Operações Vetoriais em Matemática

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1.0 Revisão Matemática 
 
 
 
 
1.1 Operações vetoriais do ponto de vista Geométrico 
 
 
Um vetor 
v
 é definido como uma quantidade de uma dada magnitude e direção A 
magnitude de um vetor é designada por |
v
|. Dois vetores 
v
 e 
w
 são iguais quando suas 
magnitudes são iguais e quando eles apontam para a mesma direção. 
 
• Produto escalar entre dois vetores. 
 
O produto escalar entre dois vetores v e w é a quantidade escalar definida por: 
 
( ) cos
 
v w v w vw  
, 
 
onde 
vw
 é o ângulo que v faz com w , veja figura. 
 
 
 
 
 
 
O produto escalar é então a magnitude de w multiplicada pela projeção de v em w ou 
vice-versa. 
Note que o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado de sua 
magnitude. 
 
( )v v v 
2
 
 
Regras que governam produtos escalares: 
 
Comutativa 
( ) ( )
   
u v v u  
 
Não Associativa 
( ) ( )
     
u v w u v w  
 
Distributiva 
( ( )) ( ) ( )
      
u v w u v u w     
 
 
• Produto vetorial entre dois vetores. 
 
O produto vetorial entre dois vetores v e w é uma grandeza vetorial definida por: 
 
 ( )
  
v w v wsin nvw vw  
 
  
 
φvw 
|v|cosφvw 
onde 

nvw
 é um vetor de comprimento unitário (vetor unitário) normal ao plano que contem 
v
 
e w e aponta na direção que um parafuso de rosca direita se moveria se fosse girado de v 
para 
w
 de um ângulo 
vw
. 
 
 
 
 
 
 
Note que a magnitude do vetor resultante é a área do paralelogramo definido pelos 
vetores 
v
 e 
w
. e 
w
. Também segue da definição de produto vetorial que: 
 
( )
 
v v  0
 
 
Regras que governam produtos vetoriais: 
 
Não comutativa: 
( ) ( )
   
vw wv 
 
Não Associativa: 
( ( )) (( ) )
     
u v w u v w    
 
 
 
1.2 Operações com vetores do ponto de Vista Analítico. 
 
 
Nesta secção um tratamento analítico será dado aos tópicos apresentados na secção 
anterior. A abordagem estará restrita a um sistema retangular de coordenadas cujos eixos 
serão denominados por x, y, z. 
As fórmulas podem ser escritas de forma compacta em termos do delta de Kronecker, 
ij e do símbolo de permutação ijk. Estas quantidades são definidas como: 
 
 

ij
ij
i j
i j
  
 



1
0
 se 
 se 
 
 
 



ijk
ijk
ijk
  
 









1
1
0
 se ijk 123, 231 ou 312 
 se ijk = 321, 213 ou 132
 se ijk = se quaisquer dois
 índices forem iguais
 
 
O símbolo de permutação também é dado por: 
 
 
 ijk i j j k k i   
1
2
( )( )( )
; 
φvw 
vy
y 
 
w 
( )
 
w v
 
( )
 
v w
 
 
Várias relações envolvendo ij e ijk são úteis para manipular ou demonstrar 
identidades vetoriais ou tensoriais, entre elas: 
 


   ijk hjk ih
kj
2
1
3
1
3 
 
     ijk mnk
k
im jn in jm 


1
3 
 
* O símbolo  implica que o produto ijkhjk seja somado para todos os valores que o 
índice de pode assumir. 
 
1.2-1 Vetores unitários 
 
Considere   
  1 2 3, e 
 três vetores unitários, isto é, vetores com magnitude unitária, na 
direção dos eixos, 1, 2 e 3. 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a definição de produto escalar e vetorial pode-se tabular todas os 
possíveis produtos: 
 
    
   
( )
( )
     
     
     
     
1 1 2 2 3 3
1 2 1 3 2 1
1
0
      
     




 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
 
  
  
 
  
  
 
  
  
 
  
  
 
  
  
 
  
  
1 1
1 2 3
2 1 3
2 2
2 3 1
3 2 1
3 3
3 1 2
1 3 2
0 0 0 
 
  





 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
Todas estas relações podem ser sumarizadas em duas relações: 
( )
 
   i j ij 
 
 
( )
  
   j k ijk
i
i 

 
1
3 
 
 
 
1 
2 
3 
 
Nas secções subseqüentes, onde serão desenvolvidas expressões para operações 
vetoriais e tensoriais, tudo que será feito será decompor os vetores ou tensores através dos 
vetores unitários e aplicar as equações acima. Assim, 
 
    
v v v v vi i
i
   

   1 1 2 2 3 3
1
3 
 
v w v w v wi
i
i i
i
i i
i
i i         ( )
 
