Lista Resolvida de Probabilidade Condicionada

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1a Lista de Probabilidade e Estatística - Engenharia de Minas
Tema: Probabilidade e probabilidade condicionada Data:
Aluno:
Questão 1 Se P(A ∪ B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x. Deter-
mine o valor de x no caso de:
a) A e B serem mutuamente exclusivos; R: x = 0.3
b) A e B serem independentes. R: x = 0.6
Questão 2 Um aluno responde a um teste de múltipla escolha
com 4 alternativas com uma só correta. A probabilidade de que ele
saiba resposta certa de uma questão é de 30%. Se ele não sabe a
resposta, existe a possibilidade de acertar "no chute". Não existe a
possibilidade de ele obter a resposta certa por "cola". Se ele acertou
a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta?
R: 0.6316
Questão 3 Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Um
segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao
acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual
a probabilidade de que seja branca. R: 19/30
Questão 4 Um dado A tem 3 faces brancas e 3 pretas; um dado B
possui 2 faces brancas, 2 pretas e 2 vermelhas; um dado C possui
2 faces brancas e 4 pretas, e um dado D, 3 brancas e 3 pretas.
Lançam-se quatro dados. Qual a probabilidade de que:
a) pelo menos uma face seja branca? R: 8/9
b) três sejam pretas? R: 1/4
Questão 5 As probabilidades de 3 funcionários A,B e C sofrerem
acidentes em uma mina é 2/3,4/5 e 7/10 respectivamente. Se cada
um sofrer acidente uma única vez, qual a probabilidade que pelo
menos um sofra acidente?R: 49/50
Questão 6 Uma empresa do ramo de granitos possui 10 funci-
onários que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m), 20 que
ganham entre 10 e 20 s.m; e 70 que ganham menos de 10 s. Três
pessoas dessa empresa são selecionadas. Determinar a probabili-
dade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. R: 0.973
Questão 7 Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro
das peças que são produzidas pela máquina 2. No entanto, 4%
das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, en-
quanto somente cerca de 2% de defeituosas produz a máquina 2.
Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada.
Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total.
Qual será a probabilidade de que essa amostra contenha 2 peças
defeituosas? R:0.038
Questão 8 Uma companhia que fura poços artesianos trabalha
numa região escolhendo, aleatoriamente, o ponto de furo. Não en-
contrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também
não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita
probabilidade de 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa
região. Calcule a probabilidade de:
a) Encontrar água na segunda tentativa. R: 0.210
b) Encontrar água em até duas tentativas.R: 0.910
c) Encontrar água. R: 0.973
Questão 9 Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para
um laboratório químico que analisa rochas. Apesar de serem apa-
relhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou
superestimação de medidas efetuadas. A tabela a seguinte apre-
senta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica.
Fábrica I Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.01 0.98 0.01
Fábrica II Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.005 0.98 0.015
Fábrica III Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.00 0.99 0.01
As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e
50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses
aparelhos e perguntamos qual é a probabilidade de:
a) Haver superestimação de medidas? R: 0.012
b) Não haver subestimação das medidas efetuadas? R: 0.997
c) Dando medidas exatas, ter sido da fábrica III? R: 0.503
d) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas?
R: 0.199
Questão 10 Sejam A e B dois eventos de Ω, tal que P(B) > 0.
Mostre que:
a) Se P(A/B) = P então P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
b) Se P(A ∩ B) = P(A) · B então A e B são independentes.
RESOLUÇÃO...
