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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Função polinomial do 1º grau
ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo 3 - p. 39.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 8 - p. 85
Uma função polinomial é da forma
fx = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . . . . . .+a2x2 + a1x + a0
em que os coeficientes an, an−1, an−2, . . . . . . . , a2, a1 e a0 são números reais e n um número
natural. Para an ≠ 0, n é o grau da função e an é dito coeficiente principal.
Função do 1∘ grau
Dentre as funções polinomiais, a função do 1∘ grau é da forma
fx = mx + b
com m e b números reais e m ≠ 0. O domínio da função do 1∘ grau é R (conjunto dos
números reais) e seu conjunto imagem também é R.
Veja alguns exemplos de funções do 1∘ grau: fx = 2x − 1, gx = −x + 23 , hx = 5x,
Hx = x − 2 .
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Revisão rápida: RETAS
 Uma equação do 1º grau com duas variáveis define uma reta. Assim, a equação
ax + by + c = 0, de variáveis x e y, define uma reta, e essa forma é dita a equação geral da
reta. Se isolamos y na equação, obtemos a forma reduzida da reta, que pode ser escrita
como y = ax + b.
 O coeficiente de x, que é o número real a ≠ 0, é chamado coeficiente angular da reta e
significa que " y varia a unidades sempre que x varia 1 unidade". Ao interpretar, assim, o
coeficiente angular, esse informa se a reta cresce (a > 0) ou decresce (a < 0).
 O termo independente da equação, que é o número real b, é chamado coeficiente linear
da reta e significa que a reta vai interseptar o eixo dos y no ponto 0, b.
 Apenas dois pontos são suficientes para determinar uma reta. Assim, por exemplo, para
traçar a reta cuja equação é y = 3x − 2, basta atribuir dois valores a x e determinar, na
equação, os valores correspondentes a y. Teremos então dois pontos que serão marcados no
plano cartesiano e, passando sobre eles, teremos a reta desejada.
Veja, por exemplo, que se escolhemos os valores de x como sendo 0 e 1 teremos,
respectivamente, os valores correspondentes de y como −2 e 1; poderíamos escolher
quaisquer outros valores.
x 0 1
y −2 1
1
Para ter o gráfico da reta, marcamos, então, esses dois pontos, 0,−2 e 1, 1, e sobre eles
traçamos a reta. Veja a seguir:
-2 -1 1 2
-4
-2
2
x
y
 De outra forma, se conhecemos dois pontos de uma reta, podemos determinar sua
equação. Para isso, vamos lembrar de duas fórmulas, que podem auxiliar:
1) se conhecemos dois pontos, x1, y1 e x2, y2, de uma reta, o seu coeficiente angular é
calculado pela fórmula: a = y2 − y1x2 − x1 .
2) se conhecemos o coeficiente angular, a, de uma reta e um ponto, x1, y1, por onde ela
passa, a sua equação é obtida por y − y1 = ax − x1.
Assim, por exemplo, considerando a reta anterior, que, como vimos, passa pelos pontos
0,−2 e 1, 1, para determinar sua equação, seguimos os passos:
1) determinamos seu coeficiente angular: a = y2 − y1x2 − x1 =
1 − −2
1 − 0 =
3
1 = 3
2) escolhemos um dos pontos conhecidos, por exemplo 0,−2, e consideramos o coeficiente
determinado no passo 1 para substituir na fórmula: y − y1 = ax − x1. Temos, assim
y − −2 = 3x − 0  y + 2 = 3x  y = 3x − 2 (que é a equação procurada!)
 Dois pontos importantes de uma reta são os pontos de intersecção com os eixos
coordenados: x, 0, sobre o eixo dos x, e 0, y, sobre o eixo dos y.
1) para determinar a intersecção com o eixo y, basta considerar x = 0 na equação da reta e
calcular o valor correspondente a y;
2) para determinar a intersecção com o eixo x, basta considerar y = 0 na equação que define
a reta e calcular o valor correpondente a x (o valor de x obtido dessa forma é chamado raiz ou
zero da equação).
