P2EqDif2016 1

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
2a¯ prova de Equac¸o˜es Diferenciais (2016-1) - 28/07/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2
2 2
3 2
4 4
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada questa˜o
de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O
mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2 pontos)
Seja α ∈ R uma constante, e denote por L a Transformada de Laplace. Mostre que:
(a) L( sen(αt))(s) = α
s2 + α2
, para s > 0.
(b) L(tneαt)(s) = n!
(s− α)n+1 , para s > α e n ∈ N.
Questa˜o 2 (2 pontos)
Determine a Transformada de Laplace inversa de F (s) =
1
s4(s2 + 1)
, utilizando:
(a) Frac¸o˜es parciais. (b) Convoluc¸a˜o.
Questa˜o 3 (2 pontos)
Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais utilizando a Transformada de Laplace:
(a) x′(t)− 3x(t) = e2t para t ≥ 0, com condic¸a˜o inicial x(0) = 1.
(b) x′′(t)− 6x′(t) + 9 x(t) = t2e3t para t ≥ 0, com condic¸o˜es iniciais x(0) = 2 e x′(0) = 6.
Questa˜o 4 (4 pontos)
Para cada uma das seguintes matrizes:
A =
( −3 2
−1 −1
)
A =
(
1 3
4 2
)
(a) Resolva o sistema x′(t) = Ax(t), com condic¸a˜o inicial x(0) =
(
x1(0), x2(0)
)
.
(b) Esboce o correspondente retrato de fases.