lista_derivadas

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Universidade Te
nológi
a Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
CD3X2 - Cál
ulo Diferen
ial e Integral II
Derivadas Par
iais
1. A
he a derivada par
ial indi
ada, mantendo todas as variáveis 
onstantes menos uma, e apli
ando
os teoremas para derivação ordinária.
a) f(x, y) = 4y3 +
√
x2 + y2; D1(x, y) R:
x√
x2+y2
b) f(θ, φ) = sen(3θ) cos(2φ); fφ(θ, φ) R: −2 sen(3θ) sen(2φ)
) u = (x2 + y2 + z2)−
1
2
;
∂u
∂z
R: − z
(x2+y2+z2)
3
2
d) f(x, y, z) = 4xyz + ln(2xyz); f3(x, y, z) R: 4xy +
1
z
e) f(x, y, z) = exyz + arctg
(
3xy
z2
)
; fy(x, y, z) R: xze
xyz + 3xz
2
z4+9x2y2
2. Determine as derivadas par
iais de primeira ordem da função.
a) f(x, y) = 3x− 2y4 R: fx(x, y) = 3; fy(x, y) = 8y3
b) z = xe3y R: ∂z
∂x
= e3y; ∂z
∂y
= 3xe3y
) z = (2x+ 3y)10 R: ∂z
∂x
= 20(2x+ 3y)9; ∂z
∂y
= 30(2x+ 3y)9
d) f(x, y) = x−y
x+y
R: fx(x, y) =
2y
(x+y)2
; fy(x, y) = − 2x(x+y)2
e) w = senα cos β R: ∂w
∂α
= cosα cos β; ∂z
∂β
= − senα sen β
f) f(r, s) = r ln(r2 + s2) R: fr(r, s) =
2r2
r2+s2
; fs(r, s) =
2rs
r2+s2
g) u = te
w
t
R:
∂u
∂t
= e
w
t
(
1− w
t
)
;
∂u
∂w
= e
w
t
h) f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4 R: fx = z − 10xy3z4; fy = −15x2y2z4; fz = x− 20x2y3z3
i) w = ln(x+ 2y + 3z) R: ∂w
∂x
= 1
x+2y+3z
;
∂w
∂y
= 2
x+2y+3z
;
∂w
∂z
= 3
x+2y+3z
j) u = xy arcsen(yz) R: ∂u
∂x
= y arcsen(yz); ∂u
∂y
= x arcsen(yz) + xyz√
1−y2z2
;
∂u
∂z
= xy
2√
1−y2z2
k) f(x, y, z, t) = xyz2 tg(yt) R: fx = yz
2 tg(yt); fy = xyz
2t sec2(yt)+xz2 tg(yt); fz = 2xyz tg(yt);
ft = xy
2z2 sec2(yt)
l) u =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n R: ∂u∂xi =
xi√
x2
1
+x2
2
+···+x2n
3. Determine as derivadas par
iais de primeira ordem.
a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4 R: ∂f
∂x
= 20x3y2 + y3 e ∂f
∂y
= 10x4y + 3xy2
b) z = cos(xy) R: ∂z
∂x
= −y sen(xy) e ∂z
∂y
= −x sen(xy)
) z = x
3+y2
x2+y2
R:
∂z
∂x
= x
4+3x2y2−2xy2
(x2+y2)2
e
∂z
∂y
= 2x
2y(1−x)
(x2+y2)2
d) f(x, y) = e−x
2−y2
R:
∂f
∂x
= −2xe−x2−y2 e ∂f
∂y
= −2ye−x2−y2
e) z = x2(1 + x2 + y2) R: ∂z
∂x
= 2x ln(1 + x2 + y2) + 2x
3
1+x2+y2
e
∂z
∂y
= 2x
2y
1+x2+y2
f) z = xyexy R: ∂z
∂x
= yexy(1 + xy) e ∂z
∂y
= xexy(1 + xy)
g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y R: ∂f
∂x
= 12y(4xy − 3y3)2 + 10xy e ∂f
∂y
= 3(4xy − 3y3)2(4x −
9y2) + 5x2
h) z = arctg
(
x
y
)
R:
∂z
∂x
= y
x2+y2
e
∂z
∂y
= −x
x2+y2
i) g(x, y) = xy R: ∂g
∂x
= yxy−1 e ∂g
∂y
= xy ln x
j) z = (x2 + y2) ln(x2 + y2) R: ∂z
∂x
= 2x[1 + ln(x2 + y2)] e ∂z
∂y
= 2y[1 + ln(x2 + y2)]
k) f(x, y) = 3
√
x3 + y2 + 3 R: ∂f
∂x
= x
2
3
√
(x3+y2+3)2
e
∂f
∂y
= 2y
3 3
√
(x3+y2+3)2
l) z = x sen y
cos(x2+y2)
R:
∂z
∂x
= sen y[cos(x
2+y2)+2x2 sen(x2+y2)]
[cos(x2+y2)]2
e
∂z
∂y
= x cos y cos(x
2+y2)+2xy sen y sen(x2+y2)
[cos(x2+y2)]2
4. Cal
ule as derivadas par
iais.
