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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Funções potência
ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo 4 - p. 65.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 9 - p. 95
Definição: Uma função potência é da forma fx = xn, onde n é um número racional.
fx = x2, gx = x3, hx = x2/3 e lx = x−5 são exemplos de funções potência.
*******************************************************************************************************************
Revisão rápida: POTENCIAÇÃO e RADICIAÇÃO
Def. 1: Uma potência de base a, a ∈ R, e expoente n, n ∈ N, é o número an, obtido pelo produto de
n fatores iguais a a. Ou seja,
an = a × a × a × a ×. . . . .×a
n fatores
Por exemplo,
a) 23
3
= 23 ×
2
3 ×
2
3 =
8
27
b) −24 = −2 × −2 × −2 × −2 = 16
c) 52 = 5 × 5 = 25
Regras de potenciação:
1) an × am = an+m
2) an ÷ am = an
am
= an−m
3) anm = an×m
4) a0 = 1, com a ≠ 0
5) a−n = 1
an
6) an/m = m an
7) abn = an × bn
8) ab
n
= a
n
bn
Def. 2: Sejam a ∈ R, b ∈ R e n ∈ Z tal que n > 1. Definimos
n a = b ⇔ bn = a
Lemos n a como "raiz n-ésima de a", a é o radicando e n é o índice da raiz.
Por exemplo,
a) 3 −8 = −2 (pois −23 = −8)
b) 36 = 6 (pois 62 = 36)
c) 4 1681 =
2
3 (pois
2
3
4
= 1681 )
Regras de radiciação:
1) n a × n b = n ab
2) n a
n b
= n
a
b
3) n m a = n.m a
1
4) n an = a, se n é ímpar|a|, se n é par
*******************************************************************************************************************
● Vamos caracterizar algumas funções potência, de acordo com seus expoentes.
 Expoente natural par.
Vamos considerar as funções fx = x2, gx = x4 e hx = x6 cujos gráficos são apresentados a
seguir.
-3 -2 -1 0 1 2 3
5
10
15
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
5
10
15
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
5
10
15
x
y
⋆Para entender melhor o comportamento dos gráficos, observe os valores de y correspondentes
aos valores de x dados na tabela, para cada uma das funções.
x −3 −2 −1 − 12 0
1
2 1 2 3 4 5 6 7
fx = x2 9 4 1 14 0
1
4 1 4 9 16 25 36 49
gx = x4 81 16 1 116 0
1
16 1 16 81 256 625 1296 2401
hx = x6 729 64 1 164 0
1
64 1 64 729 4096 15625 46656 117649
Observe que os gráficos têm um formato mais ou menos parecido. O domínio de cada função é R.
As imagens são sempre positivas ou, para x = 0, a imagem é zero. Isto significa que
Imf = Img = Imh = 0;+∞.
Todas "decrescem" para x < 0 e "crescem" para x > 0.
Para valores de x que são menores que −1 ou maiores que 1, quanto maior o expoente, maior a
imagem. Para valores de x entre −1 e 1, quanto maior o expoente, menor a imagem.
Essas funções são pares, pois f−x = fx, g−x = gx e h−x = hx para todo x do domínio.
Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação ao eixo y (característica de funções
pares).
Veja os gráficos das três funções no mesmo sistema de eixos:
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
y
 Expoente natural ímpar.
Vamos considerar as funções fx = x3 e gx = x5 cujos gráficos são apresentados a seguir.
2
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-4
-2
2
4
x
y
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-4
-2
2
4
x
y
⋆Para entender melhor o comportamento dos gráficos, veja os valores de y correspondentes aos
valores de x dados na tabela, para cada uma das funções.
x −3 −2 −1 − 12 0
1
2 1 2 3 4 5
fx = x3 −27 −8 −1 − 18 0
1
8 1 8 27 64 125
gx = x5 −243 −32 −1 − 132 0
1
32 1 32 243 1024 3125
Observe que elas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R.
As imagens são sempre positivas para x > 0, negativas para x < 0 ou, para x = 0, a imagem é zero.
Isto significa que Imf = Img = R.
As duas funções são "crescentes" em todo o seu domínio.
