Lista de Exercícios Variáveis Aleatórias Discretas Resolvida

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2a Lista de Probabilidade e Estatística - Engenharia de Minas
Tema: Variáveis aleatórias discretas Data:
Aluno:
Questão 1 Uma empresa que fornece computadores pelo correio
tem cinco linhas telefônicas. Seja X o número de linhas em uso
em determinado horário. Suponha que a distribuição de probabi-
lidades seja dada pela tabela abaixo. Valor esperado da variável
aleatória X é: [R: 3,05]
x 1 2 3 4 5
p 0,05 0,35 0,20 0,30 0,10
Questão 2 Seja uma v.a X com fdp dada na tabela a seguir:
x 0 1 2 3 4 5
p 0 p2 p2 p p p2
a) Encontre o valor de p.[1/3]
b) Calcule P(X ≥ 4) e P(X < 3). [4/9 e 2/9]
c) Calcule P(|X − 3| ≥ 2).[2/9]
Questão 3 Um empresário comercializa mármore para o exterior.
Esse material de produção do mármore pode estar defeituoso com
probabilidade 0,02 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,5 de ser
recuperável. O custo de cada placa produzida é 1.200 u.m, que
será acrescido de mais 50,00 u.m se precisar ser recuperada. As
irrecuperáveis são descartadas. Sabendo que cada peça é vendida a
3.500 u.m, encontre a distribuição da variável aleatória “lucro por
peça produzida”.
a) Qual é o lucro médio por peça produzida? [R$2264,50]
b) Em uma produção de 10.000 peças, qual é o lucro esperado?
[R$ 22.645.000]
Questão 4 As probabilidades de que um aluno no período das
provas tenha uma ou duas provas, no mesmo dia, são 0,70 e 0,30,
respectivamente. A probabilidade de que deixe de fazer umas das
provas, por razões diversas é 0.20. O tempo de duração de cada
prova é de 90 minutos. Faça X o tempo total gasto, por dia, que ele
usa fazendo provas. Achar a média quantas horas gasta, por dia,
resolvendo as provas. [93.6 minutos ou 1h e 34 minutos]
Questão 5 Na produção de uma peça são empregadas duas má-
quinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir peças,
e o custo de produção é de R$50,00 por unidade. Das peças pro-
duzidas nessa máquina, 90% são perfeitas. As peças defeituosas
(produzidas na primeira máquina) são colocadas na segunda má-
quina para tentativa de recuperação (torná-las perfeita). Nessa
segunda máquina o custo por peça é de R$25,00, mas apenas 60%
das peças são de fato recuperadas. Sabendo que cada peça perfeita
é vendida por R$90,00, e que cada peça defeituosa é vendida por
R$20,00, calcule o lucro por peça esperado pelo fabricante.
Questão 6 Um empresário faz um estoque de um produto custa
R$0,50 e que ele vende a R$1,50 no primeiro dia em que o produto
está na loja. Todo produto que não é vendida nesse primeiro dia
não serve mais e é jogado fora. Seja X a variável aleatória que
denota o número de produtos que os fregueses compram em um
dia casualmente escolhido. O empresário descobriu que a função
de probabilidade X é dada por:
x 0 1 2 3
p 0,1 0,4 0,3 0,2
Quantas produtos deveria o empresário ter em estoque a fim de
maximizar a média (valor esperado) do lucro?
Questão 7 O tempo T, em minutos, necessário para um operário
processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de
probabilidade:
t 2 3 4 5 6 7
p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
a) Calcule o tempo médio de processamento.
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$2,00
mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha
R$0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele pro-
cessa a peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional
de R$1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância
da v.a. G: quantia em $ ganha por peça¸
RESOLUÇÃO...
