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1a Lista de Probabilidade e Estatística - Engenharia de Minas Tema: Probabilidade e probabilidade condicionada Data: Aluno: Questão 1 Se P(A ∪ B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x. Deter- mine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente exclusivos; R: x = 0.3 b) A e B serem independentes. R: x = 0.6 Questão 2 Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com 4 alternativas com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba resposta certa de uma questão é de 30%. Se ele não sabe a resposta, existe a possibilidade de acertar "no chute". Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por "cola". Se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta? R: 0.6316 Questão 3 Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Um segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca. R: 19/30 Questão 4 Um dado A tem 3 faces brancas e 3 pretas; um dado B possui 2 faces brancas, 2 pretas e 2 vermelhas; um dado C possui 2 faces brancas e 4 pretas, e um dado D, 3 brancas e 3 pretas. Lançam-se quatro dados. Qual a probabilidade de que: a) pelo menos uma face seja branca? R: 8/9 b) três sejam pretas? R: 1/4 Questão 5 As probabilidades de 3 funcionários A,B e C sofrerem acidentes em uma mina é 2/3,4/5 e 7/10 respectivamente. Se cada um sofrer acidente uma única vez, qual a probabilidade que pelo menos um sofra acidente?R: 49/50 Questão 6 Uma empresa do ramo de granitos possui 10 funci- onários que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m; e 70 que ganham menos de 10 s. Três pessoas dessa empresa são selecionadas. Determinar a probabili- dade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. R: 0.973 Questão 7 Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro das peças que são produzidas pela máquina 2. No entanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, en- quanto somente cerca de 2% de defeituosas produz a máquina 2. Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total. Qual será a probabilidade de que essa amostra contenha 2 peças defeituosas? R:0.038 Questão 8 Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo, aleatoriamente, o ponto de furo. Não en- contrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade de 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa região. Calcule a probabilidade de: a) Encontrar água na segunda tentativa. R: 0.210 b) Encontrar água em até duas tentativas.R: 0.910 c) Encontrar água. R: 0.973 Questão 9 Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para um laboratório químico que analisa rochas. Apesar de serem apa- relhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação de medidas efetuadas. A tabela a seguinte apre- senta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica. Fábrica I Subestima Exata Superestima Probabilidade 0.01 0.98 0.01 Fábrica II Subestima Exata Superestima Probabilidade 0.005 0.98 0.015 Fábrica III Subestima Exata Superestima Probabilidade 0.00 0.99 0.01 As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos qual é a probabilidade de: a) Haver superestimação de medidas? R: 0.012 b) Não haver subestimação das medidas efetuadas? R: 0.997 c) Dando medidas exatas, ter sido da fábrica III? R: 0.503 d) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas? R: 0.199 Questão 10 Sejam A e B dois eventos de Ω, tal que P(B) > 0. Mostre que: a) Se P(A/B) = P então P(A ∩ B) = P(A) · P(B). b) Se P(A ∩ B) = P(A) · B então A e B são independentes. RESOLUÇÃO... 