No exemplo da reta de equação y = 3x − 2, temos:
1) intersecção com o eixo y: fazendo x = 0 na equação, obtemos y = −2 (veja que o valor
obtido é o coeficiente linear!); portanto o ponto de intersecção com o eixo y é 0,−2.
2) intersecção com o eixo x: fazendo y = 0 na equação, obtemos o valor de y
y = 3x − 2
0 = 3x − 2  2 = 3x  23 = x; portanto, o ponto de intersecção com o eixo x é
2
3 , 0
 Ainda sobre retas, é importante lembrar das equações de retas paralelas aos eixos
coordenados:
1) Uma reta paralela ao eixo y, que passa sobre o eixo x pelo ponto k, 0 tem equação x = k.
2
Por exemplo, a equação x = 2 é paralela ao eixo y.
-1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
2) Uma reta paralela ao eixo x, que passa sobre o eixo y pelo ponto 0, q tem equação y = q.
Por exemplo, a equação y = 4 é paralela ao eixo x.
-1 1 2 3 4
-2
2
4
x
y
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Voltando à definição da função, observe que a equação que define a função do 1º grau
(y = mx + b) é a equação reduzida da RETA. Por isso, podemos afirmar que o gráfico de uma
função do 1∘ grau é sempre uma reta e, para construí-lo, basta determinar dois de seus
pontos.
Assim, para construir o gráfico da função fx = 2x − 1, atribuímos dois valores quaisquer a x e
determinamos os valores correspondentes para y = fx. Marcamos os dois pontos no plano
cartesiano e passamos, por eles, a reta assim definida. Veja:
x y = fx
0 −1
1 1
-6 -4 -2 2 4
-5
5
x
y
Considerando a função fx = mx + b, m é o coeficiente angular da reta que é seu gráfico.
Isso significa que, cada vez que x varia ”1 unidade”, fx tem uma variação constante de
”m unidades”. Veja mais alguns pontos do gráfico da função fx = 2x − 1:
x y = fx
−1 −3
0 −1
1 1
2 3
Observe os pontos e veja que, somando 1 ao x,
o y fica somado com 2. De fato, o coeficiente angular
de fx = 2x − 1 é ”2”.
3
O termo constante, b, da equação que define a função do 1∘ grau fx = mx + b é o
coeficiente linear da reta que é seu gráfico. Lembre que o coeficiente linear é a ordenada do
ponto de intersecção da reta com o eixo y. Veja, no exemplo que, em fx = 2x − 1, o
coeficiente linear da reta que é gráfico da função é −1. Ele é obtido fazendo x = 0 na equação
que define a função. Portanto, o ponto de intersecção do gráfico da f com o eixo dos y é
0,−1.
Já, se quisermos conhecer o ponto de intersecção dessa mesma reta, que é o gráfico da f,
com o eixo dos x, fazemos y = 0 na equação y = 2x − 1. Assim, temos 0 = 2x − 1, do qual
resulta x = 12 . Ou seja, o ponto de intersecção do gráfico da f com o eixo dos x é 12 , 0 .
Obter os pontos de intersecção com os eixos coordenados, quando são pontos distintos como
temos acima, é um modo bem simples de representar uma reta com informações importantes
que um gráfico de reta precisa conter. Tomando, então, esses dois pontos, 0,−1 e 12 , 0 ,
de interceção, respectivamente, com o eixo y e com o eixo x, traçamos, passando por eles, a
reta y = 2x − 1. Veja:
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exercícios de aula 1
1) Construa o gráfico da função fx = x + 2, diga se ela é crescente ou decrescente,
determine sua raiz e analise seu sinal (identificando o intervalo em que a f é positiva e o
intervalo em que a f é negativa).
2) Construa o gráfico da função gx = −2x − 1 utilizando os pontos de intersecção do gráfico
com os eixos coordenados. Essa função g é crescente ou decrescente? Por quê?
3) Construa o gráfico da função do 1º grau que passa pelos pontos −2, 12 e
2
3 , 1 . Em
seguida, determine a equação que define a função representada.
4) A pressão atmosférica diminui conforme subimos em relação ao nível do mar, onde a
pressão é 1 atm. A 100 metros de altura, a pressão é de 0, 95 atm. Se a variação da pressão é
representada por uma função do 1º grau, determine a equação que define essa variação.