 
1.2-2 O produto escalar entre dois vetores: 
 
    
   
v w v w v w
v w v w
i i
i
j j
j
i j i j
ji
ij
ji
i j i
i
j
 




















  
 
  
 
   
 
 
 
O produto vetorial entre dois vetores: 
 
 
 
     
   
 

  
v w v w
v w
v w
v w v w v w v w v w v w
j j
j
k k
k
j k
ijk
kji
j k
 





















  
    
 


 
 
 
  
 =
 =
 = det v v v
w w w
 =
i k
kj
i
i j k
i j k
i j k
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
 
 
Note que a componente na direção i de 
 
 
v w
 é dada por: 
 
 
 
v w v w
i ijk j k
kj
   
 
Por exemplo, se i=1, então: 
 
 
 
v w v wjk j k
kj
  1 1
 
 
mas os únicos valores que os índices j e k podem assumir são jk=2,3 ou 3,2, caso contrário 
ijk0, logo: 
 
 
 
v w v w v w v w v w    
1 123 2 3 132 3 2 2 3 3 2
 
 
 
 
Múltiplas operações Vetoriais 
 
Expressões para produtos múltiplos envolvendo vetores podes ser obtidas usando 
expressões analíticas que expressam os produtos escalares e vetoriais.Por exemplo, o produto 
( ( ))
  
u v u 
 pode ser escrito como 
 
( ( )) ( )
( ( ))
     
  
u v u u v u uv w
u v u
u u u
v v v
w w w
i i
i
ijk i j k
kji
    
  
   
ou,
det
1 2 3
1 2 3
1 2 3
 
 
A magnitude de 
( ( ))
  
u v u 
 é o volume do paralelepípedo definido pelos vetores 
  
u v w, e 
. Além disto, se o determinante for nulo implica que os vetores 
  
u v w, e 
 são 
coplanares. 
 
Exemplo: Mostre que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
           
u v w z u w v z u z v w         
 
 
( )
( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) (
  
  
     
   
u v u v
w z
u v u v w z
v v w z
u v
ijk i j k
kji
hlm h l m
mlh
ijk i j k
kji
hlm h l m
mlh
i h ijk j k
k
hlm l m
mljhi
ih ijk j k
kjh
 

   
  






 


 
 

 
 
   
   
 
 e
(w z) =
então
(w z) = (
 
 
  



 

   

 
 

i
hlm l m
ml
ijk
mlkj
ilm j k l m
i
ijk kij ilm mil
kji mli j k l m
imlkj
km
mlk
jl kl jm
i
j k l m
kmmlk
jl j k l m
i
kl jm
mlk
j k l m
i
km
m
w z
u v w z
u v w z
u v w z
u v w z u v w z

 
   
 
   
   

)
( )
( )
(
 
mas e , então
 
 
 
    
     
v z u w v w u z
v z u w v w u z
k m
k
jl
l
j l
j
kl
l
k l
k
jm
m
j m
j
)( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
  
 
       
 
 
Outras identidades vetoriais podem ser similarmente demonstradas, 
 
 
( ( )) ( ) ( )
( ) ( ) (( ) ) (( ) )
        
           
u v w v u w w u v
u v w z u v z w u v w z
     
        
 
 
 
 
 
Tensores 
 
 
Ao invés de apresentar uma diferença formal de um tensor, vamos buscar algumas 
situações físicas, relacionadas a mecânica dos fluidos, onde o conceito de tensor emergirá 
naturalmente. 
Considere por exemplo um escoamento bidimensional onde o fluido está sujeito a um 
estado de tensão bi-dimensional, ij, 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde o primeiro índice refere-se a superfície onde a tensão atua e o segundo a sua direção. 
Neste caso iz representa a tensão que atua no plano (1) na direção do eixo (z). 
Se desejarmos saber a força resultante no fluido dado o campo de tensões temos que 
multiplicar cada tensão pela área onde ela atua no elemento 
Assim, a força resultante na direção (1) será 
 
F1=11A1+21A2 
 
e na direção (2) 
 
F2=22A2+12A1 
 
Nota-se que a tensão ij está associada a um vetor força para cada direção do espaço. 
Deve-se destacar também que diferentemente dos vetores é necessário associar a uma 
tensão o plano onde ela atua e sua direção no plano. 
 