1. a) mutuamente exclusivos, temos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois P(A ∩ B) = 0. Logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =⇒ 0, 8 = 0, 5 + x =⇒ x = 0, 3
Independentes
b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) =⇒ 0, 8 = 0, 5 + x − (0, 5 · x) =⇒ x=0,6
2. Vamos resolver os problemas nomeando as variáveis e Seja S: o aluno realmente sabe a resposta e A: O aluno acertou
a questão. Logo:
P(S/A) =
P(S ∩ A)
P(A)
=
0, 3
0, 475
=⇒ P(S/A) = 0, 6316
3. Sabemos que a Urna I possui 3B e 2A e a Urna II possui 4B e 2 amarelas. Logo:
• P(I) = 1
2
• P(II) = 1
2
• P(B/I) = 3
5
• P(B/II) = 4
6
=
2
3
Logo a bola branca pode ocorrer
B = (B ∩ I) ∪ (B ∩ II) =⇒ P(B) = P(B ∩ I) + P(B ∩ II) =⇒ P(B) = P(I) · P(B/I) + P(II) · P(B/II)
P(B) =
1
2
· 3
5
+
1
2
· 2
3
= =⇒ P = 19
30
4. Sabemos que no dados dados temos as seguintes configurações: dado A(3B e 3P), dado B(2B, 2P, 2V), dado C(2B, 4P)
e dado D(3B,3P). Cuidado pois as probabilidades das cores não são as mesmas nos quatro dados. Logo:
a) P(B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4) = 1 − P(B¯1) · P(B¯2) · P(B¯3) · P(B¯4) = 1 − 36 ·
4
6
· 4
6
· 3
6
= 1 − 1
9
=
8
9
b) P(3P) = P(P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ P¯4) + P(P1 ∩ P2 ∩ P¯3 ∩ P4) + P(P1 ∩ P¯2 ∩ P3 ∩ P4) + P(P¯1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ P4)
P(3P) =
3
6
· 2
6
· 4
6
· 3
6
+
3
6
· 2
6
· 2
6
· 3
6
+
3
6
· 4
6
· 4
6
· 3
6
+
3
6
· 2
6
· 4
6
· 3
6
=
1
18
+
1
36
+
1
9
+
1
18
=
9
36
=
1
4
5. Sabemos que P(A) =
2
3
, P(B) =
4
5
e P(C) =
7
10
. Logo:
P(A ∪ B ∪ C) = 1 − P(A¯ ∩ B¯ ∩ C¯) = 1 − P(A¯) · P(B¯) · P(C¯) = 1 − 1
3
· 1
5
· 3
10
= 1 − 1
50
=
49
50
6. Vamos definir as seguintes variáveis:
• A: a pessoa ganha mais de 20 s.m =⇒ P(A) = 0, 10
• B: a pessoa ganha entre 10 e 20 s.m =⇒ P(B) = 0, 20
• C: a pessoa ganha menos de 10 s.m =⇒ P(C) = 0, 70
Logo:
P(C ∪ C ∪ C) = 1 − P(C¯) · P(C¯) · P(C¯) = 1 − 0, 3 · 0, 3 · 0, 3 = 1 − 0, 027 = 0, 973
7. Resolvendo...
Vamos fazer a seguinte nomeação:
• p=Produção da máquina 2
• 2p=Produção da máquina 1
• D=Peça defeituosa
• M1=Máquina 1
• M2=Máquina 2
Então:
P(D) = P(M1) · P(D/M1) + P(M2) · P(D/M2) = 2p3p · 4% +
p
3p
· 2% = 2
3
· 4% + 1
3
· 2% = 1
3
· (8 + 2) = 1
30
. Logo:
P(A¯) = 1 − p = 29
30
. Temos que:
P(X = k) =
(
n
k
)
pk(1 − p)n−k. =⇒ P(X = 2) =
(
10
2
) ( 1
30
)2 (29
30
)8
= 0.0381
8. Resolvendo...
a) Fazemos a multiplicação de não encontrar água na primeira tentativa e de encontrar na segunda tentativa. Assim
0, 3 · 0, 7 = 0, 21
b) Aqui somamos as probabilidades de se encontrar água nas duas tentativas, de encontrar água na primeira e não
na segunda e de não encontrar na primeira e encontrar na segunda. Logo:
(0, 7 · 0, 7) + (0, 7 · 0, 3) + (0, 3 · 0, 7) = 0, 91
c) Segundo o enunciado faz-se três tentativas. Portanto op raciocínio é análogo ao item anterior (b). Assim:
(0, 7 · 0, 7 · 0, 7) + 3 · (0, 3 · 0, 3 · 0, 7) + 3 · (0, 7 · 0, 7 · 0, 3) = 0, 973
9. Resolvendo...
a) P(Superest) = (0, 2 · 0, 01) + (0, 3 · 0, 015) + (0, 5 · 0, 01) = 0, 012.
b) P(nao.subest) = 1 − P(subest) = 1 − [(0, 2 · 0, 01) + (0, 3 · 0, 005)] = 0, 997.
c) Primeiro calculamos a probabilidade da medida se exata. Assim:
P(Exata) = (0, 2 · 0, 98) + (0, 3 · 0, 98) + (0, 5 · 0, 99) = 0, 985.
Agora sim calculamos a probabilidade condicional do equipamento ser da fábrica III, dado que a medida foi exata.
Logo:
P(Fab.III/Exata) =
P(Exata/Fab.II) · P(Fab.III)
P(Exata)
=
0, 99 · 0, 5
0, 985
= 0, 503
d) Como já calculamos a probabilidade de não haver medidas subestimadas no item b), nos resta calcular a probabi-
lidade condicional abaixo:
P(Fab.I/nao.subest) =
P(nao.subest/Fab.I) · P(Fab.I)
P(nao.subest)
=
0, 99 · 0, 2
0, 9965
= 0.199
10. Resolvendo...
a) P(A/B)=
P(A) · P(B)
P(B)
=
P(A) · P(B)
P(B)
= P(A).
b) P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
= P(A) =⇒ P(B/A) = P(B ∩ A)
P(A)
= P(B)