CalcI_Resp4aLista

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ALGUMAS RESPOSTAS DA 4a LISTA DE EXERCI´CIOS DE CA´LCULO I
1) a) 0, b) cos x, c) (−1)n n!
xn+1
2) a) c = e− 1, b) c = 2 + 3√2
3) (n−1)!
xn
4) a) 1
(1+arcsenx)2
√
1−x2 , b) sec x, c)
1
x
, d) −1
x
√
1−x2 , e) y
′ = xx (1 + ln x),
f) y′ = 2 e
x√
2−e2x
5) a) − 1 ≤ x ≤ 0, b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, c) −∞ < x <∞
6) a) Crescimento: [0, 1] ∪ [3,∞), Decrescimento: (−∞, 0] ∪ [1, 3]
b) Crescimento: (−∞, 0] ∪ [2,∞), Decrescimento: [0, 2]
7) a) x = 1
3
, x = −1, b) x = 0, x = −2, c) x = 0, d) x = 0
8) a) y(1) = −1 e´ o valor mı´nimo e y(3) = 19 e´ o valor ma´ximo.
b) y(1) = 0 e´ o valor mı´nimo e y(2) = 27 e´ o valor ma´ximo.
c) g(−1) = −√3 e´ o valor mı´nimo e g(√2) = 2 e´ o valor ma´ximo.
d) y(pi
3
) = pi
3
−√3 e´ o valor mı´nimo e y(−pi
3
) = −pi
3
+
√
3 e´ o valor ma´ximo.
e) Na˜o tem. f) Na˜o tem.
g) y(−4+
√
13
3
) = −70−26
√
13
27
e´ o valor mı´nimo e y(2) = 31 e´ o valor ma´ximo.
10) x = 45
2
, y = 45
2
11) x = 10
√
2, y = 10
√
2
12) x = 15
√
10, y = 10
√
10 sa˜o as dimenso˜es do terreno.
13) x = y = 40 e z = 20 sa˜o as dimenso˜es da caixa que minimizam a quantidade de
material.
14) O ponto mais pro´ximo da reta e´ (−17
10
,−11
10
). A distaˆncia mı´nima e´ 9
√
10
10
.
15) Dimenso˜es: x = 3
√
2
2
, y =
√
2. Amax = 12.
19) α = pi
2
.
20) R =
√
6
3
r, H = 2
√
3
3
r sa˜o o raio e altura de maior volume poss´ıvel que pode ser inscrito
numa esfera de raio r.
21) Sejam x = distaˆncia da base da escada a` base da cerca, y = distaˆncia da topo da escada
ao cha˜o. Por semelhanc¸a de triaˆngulos, y
x+6
= 36
x
. Por Pita´goras, o comprimento da
escada e´
d =
√
(x+ 6)2 + y2
Ou seja, d =
√
(x+ 6)2(1 + (36)
2
x2
), x > 0. Derivando, achamos, usando o Teste da
derivada primeira, que x = 6 3
√
36 e´ o ponto de mı´nimo absoluto da distaˆncia.
A distaˆncia mı´nima e´ d = 6
√
(1 + 3
√
36)3.
22) Dimenso˜es: 30 e 45.
24) Comprimento do lado dos quadrados: x = 15
2
.
25) α = pi
3
27) r
√
2 e r
√
2
2
.
28) x = pedac¸o para formar um quadrado.
y = pedac¸o para formar um c´ırculo.
A soma das a´reas e´ ma´xima se x = 0 e y = l.
A soma das a´reas e´ mı´nima se x = 4 l
pi+4
e y = pi l
pi+4
.
29) O volume e´ ma´ximo quando a medida do lado recortado e´ x = 5−
√
13
3
.
30) Deve escavar na terra a distaˆncia AC = 400−15
√
2
2
.
31) Comprimento da maior barra de ferro: (a2/3 + b2/3)3/2.