Neste ponto podemos dizer que esta tensão é representada por um tensor de ordem 
“z”. Na verdade, um escalar é um tensor de ordem 0 (suas propriedades não dependem de sua 
orientação espacial, exemplo de escalar: temperatura, energia interna, etc.), um vetor é um 
22 
21 
1
2 1
1  
 
tensor de ordem 1 (suas propriedades dependem da direção que elas assumem no espaço, 
exemplo de, velocidade 
v
 momento m 
v
, etc.), e finalmente a tensão é um tensor de ordem 2 
porque para definí-la é necessário conhecer a superfície onde ela atua e a sua direção. 
Existem tensores de ordem superior a 2 entretanto eles raramente ocorrem em 
fenômenos relacionados a mecânica dos fluidos. As operações tensoriais que serão tratadas 
neste capítulo serão referentes a tensores de ordem 2 
Antes de introduzir algumas operações e propriedades básicas sobre tensores de 
ordem 2 é conveniente identificarmos o produto entre dois vetores como sendo uma forma 
especial de um tensor de segunda ordem para isso suponha que você deseja saber o momento 
que cruza cujas transversais ao escoamento A1 e A2 são unitárias, conforme mostra a Fig 
abaixo 
 
 
 
 
Nas faces 1 e 2 o luxo de massa é dado por 
 ( )  ( )m u u1 1 21 1   e m2
 
Note que tanto o fluxo de massa que cruza a área (1) assim como o que cruza pela área(2) são 
transportados pelo escoamento que possui velocidade (u1, u2) em cada uma das faces. Então 
o momento na direção (1) 
 
 
 
 
 
 
J u u u u1 1 1 2 1 ( ) ( ) 
 
Analogamente o fluxo de momento na direção 2 
 
 
J u u u u2 1 2 2 ( ) ( ) 
 
m u2 2
 
mu1 1
 
x2 = 1 
x2 
x1 
u2 
u1 
Observe então que o momento Ji(natureza vetorial) depende do fluxo de massa que 
cruza cada área do elemento e da direção de velocidade. Então o produto (uiuj) possui a 
natureza de um tensor de segunda ordem porque precisa da especificação de duas direções. A 
ele se refere o nome de produto diádico. 
 
1.3-1 Tensores de Segunda Ordem : Definição de Notação 
 
Em analogia a um vetor que necessita de três componentes para ser especificado, um 
tensor de ordem 2 precisa de nove componentes 
 

  
  
  
ij 










11 21 31
12 22 32
13 23 33
 
 
O produto diádico entre dois vetores  
v e w
 é também um tensor de segunda ordem. 
Os elementos da matriz são produtos das componentes dos vetores 
 
v w
v w v w v w
v w v w v w
v w v w v w
i j i










1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3
 
 
A diádica  
vw
 é em geral diferente da diádica  
wv
. Deve ser enfatizado que o produto 
é representado escrevendo-se os dois vetores sem nenhum símbolo de multiplicação entre 
eles. 
 
A transposta de um tensor é obtida invertendo-se a ordem de seus índices; a 
transposta de ij é ji. Denota-se a transposta de ij por (t)ij , 
( ) 
  
  
  
t
ij ji 










11 13 13
21 22 23
31 32 33
 
 
Um tensor é dito ser simétrico se ele for igual ao seu transposto. Qij é simétrico se 
Qij=Qji 
Um tensor é dito ser anti-simétrico se ele for igual ao negativo de seu transposto, 
Rij=-Rji 
O primeiro tensor abaixo é simétrico enquanto que o segundo é anti-simétrico: 
 
Qij  











3 4 1
4 5 2
1 2 2
 
Qij   











0 3 1
3 0 2
1 2 0
 
Observe que um tensor simétrico possui seis componentes independentes enquanto 
que um anti-simétrico possui apenas três. Note que para um tensor anti-simétrico, Rij=-Rji , 
os elementos da diagonal só podem satisfazer esta identidade se eles forem iguais a zero. 
 
Um tensor arbitrário ij pode sempre ser decomposto em uma parte simétrica e em 
outra anti-simétrica. Para mostrar isto comecemos com ij somando e subtraindo-se metade 
de seu transposto: 
      
 
t
i j
ji
i j i j
ji
i j
i j
ji
i jvw v w


 

   
   
 
 
 
Denotando por 
   
   
T T T
T T T
i j i j j i
i j i j j i
 
 
 e 
 
1
2
1
2
 
então 
T T Tij ij ij ( ) [ ]
 
mas 
T Ti j j i( ) ( ) 
 daí 
T ij( )
 é simétrico, 
T Ti j j i[ ] [ ]  
 daí 
T i j[ ] 
é anti-simétrico 
Vamos ilustrar com um exemplo específico 
1 2 3
4 0 5
2 1 3
1
2 4
2
3 2
2
4 2
2
0
5 1
2
2 3
2
1 5
2
3
0
2 4
2
3 2
2
4 2
2
0
5 1
2
2 3
2
1 5
2
0
1 3 5
2
3 0 3
5
2
3 3
0 1 1
2
1 0 2
1
2
2 0











 
 
 

















 
 
 





























 










 
 
