Probabilidade Base Teórica

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18/02/2016
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Probabilidade I
Planejamento
UNIDADE I – PROBABILIDADE
1.1 Conceitos básicos de probabilidade
1.1.1 Experimento aleatório, espaço amostral e evento
1.1.2 Operações com eventos
1.1.2.1 União
1.1.2.2 Intersecção
1.1.2.3 Complementação
1.2 Definição clássica de probabilidade
1.3 Frequência relativa como estimativa de probabilidade
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Probabilidade
• análise destas incertezas -> determinação da 
chance de ocorrência de um evento
• conceitos embutidos nos testes de hipóteses 
estatísticas
• influência do acaso – incerteza quanto a ocorrência 
do evento
Probabilidade no dia a dia
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Contagem de resultados possíveis
Contagem de cartas 
e cálculo de 
probabilidade
https://www.youtube.com/watch?v=KWXZNrbzMfk
Contagem de resultados possíveis
• na história -> “jogos de azar” e desejo de ganhar -> 
já presente no Egito antigo
AstragaliJogo Senat
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História da probabilidade
Conceitos Básicos
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- São aqueles que, mesmo repetidos 
várias vezes sob condições 
semelhantes, apresentam resultados 
imprevisíveis
- Possibilidades – espaço amostral (S 
ou Ω) -> Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Fenômeno ou experimento aleatório
Acaso
- Evento = qualquer subconjunto do espaço amostral
- Representado por letra do alfabeto
Ex.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = {3}
A é um evento elementar de Ω
A = conjunto unitário
Evento B = {2, 4, 6} 
B é um evento de Ω
Eventos
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- Evento = qualquer subconjunto do espaço amostral
- Representado por letra do alfabeto
Ex.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
considerado como evento certo
C = Ω
Evento D = {7}
considerado como evento impossível
Eventos
- Cálculo de probabilidade -> pode 
envolver mais de um evento
- Para conseguirmos calcular a probabilidade neste 
tipo de situação -> necessário compreendermos 
quais operações podem ser realizadas com os 
eventos:
- União
- Intersecção
- Complementação
Operação com Eventos
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- União: 
- Considerando dois eventos quaisquer -> A e B
- A união de A e B gera um novo evento – com elementos 
pertencentes a A ou a B ou a ambos
- Representado por A ∪ B 
- Número de elementos = n (A ∪ B)
Operação com Eventos
Diagrama 
de Venn
- Intersecção: 
- A intersecção de dois eventos A e B contém os pontos 
comuns aos eventos A e B
- Representada por A ∩ B e número de elementos por
n (A ∩ B).
- Pode acontecer da intersecção 
ser vazia, ou seja, A ∩ B =∅
- Neste caso - eventos A e B são 
disjuntos ou mutuamente exclusivos
Operação com Eventos
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- Complementação: 
- Ac = complemento do evento A –> definido como o 
evento que contém todos os pontos amostrais que não 
pertencem ao evento A => Ac = Ω – A.
- Temos que:
- A ∪ Ac = Ω 
- A ∩ Ac = ∅
Operação com Eventos
Operação com Eventos
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Exercício
Certa escola possui 412 alunos, destes, 219 estudam
inglês e 162 estudam espanhol, sendo que 53 estudam
ambas as línguas. Monte o diagrama de Venn e com
base nele responda: Quantos alunos estudam ou
inglês ou espanhol? E quantos não estudam
nenhuma das duas línguas?
O que é probabilidade?
- número que mede a possibilidade de 
ocorrência de um evento
- Cálculo de probabilidades - pode ser efetuado de três 
maneiras – baseada: 
- Na definição clássica de probabilidade
- Na definição frequencial de probabilidade 
- Em probabilidades subjetivas –
experiência profissional determina a 
% associada a ocorrência
Prosseguindo...
foco
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- Considera que todos os elementos tem a mesma 
chance de acontecer - Ω é considerado como um 
conjunto equiprovável
- Probabilidade de um evento P(A) = n(A)
n(Ω)
onde:
n(A) é o número de elementos de A
n(Ω) é o número de elementos de Ω
Definição clássica de Probabilidade
- Probabilidade de um evento P(A) = n(A)
n(Ω)
Ex.: Ω = {Ca, Co}
n(Ω) = 2
Evento A = Obter Cara = A {Ca}
n(A) = 1
P(A) = 1 = 0,5 ou 50% de chance
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Probabilidade – definição clássica
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- Probabilidade de um evento P(A) = n(A)
n(Ω)
Ex.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = Obter o número 5 na face superior
A = {5}
n(Ω) = 6
n(A) = 1
P(A) = 1 = 0,167 ou 17% de chance
6
Probabilidade – definição clássica
- Probabilidade de um evento P(A) = n(A)
n(Ω)
Ex.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = Obter um número par na face superior
A = {2, 4, 6}
n(Ω) = 6
n(A) = 3
P(A) = 3 = 0,5 ou 50% de chance
6
Probabilidade – definição clássica
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- Probabilidade de um evento P(A) = n(A)
n(Ω)
Ex.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = Obter o número 7 na face superior
A = {7}
n(Ω) = 6
n(A) = 0
P(A) = 0 = 0 – sem chance
6
Probabilidade – definição clássica
- Em alguns casos -> não é possível enumerar o 
espaço amostral
- Nestas situações -> se usa análise combinatória como 
processo de contagem -> determina o número de 
combinações possíveis
Ex.: Qual a probabilidade de uma pessoa ganhar na mega sena 
com 1 volante de 6 números?
Definição clássica de Probabilidade
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Ex.: Qual a probabilidade de uma pessoa ganhar 
na mega sena com 1 volante de 6 números?
Definição clássica de Probabilidade
n = número de elementos em Ω
p = número de elementos no subconjunto
combinações
Ω
- Caso onde são utilizadas informações baseadas 
em observações repetidas do experimento aleatório
- Cálculo:
- Importante:
- Número de repetições deve ser grande -> quanto maior o 
número melhor a estimativa se aproxima da probabilidade real
Uso da frequência relativa
Lei dos grandes números
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Uso da frequência relativa
ou 84,8%
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Referências Bibliográficas
Material Didático – cap. 1 -> p. 5 
a 19. 
Crespo, A. A. (2009) Estatística 
Fácil. 19ª ed., Editora Saraiva. 
Cap. 9.
Valendo AAC
• Resenha sobre o filme 
“21 – Quebrando a 
Banca” discutindo:
– A aplicação da 
probabilidade e seu 
sucesso no objetivo 
dos protagonistas
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Exercícios
Considerando um baralho de cartas honesto com 
52 cartas calcule a probabilidade de extrair :
a) uma carta de copas;
b) um rei;
c) um valete de paus;
d) um ás de ouros ou de paus;
e) um 3 de ouros e um 4 de espadas 
consecutivamente.