a) f(x, y, z) = xex−y−z R: ∂f
∂x
= (1 + x)ex−y−z; ∂f
∂y
= −xex−y−z ; ∂f
∂z
= −xex−y−z
b) w = x2 arcsen
(
y
z
)
R:
∂w
∂x
= 2x arcsen
(
y
z
)
;
∂w
∂y
= x
2|z|
z
√
z2−y2
;
∂w
∂z
= − x2y
|z|
√
z2−y2
) w = xyz
x+y+z
R:
∂w
∂z
= xy(x+y)
(x+y+z)2
d) f(x, y, z) = sen(x2 + y2 + z2) R: ∂f
∂y
= 2y cos(x2 + y2 + z2)
e) s = f(x, y, z, w) = dada por s = xw ln(x2 + y2 + z2 + w2)
R:
∂s
∂w
= s
[
2w2
x2+y2+z2+w2
+ ln(x2 + y2 + z2 + w2)
]
5. Dada f(x, y) =
{
x3+y3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
. A
he
a) f1(0, 0) R: 1 b) f2(0, 0) R: 1
6. A
he a in
linação da reta tangente à 
urva de interse
ção da superfí
ie z = x2 + y2 
om o plano
y = 1, no ponto (2, 1, 5). faça um esboço. Interprete essa in
linação 
omo uma derivada par
ial.
R: 4
7. Dada u = sen
(
r
t
)
+ ln
(
t
r
)
. Veri�que que t∂u
∂t
+ r ∂u
∂r
= 0.
8. Considere a função z =
xy2
x2 + y2
. Veri�que que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
9. Considere a função dada por z = sen
(y
x
)
. Veri�que que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
10. Seja f(x, y, z) = x
x2+y2+z2
. Veri�que que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
+ z
∂f
∂z
= −f
11. Seja Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = e
x
y
− z
w
. Veri�que que
x
∂s
∂x
+ y
∂s
∂y
+ z
∂s
∂z
+ w
∂s
∂w
= 0
12. A função p = p(V, T ) é dada impli
itamente pela equação pV = nRT , onde n e R são 
onstante
não-nulas. Cal
ule
∂p
∂V
e
∂p
∂T
. R:
∂p
∂V
=
nRT
V 2
e
∂p
∂T
=
nR
V
13. Seja f(x, y) = x3y2 − 6xy + φ(y). Determine a função φ de modo que
∂f
∂y
= 2x3y − 6x+ y
y2 + 1
R: φ(y) = 1
2
ln(1 + y2)
14. Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
sendo f(x, y) =
{
x+y4
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
R:
∂f
∂x
(x, y) =
y2 − x2 − 2xy4
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0); ∂f
∂x
(0, 0) não existe
∂f
∂y
(x, y) =
4x2y3 + 2y5 − 2xy
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0); ∂f
∂y
(0, 0) = 0
15. A temperatura em qualquer ponto de uma pla
a plana é T graus e T = 54− 2
3
x2−4y2. Se a distân
ia
for medida em 
entímetros, a
he a taxa de variação da temperatura em relação à distân
ia movida ao
longo da pla
a na direção dos eixos positivos x e y, respe
tivamente, no ponto (3, 1). R: -4o/
m;
-8
o
/
m
16. Se S for a área da superfí
ie em metros quadrados do 
orpo de uma pessoa, então a fórmula que dá
um valor aproximado para S será
S = 2W−0,4H0,7
onde k kg e H m são o peso e a altura da pessoa. Se W = 70 kg e H = 1, 8 m, a
he ∂S
∂W
e
∂S
∂H
e
interprete o resultado. R: 0,0943 m
2
/kg; 6,42 m
2
/m
17. Prove que as funções dadas são diferen
iáveis.