1.3-2 Operações analíticas com tensores 
 
Fazendo um paralelo os vetores que necessitam de uma direção para serem 
especificados, os tensores de segunda ordem necessitam de duas direções, isto é, uma 
correspondente ao eixo normal a superfície onde ela atua e outra paralela ao eixo onde ela 
atua. 
Correspondentes aos vetores unitários que corresponderão as duas direções 
necessárias para definir o tensor. O produto diádico unitário é definido a partir dos vetores 
unitários 
( )
 
   m n m i n j 
 
Existem nove produtos diádicos unitários, a saber 
 
     
      
     
     
 
1 1 1 2 1 3
2 1 1 2 1 3
3 1
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0




































































; 
; 
;
;































; 
   
   1 2 1 3
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
;
 
As operações com os produtos diádicos unitários são introduzidos formalmente 
através da relação que elas tem com os vetores unitários 
 
   
   
   
( ) ( )( )
( )
       
      
      
         
       

         
       
       
          
        

i j k l j k i l j k i l
i j k i j k i j k
i j k i j k i j k
i j k l i j k l j k i l
i j k i j k j k l i l
l
: 
 
 
 
 
   
   
   
   
   


1
3
   i j k i j k i j l l k
l
   


      
        
1
3
 
 Expansão de um tensor em termos de suas componentes 
 
Assim como um vetor é escrito em termos de cada um de seus componentes através 
dos vetores unitários, com o tensor pode-se fazer o mesmo através dos produtos diádicos 
unitários, 
         
        
        
  
  
 
 


     
     
     
 
1 1 11 1 2 12 1 3 13
2 1 21 2 2 22 2 3 23
3 1 31 3 2 32 3 3 33
1
33
 +
 +
 = 
i=1
i j i j
j
 
O tensor transposto de , 
   t i j
ji
i j 
 
 
 
O produto diádico de dois vetores  
v w e 
, 
   
 
 
      
 
 
 
v v v
v
l k
v
vw v w
uv wz u v w z
i j i j
ji
k k
k
i j k
kji
i j k
j k l i l k
lkji
i l i j l i j k
jili
i j j i
ji
i j j i
 





 














 








  



        
  
   
 
 
 = 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
:
:
 
ji
i j k l
lkji
i j k l
i l j k i j k l
lkji
i j j i
ji


 
 = : 
 = = 
 
 
   
     
     
 
 
O produto tensorial entre dois tensores 
 
 
 
       
     
    
   
 





 





















 


 
   
   
 
 
i j i j
ji
k l k l
lk
i j k l
lkji
i j k l
j k
lkji
i l i j k l
i l
ji
i j j l
j
 
 = 
 = 
 = 
 
 
 
 
 
 
1.3-4 O produto vetorial de um tensor com um vetor 
 
O produto vetorial entre um tensor e um vetor resulta em uma grandeza vetorial, 
 
 
    
   
    
 





























 

  
   
 
 
v v
v
v v
i j i j
ji
k
k
i j k
kji
i j
i j k
kji
i j k i
i
i j k
 
 = 
 = 
 k
 k
 
 
 
Isto é, a componente i do produto 
 

v
 é 
i j j
j
v 
. Similarmente, a componente i do 
produto 
 

v  
 é 
 v j j i
j

. Obviamente 
 

v

 

v  
 a menos que  seja simétrico 
 
  
  
  
  
  
  
 





















 
 
 











v
v
v
v
v v v
v v v
v v v
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
 
 
O produto tensorial de um tensor com um vetor 
O produto tensorial de um tensor com um vetor resulta em uma grandeza tensorial, 
           
  
   
 





 














 






  


      
 
 
v v v
v
v
i j i j
ji
k k
k
i j k
kji
i j k
j k l i l k
lkji
i l j k l i j k
jkli
 
 = 
 = 
 
 
 
 
A componente 
i l 
 de 
 

v
é 
 j k l i j k
kj
v 
 Similarmente a componente 
l k 
 de 
 

v  
 é 
 i j l i j k
ji
v 
 
 
3-6 O produto escalar entre dois tensores resulta em uma grandeza escalar, 
 
 
       
     
     
: :



















 

 
   
   
i l i j
ji
k l k j
lk
i j k l
lkji
i j k l
i l j k i j k l
lkji
i j j i
ji
 
 = : 
 = = 
 
 
 
 
Similarmente pode-se mostrar que 
 
 
 :
:
 
vw v w
uv wz u v w z
i j j i
ji
i j j i
ji




 
 
 
 
 
3-7 Invariantes de um vetor 
 
Uma grandeza escalar pode ser formada a partir do produto escalar do vetor 
   
     
( )
( )
( )
( )
 
   
 
   

 

  
 
v v v v
x x x x
cv c v
v w v w
v rot grad
x x
div rot v v
x
v
x
v v v
vw
x
v w
i i
i
i
ii
i i j k
j k
i j k
i j
k
i
i
 