Para valores de x que são menores que −1 ou que estão entre 0 e 1, quanto maior o expoente,
menor o valor da imagem; para valores de x que são maiores que 1 ou que estão entre −1 e 0,
quanto maior o expoente, maior o valor da imagem.
Essas funções são ímpares, pois f−x = −fx e g−x = −gx para todo x do domínio. Observe
que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação à origem (característica de funções
ímpares).
Veja os gráficos das duas funções no mesmo sistema de eixos:
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-4
-2
2
4
x
y
 Expoente fracionário (do tipo 1n com n número natural não nulo).
Considere as funções fx = x1/2 e gx = x1/3 cujos gráficos são apresentados a seguir. Proceda de
forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e escreva algumas características de cada
função. É bom lembrar que toda potência de expoente fracionário pode ser escrita como uma raiz.
No caso das funções consideradas, temos fx = x1/2 = x e gx = x1/3 = 3 x .
3
0 2 4 6 8 10
1
2
3
x
y
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
x
y
 Expoente inteiro negativo.
Considere as funções fx = x−2 e gx = x−3 cujos gráficos são apresentados a seguir. Proceda de
forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e escreva algumas características de cada
função. É bom lembrar que o expoente negativo significa "inverso". No caso das funções
consideradas, temos fx = x−2 = 1
x2
e gx = x−3 = 1
x3
.
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Obs.:
Observe que, nestes gráficos, surgem duas retas com a mesma característica: o gráfico da função
se aproxima muito dessas retas mas não chega a encostar nelas.
Uma delas é a reta de equação x = 0 (equação do eixo y). No primeiro gráfico, quanto mais
próximo o valor de x está de zero, tanto maior será o valor da função, além do que , para x = 0 a
função não está definida. No segundo gráfico, ocorre algo semelhante, apesar dos sinais diferentes
para valores de x menores ou maiores que zero. A reta x = 0, com essas características, é uma
assíntota vertical do gráfico das funções.
Outra é a reta de equação y = 0 (equação do eixo x). No primeiro gráfico e no segundo gráfico,
quanto maior (ou quanto menor) for o valor de x, mais próximo de zero estará o valor de y. A reta
y = 0, com essas características, é uma assíntota horizontal do gráfico das funções.
Importante:
1. Assim como acontece com as demais funções estudadas até agora, o gráfico de uma função
potência pode ser obtido do gráfico de outra função potência mais simples, através de
deslocamentos no plano.
1.1 Consideremos, por exemplo, a função definida por Fx = x − 3−2 = 1
x − 32
, obtida de
fx = x−2 tirando 3 unidades de x. Podemos obter seu gráfico, deslocando o gráfico de fx = x−2
três unidades para a direita. Veja os dois gráficos no mesmo sistema de eixos.
4
-4 -2 2 4 6 8
1
2
3
4
5
x
y
No caso, a assíntota horizontal continua sendo a reta y = 0, porém, a assíntota vertical é a reta
x = 3.
1.2 Consideremos a função Gx = x + 1−3 − 2 = 1
x + 13
− 2, obtida de gx = x−3 somando 1
unidade a x e tirando 2 unidades de y. Portanto, podemos obter o gráfico da G, deslocando o
gráfico da g 1 unidade para a esquerda e, em seguida, descendo 2 unidades. Veja os gráficos da g
(com linha descontínua) e o gráfico da G (com linha contínua) no mesmo sistema de eixos.
-6 -4 -2 2 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
g 1 unid para a esquerda
-6 -4 -2 2 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
funç obtida 2 unid para baixo
-6 -4 -2 2 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Gráfico da Gx.
No caso, a assíntota horizontal passa a ser a reta y = −2, e a assíntota vertical é a reta x = −1.
2. Funções obtidas de funções potências através da multiplicação ou da divisão por uma
constante.
2.1 Consideremos as funções fx = x3 e gx = 2x3. Obtemos o gráfico da g simplesmente
multiplicando as imagensda f por 2. Veja no sistema abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o
gráfico da g com caneta azul.
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2.2 Consideremos as funções fx = x3 e gx = 12 x
3
. Obtemos o gráfico da g simplesmente
dividindo as imagens da f por 2. É bom observar que gx = 12 x
3 = x
3
2 . Veja no sistema abaixo os
gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul.
