Lista6 Funções e Cardinalidade MatDis

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Lista 6 de Matemática Discreta I
Funções e cardinalidade
1. Por que f : R→ R dada abaixo não é uma função.
(a) f (x) = 1/x.
(b) f (x) =
√
x.
(c) f (x) = ±√x2 + 1.
2. Verifique se f : Z→ R é uma função.
(a) f (n) = ±n.
(b) f (n) =
√
n2 + 1.
(c) f (n) =
1
n2 − 4
3. Verificar se as funções abaixo de Z em Z são injetivas e sobrejetivas.
(a) f (n) = n − 1.
(b) f (n) = n2 + 1.
(c) f (n) = n3.
4. Verificar se as funções abaixo f : Z ×Z 7→ Z são sobrejetivas.
(a) f (m,n) = m + n.
(b) f (m,n) = m2 + n2.
(c) f (m,n) = m.
(d) f (m,n) = |m|.
(e) f (m,n) = m − n
5. Dê um exemplo de uma função deN emN que é:
(a) injetiva, mas não sobrejetiva.
(b) sobrejetiva, mas não injetiva.
1
2
(c) bijetiva.
(d) nem injetiva e nem sobrejetiva.
6. Determine quais das seguintes funções é uma bijeção de R em R.
(a) f (x) = 2x + 1.
(b) f (x) = x2 + 1.
(c) f (x) = x3.
(d) f (x) =
x2 + 1
x2 + 2
.
7. Mostre que a função f (x) = ex com domínio em R e contradomínio em R não é
uma função invertível, mas se seu contradomínio for restrito ao conjunto dos reais
positivos, então a função resultante é invertível.
8. Seja f (x) = 2x. O que é f (Z), f (N) e f (R).
9. Suponha que g é uma função de A em B e que f é uma função de B em C. Mostre
que:
(a) Se ambos f e g forem injetivas, então f ◦ g também o é.
(b) Se ambos f e g forem sobrejetivas, então f ◦ g também o é.
10. Ache f ◦ g e g ◦ f , onde f (x) = x2 + 1 e g(x) = x2 + 2 são funções de R em R. Ache
também f + g e f g.
11. Sejam f (x) = ax + b, g(x) = cx + d, onde a, b, c e d são constantes. Determine para
que valores das constantes a, b, c e d podemos ter f ◦ g = g ◦ f .
12. Mostre que a função f (x) = ax + b de R em R é invertível com a e b constantes e
a , 0. Ache a sua inversa.
13. Seja f : A→ B. Sejam S e T subconjuntos de A. Mostre que:
(a) f (S ∪ T) = f (S) ∪ f (T).
(b) f (S ∩ T) ⊂ f (S) ∩ f (T).
14. Suponha que f : Y→ Z e que g : X→ Y são duas funções invertíveis. Mostre que
a inversa da composta f ◦ g é dada por ( f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f −1.