    
  
    
     
           
 


 
 
 
 
 
 












   













1
1
2
2
3
3
0
0
 
   
 
k
ik
i
i
j j j i j
i
j
ji
j k
kj j
k i j k
k
jkji
i
i k
i
j k j k
kj
i
v v v
v
x
v v
x
v
x
v
v
x
x
 
 
 
 
 

  
 
 






     
 













  
 





















 
  
    
  

 



  


 








      



 






j k
i
j k
kji
i j k
j k
ikji
k
i
i k
ik
x
x x
 
 
 
 

 

  






 com ele mesmo, 
( )
 
v v v vi i
i
  
. Esta grandeza é conhecida como invariante escalar de 
v
, e seu valor é 
independente do sistema de coordenadas ao qual 
v
 é referido. Para um vetor, somente um 
único invariante escalar pode ser construído. De um tensor  pode se construir três 
invariantes escalares,I = 
II = 
III = 
i i
i
 
 

 
  



i j
ji
j i
i j j k
kji
k i
 
Operações Diferenciais com Vetores e Tensores 
 
O operador vetorial diferencial , conhecido como “nabla” ou “del” é definido em 
coordenadas cartesianas retangulares como: 
    
   












1
1
2
2
3
3x x x x
i
ii
 
 
O operador vetorial diferencial  possui componentes de um vetor mas ele por si só 
não possui significado ele deve vir acompanhado a sua direita por uma grandeza escalar, 
vetorial, ou tensorial, daí o nome de operador. 
 
1.4-1 O gradiente de um Campo Escalar 
 
Se  é uma função escalar das variáveis x1, x2, x3 então a operação de  em  é 
    
     











1
1
2
2
3
3x x x x
i
ii
 
 
O vetor gerado a partir das derivadas de  é designado por 

 ou grad. Propriedades 
do gradiente: 
  
    
   
( )
( )
( )
c c
 
   
 
onde c é uma constante e  e  são funções escalares. 
 
1.4-2 Divergência de um campo vetorial 
 
Se o vetor 
v
 é uma função das variáveis x1, x2, x3 então o produto escalar de v com 
 é: 
  
 
 























 

  
 
    
v
xi
v
j x
v
v
x
v
x
i
i
j j i j
j
j
ji
i j
j
jji
i
ii



  







 = 
 
 
A grandeza escalar gerada pela somatória das derivadas do vetor 
v
, algumas vezes 
abreviadas por div 
v
. Propriedades do divergente: 
 
  
    
     
( )
( )
( )
cv c v
v w v w
v v v
 
   
  
 
 
onde c é uma constante, 
v
 e 
w
 são vetores e  é uma função escalar 
 
1.4-3 O rotacional de um Campo Vetorial 
 
O produto vetorial entre  e 
v
 gera um vetor e é definido por 
 
 
 























  

 






 







 
 
   
   

  
  
      
v
xj
v
x
v
v
x
x x x
v v v
v
x
v
x
v
x
v
x
j
j
k k
k
j k
kj j
k i j k i
k
jkji




 


 


  

















 
 
 
 
det
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3
2
2
3
2
1
3
3
1
3
2
1
1
2




 
v
x
v
x







 
O produto vetorial 


v
 é denominado por rotacional de 
v
, rot 
v
. Note que a 
componente i de 


v
 é 



i j k
k
jkj
v
x
 


. 
 
Propriedades do Rotacional 
 
       
   
  
    
         
         
     
( )
( )
( )
( )
cv c v
v w v w
v v v v v
v w v w w v w v v w
v v v
 
   
    
         
  
  
 
onde c é uma constante , 
v
 e 
w
 vetores e 

 uma função escalar 
 
Deve-se destacar duas identidades relacionadas com rotacional, divergente e gradiente 
que são identicamente nulas. 
   
   
rot grad
x x
div rot v v
x
v
x
i i j k
j k
i j k
i j
 
 
 
 
 









   
    
0
0
 
 
 
1.4 Gradiente de um Campo Vetorial 
 
Adicionalmente ao produto escalar 


v
 e ao produto vetorial 


v
 pode-se formar 


v
: 
 
 












  
    
v
x
v
x
vi
i
j j i j
i
j
ji



  


 
 
 
Ele é chamado de gradiente de vetor 
v
 e pode também ser escrito como grad 
v
. Ele é 
um tensor de segunda ordem cuja componente ij é 

x
v
i
j
 
 
1.4-5 Divergência de um Campo Tensorial 
 
O produto vetorial entre um tensor e o operador  gera um vetor, ele é definido por: 
 





















 
 






  
 



     



