Lista Sequencias e Series professora Lucy

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT 029 - EQUAES DIFERENCIAIS I – Profa. Lucy Tiemi Takahashi
1. Verifique se cada uma das sequeˆncias, cujo termo geral e´ dado abaixo, converge
ou diverge. No caso em que a sequeˆncia convergir, calcule seu limite.
(a)an = (e
n + n)2/n (b)an =
bn+1
bn
, sendo bn =
1
n(lnn)2
(c)an =
bn+1
bn
, sendo bn =
n!
nn
2. Nos exerc´ıcios seguintes, verificar se as se´ries dadas sa˜o convergentes ou divergen-
tes e, no caso de convergeˆncia, dizer se e´ convergeˆncia absoluta ou condicional.
(a)
+∞∑
n=1
(−1)nn3
en
(b)
+∞∑
n=1
(−1)n−1 3n− 1
10n+ 2
(c)
+∞∑
n=1
(−1)n−1 2
2n−1
(2n− 1)! (d)
+∞∑
n=1
(−1)n+\\1√
n
(e)
+∞∑
n=1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
2nn!
(f)
+∞∑
n=1
sen
(pi
n
)
(g)
+∞∑
n=2
(−1)n
n
√
ln(n)
(h)
+∞∑
n=1
(−1)n
n ln(n) ln(ln(n))
3. Determine o intervalo e o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias dada.
(a)
+∞∑
n=0
(2n+ 3)! xn
2n!(2n+ 5)!
Resp.Ic = (−∞,+∞), Rc = +∞.
(b)
+∞∑
n=1
(−1)n−1 (x− 2)
n
√
3n
Resp.Ic = (1, 3], Rc = 1.
(c)
+∞∑
n=1
(−1)n x
n
(2n− 1)32n−1 Resp.Ic = (−9, 9], Rc = 9.
(d)
+∞∑
n=1
xn
2n
√
n
Resp.Ic = [−1, 1], Rc = 1.
(e)
+∞∑
n=1
n(x− 2)n Resp.Ic = (1, 3), Rc = 1.
(f)
+∞∑
n=0
(x+ 3)n
2n
Resp.Ic = (−5,−1), Rc = 2.
1
(g)
+∞∑
n=1
(−1)n+12
nxn
n3n
Resp.Ic =
(
−3
2
,
3
2
]
, Rc =
3
2
.
4. Verifique se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(a) ( ) lim
n→∞
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) = 0
(b) ( ) Sejam (an) e (bn) duas sequeˆncias tais que, para todo n ∈ N, temos
an ≤ bn. Se (bn) e´ convergente enta˜o (an) e´ convergente.
(c) ( ) Se (an) e´ uma sequeˆncia limitada enta˜o (an) converge.
(d) ( ) Seja
∞∑
n=1
an uma se´rie convergente tal que, para todo n ∈ N, temos
an ≥ 0, enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
√
an converge.
(e) ( ) Toda se´rie convergente e´ absolutamente convergente.
(f) ( ) Se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sa˜o convergentes, enta˜o
∞∑
n=1
anbn e´ convergente.
(g) ( ) Para todo inteiro positivo k a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)n
k
√
n
converge.
(h) ( ) Se uma se´rie de poteˆncias e´ absolutamente convergente em um dos
extremos de seu intervalo de convergeˆncia, enta˜o ela tambe´m converge ab-
solutamente no outro extremo.
(i) ( ) Se uma se´rie de poteˆncias converge em um extremo de seu intervalo
de convergeˆncia e diverge no outro, enta˜o a convergeˆncia naquele extremo e´
condicional.
(j) ( ) Um se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
an pode convergir apenas em dois valores de
x ∈ R.
(k) ( ) Se
∞∑
n=1
an converge absolutamente, an 6= 0, enta˜o
∞∑
n=1
1
|an| diverge.
(l) ( ) Se
∞∑
n=1
cn(x−a)n tem raio de convergeˆncia R, enta˜o as se´ries
∞∑
n=1
ncn(x−
a)n−1 e
∞∑
n=1
cn
n+ 1
(x− a)n+1 tambe´m teˆm raio de convergeˆncia R.
2
(m) ( ) Se
∞∑
n=1
an converge, enta˜o
∞∑
n=1
(an)
2 converge.
(n) ( ) Se
∞∑
n=1
an converge absolutamente, enta˜o
∞∑
n=1
(an)
2 converge.
5. Seja f a func¸a˜o definida pela se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
xn+1
(n+ 1)2
= x+
x2
4
+
x3
9
+ · · ·+ x
n+1
(n+ 1)2
+ . . .
(a) Ache o domı´nio de f .
Resp. Df = [−1, 1]
(b) Escreva a se´rie de poteˆncias que define a func¸a˜o f ′ e determine o domı´nio
de f ′.
Resp. Df = [−1, 1)
6. Obtenha uma se´rie de poteˆncias que represente a func¸a˜o g(x) =
1
(1− x)2 e o seu
intervalo de convergeˆncia.
7. Obtenha uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para cada func¸a˜o abaixo e
determine o intervalo de convergeˆncia.
(a) f(x) =
3
1− x4
(b) g(x) = ln(x+ 3)
(c) h(x) =
x2
(1 + x)3
3