1. a) mutuamente exclusivos, temos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois P(A ∩ B) = 0. Logo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =⇒ 0, 8 = 0, 5 + x =⇒ x = 0, 3 Independentes b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) =⇒ 0, 8 = 0, 5 + x − (0, 5 · x) =⇒ x=0,6 2. Vamos resolver os problemas nomeando as variáveis e Seja S: o aluno realmente sabe a resposta e A: O aluno acertou a questão. Logo: P(S/A) = P(S ∩ A) P(A) = 0, 3 0, 475 =⇒ P(S/A) = 0, 6316 3. Sabemos que a Urna I possui 3B e 2A e a Urna II possui 4B e 2 amarelas. Logo: • P(I) = 1 2 • P(II) = 1 2 • P(B/I) = 3 5 • P(B/II) = 4 6 = 2 3 Logo a bola branca pode ocorrer B = (B ∩ I) ∪ (B ∩ II) =⇒ P(B) = P(B ∩ I) + P(B ∩ II) =⇒ P(B) = P(I) · P(B/I) + P(II) · P(B/II) P(B) = 1 2 · 3 5 + 1 2 · 2 3 = =⇒ P = 19 30 4. Sabemos que no dados dados temos as seguintes configurações: dado A(3B e 3P), dado B(2B, 2P, 2V), dado C(2B, 4P) e dado D(3B,3P). Cuidado pois as probabilidades das cores não são as mesmas nos quatro dados. Logo: a) P(B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4) = 1 − P(B¯1) · P(B¯2) · P(B¯3) · P(B¯4) = 1 − 36 · 4 6 · 4 6 · 3 6 = 1 − 1 9 = 8 9 b) P(3P) = P(P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ P¯4) + P(P1 ∩ P2 ∩ P¯3 ∩ P4) + P(P1 ∩ P¯2 ∩ P3 ∩ P4) + P(P¯1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ P4) P(3P) = 3 6 · 2 6 · 4 6 · 3 6 + 3 6 · 2 6 · 2 6 · 3 6 + 3 6 · 4 6 · 4 6 · 3 6 + 3 6 · 2 6 · 4 6 · 3 6 = 1 18 + 1 36 + 1 9 + 1 18 = 9 36 = 1 4 5. Sabemos que P(A) = 2 3 , P(B) = 4 5 e P(C) = 7 10 . Logo: P(A ∪ B ∪ C) = 1 − P(A¯ ∩ B¯ ∩ C¯) = 1 − P(A¯) · P(B¯) · P(C¯) = 1 − 1 3 · 1 5 · 3 10 = 1 − 1 50 = 49 50 6. Vamos definir as seguintes variáveis: • A: a pessoa ganha mais de 20 s.m =⇒ P(A) = 0, 10 • B: a pessoa ganha entre 10 e 20 s.m =⇒ P(B) = 0, 20 • C: a pessoa ganha menos de 10 s.m =⇒ P(C) = 0, 70 Logo: P(C ∪ C ∪ C) = 1 − P(C¯) · P(C¯) · P(C¯) = 1 − 0, 3 · 0, 3 · 0, 3 = 1 − 0, 027 = 0, 973 7. Resolvendo... Vamos fazer a seguinte nomeação: • p=Produção da máquina 2 • 2p=Produção da máquina 1 • D=Peça defeituosa • M1=Máquina 1 • M2=Máquina 2 Então: P(D) = P(M1) · P(D/M1) + P(M2) · P(D/M2) = 2p3p · 4% + p 3p · 2% = 2 3 · 4% + 1 3 · 2% = 1 3 · (8 + 2) = 1 30 . Logo: P(A¯) = 1 − p = 29 30 . Temos que: P(X = k) = ( n k ) pk(1 − p)n−k. =⇒ P(X = 2) = ( 10 2 ) ( 1 30 )2 (29 30 )8 = 0.0381 8. Resolvendo... a) Fazemos a multiplicação de não encontrar água na primeira tentativa e de encontrar na segunda tentativa. Assim 0, 3 · 0, 7 = 0, 21 b) Aqui somamos as probabilidades de se encontrar água nas duas tentativas, de encontrar água na primeira e não na segunda e de não encontrar na primeira e encontrar na segunda. Logo: (0, 7 · 0, 7) + (0, 7 · 0, 3) + (0, 3 · 0, 7) = 0, 91 c) Segundo o enunciado faz-se três tentativas. Portanto op raciocínio é análogo ao item anterior (b). Assim: (0, 7 · 0, 7 · 0, 7) + 3 · (0, 3 · 0, 3 · 0, 7) + 3 · (0, 7 · 0, 7 · 0, 3) = 0, 973 9. Resolvendo... a) P(Superest) = (0, 2 · 0, 01) + (0, 3 · 0, 015) + (0, 5 · 0, 01) = 0, 012. b) P(nao.subest) = 1 − P(subest) = 1 − [(0, 2 · 0, 01) + (0, 3 · 0, 005)] = 0, 997. c) Primeiro calculamos a probabilidade da medida se exata. Assim: P(Exata) = (0, 2 · 0, 98) + (0, 3 · 0, 98) + (0, 5 · 0, 99) = 0, 985. Agora sim calculamos a probabilidade condicional do equipamento ser da fábrica III, dado que a medida foi exata. Logo: P(Fab.III/Exata) = P(Exata/Fab.II) · P(Fab.III) P(Exata) = 0, 99 · 0, 5 0, 985 = 0, 503 d) Como já calculamos a probabilidade de não haver medidas subestimadas no item b), nos resta calcular a probabi- lidade condicional abaixo: P(Fab.I/nao.subest) = P(nao.subest/Fab.I) · P(Fab.I) P(nao.subest) = 0, 99 · 0, 2 0, 9965 = 0.199 10. Resolvendo... a) P(A/B)= P(A) · P(B) P(B) = P(A) · P(B) P(B) = P(A). b) P(A ∩ B) = P(A) · P(B) P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) = P(A) =⇒ P(B/A) = P(B ∩ A) P(A) = P(B)
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