Exercícios extraclasse 1
1) Use régua e construa o gráfico de cada função definida a seguir:
a) fx = 23 x − 1 b) gx= −3x c) y = −x + 2
2) Em cada caso, determine os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos
coordenados. Em seguida, use os pontos calculados para construir os gráficos dessas
4
funções.
a) y = 2x − 3 b) fx = −2x + 1 c) fx = x3 + 2
3) Considere a função do 1º grau definida por fx = −x + 32 .
a) O ponto 1,−1 pertence ao gráfico da função? Por quê?
b) Determine o coeficiente angular da reta que é o gráfico da f. Qual o significado desse
valor?
c) Determine o coeficiente linear do gráfico da f. O que significa esse valor?
d) Determine os pontos de intersecção do gráfico da f com os eixos coordenados.
e) Use os pontos determinados em (d) e construa o gráfico da f.
4) Identifique pontos pertencentes à reta representada no gráfico a seguir e, com isso,
determine a equação da função correspondente.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
2
3
x
y
5) Considere a função do 1º grau Hx = − x2 + 1.
a) Determine o ponto de intersecção do gráfico da H com o eixo dos x.
b) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto obtido em (a) e é paralela ao eixo
dos y.
c) Determine o ponto de intersecção do gráfico da H com o eixo dos y.
d) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto obtido em (c) e é paralela ao eixo
dos x.
e) Construa, no mesmo sistema cartesiano, os gráficos de H, r e t.
6) Construa apenas a parte positiva do gráfico da função fx = −3x + 13 .
7) Se y = fx é uma função do 1º grau, f−1 = −5 e f 15 = 1, determine a equação que
define a função f.
8) Para produzir cada objeto que vende, uma empresa gasta R$ 5, 00 e, independentemente
da quantidade produzida, há uma despesa fixa de R$ 21. 000, 00. Sabendo que o preço de
venda desse objeto é R$ 8, 00, qual é o número de objetos que devem ser produzidos para
que a empresa comece a obter lucro?
9) (retirado de ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo, p. 53)
Uma empresa de aluguel de automóveis cobra uma taxa de aluguel de R$40, 00 mais R$0, 15
por quilômetro rodado. Uma empresa concorrente cobra R$50, 00 mais R$0, 10 por quilômetro
rodado.
(a) Para cada empresa, obtenha uma expressão para o custo do aluguel em função da
5
distância percorrida.
(b) Em um memso plano cartesiano, desenhe o gráfico de cada uma das funções.
(c) Ao planejar o aluguel de um automóvel, como decidir qual empresa é mais adequada?
Atenção! Você pode encontrar mais alguns exercícios que envolvem função do 1º grau nos
livros indicados na Bibliografia Básica (Adami, p. 51 a 55 e Demana, p. 92 e 93).
Algumas respostas:
(1)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
(2)
-6 -4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y (a) com eixo dos x: 32 , 0 com eixo dos y: 0,−3
(b) com eixo dos x: 12 , 0 com eixo dos y: 0, 1
(c) com eixo dos x: −6, 0 com eixo dos y: 0, 2
(3) (a) O gráfico de f é uma reta; (b) o coeficiente angular é m = −12 ; isto significa que fx
diminui 12 sempre que x aumenta 1 unidade; (c) o coeficiente linear é b =
3
2 ; isto significa
que o ponto de intersecção do gráfico da f com o eixo y, das ordenadas, é 0, 32 ; (d)
intersecção com o eixo dos x: 3, 0 e intersecção com o eixo dos y: 0, 32
(4) y = 13 x +
1
3
(5)
(a) 2, 0 (b) x = 2 (c) 0, 1 (d) y = 1
6
-2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
(6)
-3 -2 -1 1
2
4
6
x
y
(7) fx = 5x
-4 -2 2 4
-20
-10
10
20
x
y
(8) 7001 objetos
(9) (a) CE1x = 0, 15x + 40, CE2x = 0, 10x + 50. (b) Gráficos a seguir. (c) Se a distância for
maior que 200 quilômetros, optar pela empresa E2, caso contrário optar pela empresa E1.
0 100 200 300 400
0
50
100
x
y
7