1. Sabemos que E(x) =
n∑
i=1
xipi. Logo:
E(x) = 1 · 0, 05 + 2 · 0, 35 + 3 · 0, 20 + 4 · 0, 30 + 5 · 0, 10→ E(x)=3,05
2. a) Sabemos que a soma das probabilidades da função de probabilidade deverá ser igual a 1, logo:
p2 + p2 + p + p + p2 = 1 =⇒ 3p2 + 2p − 1 = 0. Assim calculando as raízes teremos que p = 1
3
.
Montando novamente a função de probabilidade com o valor de p calculado acima, temos:
x 0 1 2 3 4 5
p 0 1/9 1/9 1/3 1/3 1/9
b) Utilizando os valores da função de probabilidade temos:
• P (x ≤ 4) = P (x = 4) + P (x = 5) = 1
3
+
1
9
=
4
9
• P (x < 4) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 0 + 1
9
+
1
9
=
4
9
c) P (|x − 3| ≥ 2) = 1 − P (|x − 3| < 2) = 1 − (P (−2 < x − 3 < 2)) = 1 − P (−2 + 3 < x − 3 + 3 < 2 + 3)
P (|x − 3| ≥ 2) = 1 − P (1 < x < 5) = 1 − [P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4)] = 1 −
[1
9
+
1
3
+
1
3
]
=
7
9
3. Suponha a variável L: lucro, logo:
L =

3500 − 1200 = 2300 =⇒ s/defeito
3500 − 1250 = 2250 =⇒ c/defeito e recuperável
0 − 1200 = −1200 =⇒ c/defeito e descartada
Podemos representar esse resultado acima através da árvore de probabilidade. Porém antes considere a seguinte
notação:
• A: c/ defeito
• S: s/ defeito
• R: Recuperável
• D: Descartada
Assim, a distribuição da variável aleatória lucro é dada por:
L -1200 2250 2300
P(L) 0,01 0,01 0,98
a) O lucro médio por produto é dado por:
E(L) = −1200 · (0, 01)+ 2250 · (0, 01)+ 2300 · (0, 98) =⇒ E(L) = 2264, 50. Assim, o lucro médio por placa produzida
é de R$2264,50.
b) 1000 · (E(L)) = 2.264.500
4. Vamos construir o diagrama do problema acima.
Logo:
x P(x) x·P(x)
0 0,152 0
90 0,656 59,04
180 0,192 34,56
soma 1,00 93,6
E(X) = 93, 6 ≈ 1h34min.
5. Observe a tabela abaixo, construída com os dados do problema proposto.
Custo Venda X (Lucro) P(X) X·P(x)
50 90 40 0,9 36,00 peças perfeitas na 1a máquina
50+25 90 15 0,06 0,90 peças perfeitas na 2a máquina
50+25 20 -25 0,04 -2,20 peças defeituosas
E(X)=34,70
Portanto o lucro esperado, por peça é de R$34,70.
6. • Para 1 produto no estoque, temos que o valor esperado do lucro será:
E(L) = −0, 50 · 0, 1 + 1 · 0, 9→ E(L) = 0, 85
• Para 2 produtos no produto no estoque, temos que o valor esperado do lucro será:
E(L) = −1, 00 · 0, 1 + 0, 50 · 0, 4 + 2 · 0, 5→ E(L) = 1, 10
• Para 3 produtos no produto no estoque, temos que o valor esperado do lucro será:
E(L) = −1, 50 · 0, 1 + 0, 00 · (0, 4) + 1, 50 · (0, 3) + 3, 00 · (0, 2)→ E(L) = 0, 90.
Portanto 2 produtos no estoque é capaz de maximizar o lucro do proprietário.
7. a) E(L) = 2 · 0, 1 + . . . + 7 · 0, 1 = 4, 60
b) A distribuição da v.a lucro será:
L 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00
p(L) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3
E(L) = 4 · 0, 1 + . . . + 2 · 0, 3 = 2, 75
E(L2) = 42 · 0, 1 + . . . + 22 · 0, 3 = 7, 975
Var(S) = 7, 975 − (2, 75)2 = 0, 4125