 






x x
x x
ii
j k j k
kj
i j k
i
j k
kji
i j k
j k
ikji
k
i
i k
ik
 
 
 
 
  
  
 
Este produto é chamado de divergência de , div . A componente k de 

 é 



xi
i k
i
 
. Se  é o produto  
vw
, 
 
 
 
 























 
 





















 

 
 
 


 
   
  












 




 


  




 
i
ii
j
jj
i j
i jji
i
i
k i
ij
i k
i
k
ki
i j k
kji i j
k
i j k
kj
x x
x x
x
v
x x
v
x x
v
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
 
   
   
 
 
 

 






   





  
    
     
   





  
  
  

  
i i j
k
k
k
k
ii
i
x x
v
v
x
i v v v v v v
ii vw v w w v
iii v v v
iv v v v v v v
v v
vi
vii
u vw








 
 
 
 
 
 
 
 
 

     
     
  
     
  
2
2
2
1
2
1
2
0
0
)
)
)
)
)
)
)
  
   
  
 









   
     
 

 
   

   
vw
t t
viii v v v v v
v
x
v v v v
k i i k
k i
i
k
i
k





 
 
 )
2
2
2
 
 
1.4-6 Laplaciano de um Campo Escalar 
 
O divergente do gradiente de uma função escalar  é: 
 
 























 
 
 
 











 

i
ii
j
jj
i j
i jji ii
x x
x x x
 
2
2
 
 
A esta combinação de operadores de  é dado o nome de Laplaciano, 2. Em 
coordenadas cartesianas 
     2
2
1
2
2
2
2
2
3
2





x x x
 
 
 
1.4-7 Lalplaciano de um Campo Vetorial 
 
O divergente do gradiente de um vetor é: 
 
 
 
 
 





















 








 


 
    
  


v
x x
v
x x
v
x x
v
v
x
i
ij
i k
i
k
ki
i j k
kji i j
k
i j k
kji i j
k
k
k
k
ii



 


  




 






2
2
 
A componente k de 


v
 em coordenadas cartesianas é 
2vk
. 
 
 
 
 
Identidades Vetoriais-Tensoriais comumente utilizadas em Mecânica dos Fluidos 
 
 
   
   
 
 
 
 
   
i v v v v v v
ii vw v w w v
iii v v v
iv v v v v v v
v v
vi
vii
v
t t
v
viii v v v v v
v
xk
i
i
k
i
)
)
)
)
)
)
)
)
 
 
 
 
 
 
 
 
     
     
  
     



   
   





  
    
     
   





  
  
  






   
   
1
2
1
2
0
0
2






 
Quadro comparativo das Notações 
 
Notação Vetorial Notação Indicial Ordem do Tensor 

v
 (vetor) 
vi
 1 
 
u v
(produto escalar) uivi 0 
 
 
u v
i

 (produto vetorial) 
i j k j ku v 
 1 
 (tensor) ij 2 

uv
(produto diádico) uivj 2 
 

v
i
 (produto vetorial  com 
v
) ijvj 1 
  :
 (produto escalar 
  com 
) 
 i j j i 
 0 
grad = 
 (gradiente campo escalar) 

xi
 1 
div  
v v 
 (divergente) 


v
x
i
i
 0 
rot
 
 
v v 
 (rotacional) 



i j k
k
j
v
x
 
 1 
grad
 
 
v v 
 (gradiente campo vetorial) 

v
x
j
i
 2 
div
   
k
 (divergente campo vetorial) 


i k
t
 
 1 
div
 
   
vw vw
k
 
 (divergente campo tensorial) 


v w
x
i k
i
 1 
  2
 (laplaciano campo escalar) 
 

2
2
xi
 0 
      
 










f
t
dt dx
f A
A
t
dt
f B
B
t
dt
d
dt
f
t
dt dx
t
d
dt
sdV
s
t
dV s v n dS
v v
A
B
A
B
V V S
s





  






  






  





      
  
 



  
 a rea 
 a rea 
 a rea 
a rea a rea a rea
 do fluido 
 
[ , , , ]
( ) [ , , , ]
( ) [ , , , ]
, , , , , , , , ,
1 2 3 4
1 6 7 8
4 5 9 10
1
1 2 3 4 1 6 7 8 4 5 9 10

 
 
 
 




s
t
vs dV
s
t
v s s v dV
Ds
Dt
s v dV
V
V
V







    






  










 

 (laplaciano 
campo vetorial) 


2
2

v
x
k
i
 1 
Exemplo 1: Mostrar que a derivada direcional de  ao longo de curva C é dada por 



s
T grad
 
 onde 
T
 é o vetor unitário tangente a 

 em qualquer ponto 
Solução: O vetor unitário tangente a curva C é dado em coordenadas cartesianas 
por 
    
