = -55,9 ± j 18 cpcquena, e desaparcce em quase urn dccimo do Lmpo que 
o transitorio das ra'izes dominantes 51,2 = -6,6 ± j 11,4 leva para c1csaparcccr. 
131 
-l,S