lista derivadas parciais

Prévia do material em texto

Lista 3: Derivadas Parciais
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das func¸o˜es abaixo em relac¸a˜o a todas as
suas varia´veis independentes.
a) f(x, y) = x2 + 3xy + y − 1.
b) f(x, y) = y sen (xy).
c) f(x, y) =
√
x2 + y2.
d) f(x, y, x) = x ex−y+z.
e) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + x2).
f) f(x, y, z) = x3y2 tan (z4).
Questa˜o 2: Utilize a regra da cadeia para derivar as func¸o˜es abaixo em relac¸a˜o a todas as varia´veis
independentes.
a) f(x, y) = xy, x(t) = cos t, y(t) = sen t.
b) f(x, y) = x2 + y2 + xy, x(t) = sen t, y(t) = et.
c) f(x, y) = x3y2, x(t) = e−t, y(t) = t sen t.
d) f(x, y, z) = x ey/z, x(t) = t2, y(t) = 1− t, z(t) = 1 + 2t.
e) f(x, y) = x2 + y2, x(r, s) = r − s, y(r, s) = r + s.
f) f(x, y, z) = x+ 2y + z2, x(r, s) =
r
s
, y(r, s) = r2 + ln s, z(r) = 2r.
g) f(x, y, z) = x2 + y2 − z, x(u, v) = u2v, y(v) = v2, z(u,w) = e−uw.
h) f(x, y) = x2 + y2, x(u, v) = u cos v, y(u, v) = v senu.
Questa˜o 3: Efetue as derivadas implicitamente em relac¸a˜o a`s varia´veis independentes.
a) y cosx = x2 + y2, y = y(x).
b) x2 + 2y2 + 3z2 = 1, z = z(x, y).
c) ez = xyz, z = z(x, y).
d) w2 + zw − x2y3w3 − xyz = 1, w = w(x, y, z).
Questa˜o 4: O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um
determinado instante l = 1m e w = h = 2m, l e w esta˜o aumentando em uma taxa de
2m/s, enquanto h esta´ decrescendo a uma taxa de 3m/s. Encontre, neste instante, as
taxas com que as seguintes quantidades esta˜o variando:
a) O volume da caixa. b) A a´rea da superf´ıcie.
Questa˜o 5: A pressa˜o de 1mol de ga´s ideal esta´ aumentando em uma taxa de 0, 05 kPa/s e a tempe-
ratura esta´ aumentando a uma taxa de 0, 15K/s. Sabendo que a equac¸a˜o para um mol de
ga´s ideal e´ pV = 8, 31T , determine a taxa de variac¸a˜o do volume quando p = 20 kPa e
T = 320K.
Questa˜o 6: A voltagem V em um circuito que satisfaz a Lei de Ohm e´ dada por V = Ri, onde R e´ a
resisteˆncia e i a corrente que passa por esse circuito. Suponha que a` medida que a bateria
vai sendo consumida, a voltagem diminua, ao passo que a resisteˆncia aumenta conforme o
circuito esquenta. Determine como a corrente esta´ variando no instante em que R = 600 Ω,
i = 0, 04A,
dR
dt
= 0, 05 Ω/s e
dV
dt
= −0, 01V/s.
2? A temperatura em um ponto (x, y) e´ T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja
de modo que sua posic¸a˜o apo´s t segundos e´ dada por x =
√
1 + t, y = 2 +
1
3
t, onde x e
y sa˜o medidos em cent´ımetros. A func¸a˜o temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3.
Qua˜o ra´pido a temperatura aumenta no caminho do inseto apo´s teˆs segundos?
3? Se z = f(x, y), onde x = r cos θ, e y = r sen θ, mostre que
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
=
∂2z
∂r2
+
1
r2
∂2z
∂θ2
+
1
r
∂z
∂r
GABARITO :
Questa˜o 1: a) fx = 2x+ 3y, fy = 3x+ 1.
b) fx = y
2 cos (xy), fy = sen (xy) + xy cos (xy).
c) fx =
x√
x2 + y2
, fy =
y√
x2 + y2
.
d) fx = e
x−y+z + x ex−y+z, fy = −x ex−y+z, fz = x ex−y+z.
e) fx =
2x
x2 + y2 + z2
, fy =
2y
x2 + y2 + z2
, fz =
2z
x2 + y2 + z2
.
f) fx = 3x
2y2 tan (z4), fy = 2x
3y tan (z4), fz = 4x
3y2z3 sec2 (z4).
Questa˜o 2: a) f ′(t) = cos (2t).
b) f ′(t) = (2 sen t+ et) cos t+ (sen t+ 2 et) et.
c) f ′(t) = −3t2 e−3t sen 2t+ 2t e−3t(sen t+ t cos t) sen t.
d) f ′(t) =
[
2t− t
2
1 + 2t
− 2t
2(1− t)
(1 + 2t)2
]
e
1−t
1+2t .
e) fr(r, s) = 4r, fs(r, s) = 4s.
f) fr(r, s) =
1
s
+ 12r, fs(r, s) =
2
s
− r
s2
.
g) fu(u, v, w) = 4u
3v2 + w e−uw, fv(u, v, w) = 2u4v + 4v3, fw(u, v, w) = u e−uw.
h) fu(u, v) = 2u cos
2 v + v2 sen (2u), fv(u, v) = 2v sen
2u− u2 sen (2v).
Questa˜o 3: a) y′ =
2x+ y senx
cosx− 2y .
b)
∂z
∂x
= − x
3z
,
∂z
∂y
= −2y
3z
.
c)
∂z
∂x
=
yz
ez − xy ,
∂z
∂y
=
xz
ez − xy .
d)
∂w
∂x
=
2xy3w3 + yz
2w + z − 3x2y3w2 ,
∂w
∂y
=
3x2y2w3 + xz
2w + z − 3x2y3w2 ,
∂w
∂z
=
xy − w
2w + z − 3x2y3w2 .
Questa˜o 4: a)
dV
dt
= 6m3/s. b)
dA
dt
= 10m2/s.
Questa˜o 5:
dV
dt
≈ 0, 27 l/s.
Questa˜o 6:
di
dt
= −5× 10−5A/s.