T
r
s
dx
ds
dx
ds
dx
ds
   


  1
1
2
2
3
3
 
onde 
r
 é o vetor posição, 
   
r x x x    1 1 2 2 3 3
 
e s o comprimento do arco C, conforme mostra fig abaixo 
 
 
 
 
Do cálculo, a derivada 

s
 é dada por 


  
s
d
dx
dx
ds
d
dx
dx
ds
d
dx
dx
ds
  
1
1
2
2
3
3
 
mas esta soma de produtos é idêntica a operação 
T
 portanto 

s
T 
 
Exemplo 2: Mostre que se  é uma função escalar tal que 
  ( , , , )x y z t
 então 
d dr
t
t


   d
 
Solução O vetor posição em coordenadas cartesianas é dado por 
 
  
r x x x    1 1 2 2 3 3
 e 
 dr dx dx dx
  
    1 1 2 2 3 3
 
 Do cálculo, o diferencial de  é: 
 
d
x
dx
y
dy
z
dz
t
dt
d dr
t
dt












   
  
mas
 
x1 
x2 
x3 
C 
dr comprimento de arco 
ds 
 
Exemplo 3: Demonstre a identidade: 
 
 
 
    
v v v v v   





  
1
2
2
 
Solução: 
 
    
  
 
   
  

  
 

v
dv
dx
v v v v
v v A
v
x
k k l m
m
l
i i j k j k
i i j k k l m j
m
l


 


 
 
 
 
 
 Definindo o desta de Kronecher: 
 ij =0 se i = j 
 ij =1 se i  j 
 o produto 
       i j k k l m k i j k l m i l j m i m j l   
 
 portanto 
  
  
v v v
dv
dxi
i l j m i m j l j
m
l
       
 
mas 
 j m j j j mv v porque   0
 quando 
j m
 e 
 j m  1
 quando 
j m
. Procedendo de maneira similar; 
  
 
 
 
 
 
v v v
v
x
v
v
x
x
v v v v
v v v
i j
j
i
j
i
j
i
j j
   






  
 





  






 
 
1
2
1
2
2
 
 
 
 
Teorema de Stokes 
 
O teorema de Stokes relaciona a integral do vetor 
A
 ao longo do contorno fechado C 
com a integral de superfície do rotacional de 
A
 na superfície S circunscrita pelo contorno C. 
 
   
  
A A
C
    dl ds
S
 
A demonstração do teorema de Stokes é uma decorrência do fato que a intensidade do 
rotacional de 
A
 num ponto P é o limite da circulação por unidade de área quando a curva C 
tende para o ponto P, 
 
  
n
s
dL
s C
   
 A Alim 0
1
 
Demonstração 
 
Considere o retângulo EFGH com lados y e x,    
A = A A A1 2 i j k  3
e 
dLz
 
representa o contorno EFGH, o subíndice z indica que ele está contido no plano 
xy. 
 
 
 
 
 
 
 
P 
x 
y 
z 

i 

j
 

k
 
x 
y 
 
 
 
 
Para o contorno C; curva EFGH, contido no plano xy, o produto  
A dL
 é: 
 
 
 
 
 
lado FE y; A Ap
A
lado FG x; A Ap
A
lado GH y; A Ap
A
lado HE x; A Ap
A
     





 
     






     





 
     






dL j dL
x
x
y
dL i dL
y
y
x
dL j dL
x
x
y
dL i dL
y
y
x
z
z
z
z
   
   
   
   




















2
1
2
1
2
2
2
2
 
 
Somando-se os resultados acima encontra-se 
 
   
A
A
x
A
x
A  





   dL x y k x y
s
z




2 1    

 
 
Por integração similar em torno do retângulo em planos xz e zy chega-se a: 
 
 
   
   
A
A
y
A
z
A 
A
A
z
A
x
A 
  





   
  





  
dL y z i y z
dL x z j x z
x
y








3 2
1 2
   
   
 
 
Para um contorno no espaço 
x y z dL dL dL dLx y z, , , 
   
  
 então 
 
   
A A   dL s
 
 
onde 


s
 é o vetor normal à superfície. Integrando-se a equação acima obtêm-se 
 
   
A A    dL dsC
 
 
Outras transformações de integrais de superfíciepara integrais de linha, decorrentes 
do teorema se Stokes são: 
 
 
dr ds
dr ds
C
s
C
 
   
 
 
 
  A = A
s
 
 
em notação indicial: 
   


i j k
k
js
i i i
Cx
n ds a dr 
 
 
 