5
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2.3 Consideremos as funções fx = x−2 e gx = −x−2. Obtemos o gráfico da g simplesmente
multiplicando as imagens da f por −1. Veja no sistema abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o
gráfico da g com caneta azul.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exercícios de aula 5:
(1) O gráfico da função fx = x2 é dado a seguir. Sobre o mesmo sistema, construa o esboço do
gráfico da função gx = x8.
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(2) O gráfico da função fx = x3 é dado a seguir. Sobre o mesmo sistema, construa o esboço do
gráfico da função gx = x7. No segundo sistema, onde é apresentado novamente o gráfico da f,
construa o gráfico da função hx = |x3 |.
6
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(3) Entre as funções cujos gráficos são apresentados a seguir, marque com um (X) o que pode ser
o gráfico da função fx = x1/4 e, com um ponto (∙) aquele que pode ser o gráfico de fx = x1/5.
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
( )
-2 -1 1 2
-10
-5
5
10
x
y
( )
2 4 6 8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
( )
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
( )
(4) Construa o gráfico da função fx = x−3. Em seguida, descreva como o gráfico de
gx = x − 2−3 + 1 pode ser obtido do gráfico da f. Construa, o gráfico da g e determine as
equações das assíntotas da g.
(5) Considere a função fx = x2/3 cujo gráfico é apresentado a seguir. Sobre o mesmo sistema,
construa o gráfico de gx = 2x2/3 e de hx = −2x2/3. Observe que fx = x2/3 = 3 x2 e que
gx = 2fx e hx = −2fx.
7
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Exercícios extraclasse 4
1) Considere a função fx = x3 representada no gráfico abaixo, que é uma função ímpar
(f−x = −fx), com Df = R. Construa, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções
dadas a seguir e cite as transformações efetuadas, comparando cada um com o gráfico da f.
(a) f1x = x − 33 (b) f2x = x + 23 (c) f3x = x3 + 4 (d) f4x = x3 − 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2) Considere novamente a função fx = x3 representada no gráfico abaixo. Construa, no mesmo
sistema de eixos, o gráfico da função gx = x − 23 + 3 e cite as transformações efetuadas,
comparando com o gráfico da f.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3) Considere a função fx = x1/3 = 3 x representada no gráfico abaixo. Construa, no mesmo
sistema de eixos, o gráfico da função gx = − 13 3 x e cite as transformações efetuadas,
comparando com o gráfico da f.
8
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
y
4) Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções dadas em cada caso. Também,
identifique as assíntotas horizontais e verticais, apresentando suas equações.
a) fx = x−2 e gx = x + 3−2
b) fx = x−2 e hx = x−2 + 3
5) Explique como o gráfico de gx = 2. x−1 − 3 pode ser obtido do gráfico de fx = x−1. Construa no
mesmo sistema de eixos os gráficos da f e da g.
6) Construa o gráfico de gx = |x3 − 2|.
Algumas respostas:
1) O gráfico da f1 é obtido deslocando o gráfico da f 3 unidades para a direita. O gráfico da f2 é
obtido deslocando o gráfico da f 2 unidades para a esquerda. O gráfico da f3 é obtido deslocando o
gráfico da f 4 unidades para cima. O gráfico da f4 é obtido deslocando o gráfico da f 3 unidades
para baixo.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2) O gráfico da g é obtido deslocando o gráfico da f 2 unidades para a direita e, a partir dali, 3
unidades para cima.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3) Multiplicamos a imagem da f por − 13 , isto é, dividimos as imagens por 3 e, em seguida,
trocamos o sinal.
9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
y
4)
a) Assíntota horizontal da f : y = 0; assíntota b) Assíntota horizontal da f : y = 0; assíntota
vertical da f: x = 0; assíntota horizontal vertical da f: x = 0; assíntota horizontal
da g: y = 0; assíntota vertical da g: x = −3 da h: y = 3; assíntota vertical da h: x = 0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
1
2
3
4
5
x
y
5) A g pode ser obtida multiplicando as imagens da f por 2 e, em seguida, deslocando o gráfico 3
unidades para baixo.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
6)
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
10