a) f(x, y) = xy
b) f(x, y) = x+ y
) f(x, y) = x2y2
d) f(x, y) = 1
xy
e) f(x, y) = 1
x+y
f) f(x, y) = x2 + y2
a) f(x, y) = ex−y
4
b) f(x, y) = x4 + y3
) f(x, y) = x2y
d) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2
e) f(x, y) = x cos(x2 + y2)
f) f(x, y) = arctg(xy)
18. f é diferen
iável em (0, 0)?
a) f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
se (x, y) = (0, 0) e f(0, 0) = 0 R: Não
b) f(x, y) = x
2y
x2+y2
se (x, y) = (0, 0) e f(0, 0) = 0 R: Não
) f(x, y) = x
4
x2+y2
se (x, y) = (0, 0) e f(0, 0) = 0 R: Sim
19. Determine uma equação do plano tangente à superfí
ie no ponto espe
i�
ado.
a) z = 4x2 − y22y, (−1, 2, 4) R: z = 8x− 2y
b) z =
√
xy, (1, 1, 1) R: x+ y − 2z = 0
) z = y cos(x− y), (2, 2, 2) R: z = y
20. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao grá�
o da função dada no ponto dado.
a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, , 1)) R: z = 4x+ 2y − 4; (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(4, 2,−1)
b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)) R: z = 2y − 1; (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2,−1)
) f(x, y) = 3x2y − xy em (1,−1, f(1,−1)) R: z = −8x + 2y + 8; (x, y, z) = (1,−1,−2) +
λ(−8, 2,−1)
d) f(x, y) = xex
2−y3
em (2, 2, f(2, 2)) R: z = 9x− 8y; (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ(9,−8,−1)
e) f(x, y) = arctg(x− 2y) em (2, 1
2
, f
(
2, 1
2
))
f) f(x, y) = xy em
(
1
2
, 1
2
, f
(
1
2
, 1
2
))
21. A
he a diferen
ial total dw.
a) w = 4x3 − xy2 + 3y − 7 R: (12x2 − y2)dx+ (3− 2xy)dy
b) w = x cos y − y sen x R: (cos y − y cosx)dx+ (−x sen y − sen x)dy
) w = ln(x2 + y2 + z2) R: 2xdx+2ydy+2zdz
x2+y2+z2
d) w = x arctg z − y2
z
R: arctg zdx− 2y
z
dy +
(
x
1+z2
+ y
2
z2
)
dz
22. Cal
ule a diferen
ial.
a) z = x3 ln(y2) R: dz = 3x2 ln(y2)dx+ 2x
3
y
dy
a) m = p5q3 R: dm = 5p4q3dp+ 3p5q2dq
) x = x3y2 R: dz = 3x2y2dx+ 2x2ydy
d) z = x arctg(x+ 2y) R: dz =
[
arctg(x+ 2y) + x
1+(x+2y)2
]
dx+ 2x
1+(x+2y)2
dy
e) z = sen(xy) R: dz = y cos(xy)dx+ x cos(xy)dy
f)u = es
2−r2
R: du = 2ses
2−t2ds− 2tes2−t2dt
g) T = ln(1 + p2 + v2) R: dT = 2p
1+p2+V 2
dp+ 2V
1+p2+V 2
dV
h) x = arcsen(uv) R: dx = v√
1−u2v2du+
u√
1−u2v2dv
i) w = xyz R: dw = yzdx+ xzdy + xydz
j) w = x
2+y2
1+z2
R: dw = 2x
1+z2
dx+ 2y
1+z2
dy − 2z(x2+y2)
(1+z2)2
dz
23. Seja z =
√
x+ 3
√
y.
a) Cal
ule a diferen
ial de z no ponto (1, 8). R: dz = 1
2
dx+ 1
12
dy
b) Cal
ule um valor aproximado para z 
orrespondente a x = 1, 01 e y = 7, 9. R: 2,9966
) Cal
ule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se passa de x = 1 e y = 8 para
x = 0, 9 e y = 8, 01. R: ∆z ∼= −0, 049166
24. Se z = 5x2 + y2 e (x, y) varia de (1, 2) a (1, 05; 2, 1), 
ompare os valores de ∆z e dz.