A
 
 
1.6 O teorema de Gauss 
 
O teorema de Gauss é dado por: 
      
  
v dV n v dS
V S
 
 
A integral de volume da divergência do vetor 
v
 é igual à integral de superfície do 
vetor 
v
 sobre superfície fechada que envolve o volume. A integral de superfície 
 
 
v n dS
S

 
é definida como o fluxo de 
A
 que passa através da superfície S. Então a integral 
 
 
v n dS
S

 
é o fluxo resultante total que atravessa a superfície fechada S. Logo, o teorema de Gauss 
mostra que a divergência de 
A
 num ponto P é o limite do fluxo resultante total que sai, por 
unidade de volume, quando S tende ao ponto P. 
O teorema de Gauss é demonstrado a partir do fato que a divergência de um vetor 
v
 , 
div 
v
 ou  
v
, pode ser definida por 
 
   
 

v
v
n v dS
S 0
lim
 
 
Outras transformações de integrais de volume em integrais de superfície, decorrente 
do teorema de Gauss: 
   
  
  
  



dV n dS
vdV n vdS
dV n dS
SV
SV
SV

  


 
 
 
em notação tensorial: 
 


 
x
v dV n v dS
i
i i i
SV 
  
 
 
Note que em todas relações de transformação de integral de superfície para integral de 
volume o vetor 
n
 é substituído pelo operador nabla 

. 
 
1.7 Regra de Leibnitz 
 
Frequentemente é necessário lidar com uma função (t) definida pela integral do tipo 
   
 
 
 t f x t dx
A t
B t
  ,
 
 
Em particular uma expressão para a derivada 
  t
 é querida. Se os limites A e B são 
contínuos e finitos a expressão se reduz a: 
         
 

t
d
dt
d
dt
f x t dx
t
f x t dx
A
B
A
B
, ,
 
 
No entanto se os limites não são constantes, pode-se pensar que 

 seja diretamente 
dependente de t e indiretamente dos valores intermediários de A e B. A diferenciação de 
  t
 pode então ser expressa pela regra de Leibnitz: 
 
 
   
   
d
dt
d
dt
f x t dx
f x t
t
dx f B t
B
t
f A t
A
t
A t
B t
A
B
 





    ,
,
, ,
 
 
 
Note que a taxa de variação da integral é igual a soma de três termos. O primeiro 
termo é a contribuição devido ao aumento de 


f
t
 entre os limites A e B. O segundo e 
terceiro termos aparecem porque os limites de integração estão se movendo. Isto decorre do 
fato que f em x=A e x=b é trazido à integral com uma velocidade 
dA
dt
dB
dt
 e 
 
respectivamente. A figura seguinte descreve os termos desta equação multiplicados por um 
incremento dt 
 
 
 
 
 
 


B
t
dt
 


A
t
dt
 
f(A) 
f(B) 


f
t
dt
 
f(t+dt) 
f((t) 
f
 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Leibnitz em uma direção 
 






f
t
dt dx
f A
A
t
dt
f B
B
t
dt
A
B




  






  






  
 a rea 
 a rea 
 a rea 
[ , , , ]
( ) [ , , , ]
( ) [ , , , ]
1 2 3 4
1 6 7 8
4 5 9 10
 
então 
      
d
dt
f
t
dt dx
tA
B 






      
 
a rea a rea a rea
1
1 2 3 4 1 6 7 8 4 5 9 10

, , , , , , , , ,
 
 
Extensão do teorema de Leibnitz para uma Integral tripla. 
Considere V um volume fechado de superfície S movendo-se no espaço; considere 
que a velocidade de qualquer elemento da superfície seja vs. Então, se s(x,y,z,t) é uma função 
escalar da posição e do tempo, 
 
d
dt
sdV
s
t
dV s v n dS
V V S
    


 
 
 
Lembre-se que V e S são funções do tempo, isto é V=V(t) e S=S(t) 
Se 
 
v vs   do fluido 
 
 
 
 

n v sdA
v v dA
vA dV
s
S
s






 T.G.
V
 
    A(t+dt) A(t
) 
B(t+dt
) 
B(t) 
 
 
 
 






    






  













s
t
vs dV
s
t
v s s v dV
Ds
Dt
s v dV
V
V
V

 

 
 
 
 
 Referências - Capítulo 1 
 
[1] Hsn,H. P; “Análise Vetorial”, Livros Técncos e Científicos Editora Ltda 
(1972) 
[2] Hildebrand, F. B.; “Advanced Calculus for Applications”, Prentice-Hall 
(1976) 
[3] Panton, R; “incompressible Flow”, Jhon Wiley (1984) 
[4] Brodkey, R.S.; “The phenomena of fluid Motions”, Addison-Wesley 
Publishing Co (1987) 
[5] Bird, R.B.; Armstrong, R.C. e Hassiger, O; “Dynamics of Polimeric Liquids”, 
Jhon Wiley & Sons (1987) 
[6] Morse, P.M. e Feshbach, H.;”methods of Theoretical Physics”, Mc Graw Hill, 
NY (1953)