25. Cal
ule um valor aproximado para a variação ∆A na área de um retângulo quando os lados variam
de x = 2 m e y = 3 m para x = 2, 01 m e y = 2, 97 m. R: ∆A ∼= −0, 03
26. Uma faixa interna de 8 
m de largura é pintada na borda de um retângulo de dimensões 30 m por
60 m. Utilize os diferen
iais para aproximar a área, em metros quadrados, da faixa pintada. R:
7,2 m
2
27. Um re
ipiente fe
hado na forma de um sólido retangular deve ter um 
omprimento interno de 8 m,
uma largura interna de 5 m, uma altura de 4 m e uma espessura de 4 
m. Use diferen
iais para
aproximar a quantidade de material ne
essário para 
onstruir o re
ipiente. R: 7,36 m
3
28. Uma 
aixa de forma 
ilíndri
a é feita 
om um material de espessura 0,03 m. As medidas internas
são: altura 2 m e raio da base 1 m. A 
aixa é sem tampa. Cal
ule um valo aproximado para o
volume de material usado na 
aixa. R: ∆V ∼= 0, 15pi
29. A altura de um 
one é h = 20 
m e o raio da base r = 12 
m. Cal
ule um valor aproximado para a
variação ∆V no volume quando h aumenta 2 mm e r de
res
e 1 mm.
30. Um dos 
atetos de um triângulo retângulo é x = 3 
m e o outro, y = 4 
m. Cal
ule um valor
aproximado para a variação ∆z na hipotenusa z quando x aumenta 0,01 
m e y de
res
e 0,1 
m.
31. A energia 
onsumida num resistor elétri
o é dada por P = V
2
R
watts. Se V = 100 volts e R = 10
ohms, 
al
ule um valor aproximado para a variação ∆P em P , quando V de
res
e 0,2 volts e R
aumenta 0,01 ohm. R: ∆P ∼= −5 watts
32. Se R é a resistên
ia equivalente de três resistores 
on
etados em paralelo, 
om resistên
ias R1, R2 e
R3, então
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
Se as resistên
ias medem em ohms R1 = 20Ω, R2 = 40Ω e R3 = 50Ω, 
om margem de erro de 0,5%
em 
ada uma, estime o erri máximo no valor 
al
ulado de R. R: 1
17
33. A gravidade espe
í�
a s de um objeto é dada pela fórmula
s =
A
A−W
onde A é o número de quilogramas no peso do objeton ar e W é o número de qulogramas no peso
do objeto na água. Se o peso de um objeto no ar é 20 quilogramas 
om um erro possível de 0,01
quilogramas e seu peso na água é de 12 quilogramas, 
om um erro possível de 0,02 quilogramas, a
he,
aproximadamente, o erro máximo possível no 
ál
ulo de s a partir dessas medidas. A
he também o
erro máximo relativo possível. R:
13
1600
; 0,325%
34. Para 
ada alternativa, (i) a
he D11f(x, y); (ii) a
he D22f(x, y); (iii) mostre que D12f(x, y) =
D21f(x, y).
a) f(x, y) = x
2
y
− y
x2
R: (i)
2
y
− 6y
x4
; (ii)
2x2
y3
b) f(x, y) = e2x sen y R: (i) 4e2x sen y; (ii) −e2x sen y
) f(x, y) = (x2 + y2) arctg
(
y
x
)
R: (i) 2 arctg
(
y
x
)− 2xy
x2+y2
; (ii) 2 arctg
(
y
x
)− 2xy
x2+y2
d) f(x, y) = ex cos y + arctg x ln y R: (i) ex cos y − 2x ln y
(1+x2)2
; (ii) −ex cos y − arctg x
y2
35. A
he as derivadas par
iais indi
adas.
a) f(x, y) = 2x3y + 5x2y2 − 3xy2; (i) f121(x, y); (ii) f211(x, y) R: (i) 12x+ 20y; (ii) 12x+ 20y
a) f(x, y, z) = yex + zey + ez; (i) fxx(x, y, z); (ii) fyz(x, y, z) R: (i) 0; (ii) e
y
a) f(w, z) = w2 cos(ez); (i) f121(w, z); (ii) f212(w, z) R: (i) −2ez sen(ez); (ii) −2wez(sen ez +
ez cos ez)
a) g(r, s, t) = ln(r2+4s2−5t2); (i) g132(r, s, t); (ii) g122(r, s, t) R: (i)− 320rst(r2+4s2−5t2)3 ; (ii) 16r(5t
2+12s2−r2)
(r2+4s2−5t2)3
36. Cal
ule todas as derivadas par
iais de segunda ordem.
a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y R: fxx = 6xy
5 + 24x2y; fxy = 15x
2y4 + 8x3 = fyx; fyy = 20x
3y3
b) w =
√
u2 + v2 R: wuu =
v2
(u2+v2)
3
2
; wuv = − uv
(u2+v2)
3
2
= wvu; wvv =
u2
(u2+v2)
3
2
) z = arctg x+y
1−xy R: zxx = − 2x(1+x2)2 ; zxy = 0 = zyx; zyy = − 2y(1+x2)2
d) f(x, y) = x3y2 R: ∂
2f
∂x2
= 6xy2; ∂
2f
∂y2
= 2x3; ∂
2f
∂x∂y
= 6x2y; ∂
2f
∂y∂x
= 6x2y
e) z = ex
2−y2
R:
∂2z
∂x2
= 2ex
2−y2(1 + 2x2); ∂
2z
∂x∂y
= −4xyex2−y2 = ∂2z
∂y∂x
;
∂2z
∂y2
= 2ex
2−y2(2y2 − 1)
f) z = ln(1 + x2 + y2) R: ∂
2z
∂x2
= 2+2y
2−2x2
(1+x2+y2)2
;
∂2z
∂y2
= 2+2x
2−2y2
(1+x2+y2)2
;
∂2z
∂x∂y
= − 4xy
(1+x2+y2)2
= ∂
2z
∂y∂x
= 6x2y
g) g(x, y) = 4x2y4 + y3 R: ∂
2g
∂x2
= 24xy4; ∂
2g
∂y2
= 18x3y2; ∂
2g
∂x∂y
= 48x2y3 = ∂
2g
∂y∂x
= 6x2y
37. Seja f(x, y) = 1
x2+y2
. Veri�que que
a) x∂
2f
∂x2
(x, y) + y ∂
2f
∂y∂x
(x, y) = −3∂f
∂x
(x, y) b) ∂
2f
∂x2
(x, y) + ∂
2f
∂y2
(x, y) = 4
(x2+y2)2
38. Veri�que que
∂2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
= 0, onde f(x, y) = ln(x2 + y2).
39. Seja f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
. Veri�que que
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0
40. Mostre que u(x, y) satisfaz a equação ∂
2u
∂x2
+ ∂
2u
∂y2
= 0 
onhe
ida 
omo equação de Lapla
e em R2.
a) u(x, y) = ln(x2 + y2) b) u(x, y) = arctg
(
y
x
)
+ x
x2+y2
41. A equação de Lapla
e em R3 é
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0
Mostre que u(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2
satisfaz essa equação para (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
42. Veri�que que a função u = e−α
2k2t sen(kt) é solução da equação de 
ondução do 
alor ut = α
2uxx.
43. Veri�que que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferen
iais
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 1
e
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
−
(
∂2z
∂x∂y
)2
= 0
44. Seja f(x, y) =
{
xy x
2−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = 0
. Cal
ule
∂2f
∂x∂y
(0, 0) e ∂
2f
∂y∂x
(0, 0). R: ∂
2f
∂x∂y
(0, 0) = 1 e
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = −1
45. A energia 
inéti
a de um 
orpo 
om massa m e velo
idade v é K = 1
2
mv2. Mostre que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K