Notas_de_Aulas_de_Cálculo_II_Parte_II_2011-1

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Notas de Aulas de Cálculo II – Parte II Página 1 
 
 
 
Curso de Engenharia de Produção – 2011-1 
Cálculo Diferencial e Integral II – Parte II 
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Ementa: 
Integração por partes. Integrais definidas. Integrais impróprias. Funções de duas variáveis. 
Funções de múltiplas variáveis. Funções homogêneas. Gráficos no IR2 e no IR3. Curvas de nível. 
Derivadas parciais. Máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Multiplicadores de 
Lagrange. Reta de regressão de mínimos quadrados. 
 
 
Bibliografia: 
 
LARSON, Roland E. Cálculo com Aplicações. Ed LTC, Rio de Janeiro, RJ, 1998. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Ed. Harbra, São Paulo, 1977. 
TAVARES, Salvador. Notas de Aulas de Cálculo II. (Texto em construção), Campos dos 
Goytacazes, RJ, 2007. 
THOMAS, George B. Finney, GIORDANO, F. R. Cálculo. Pearson Education do Brasil, São Paulo, 
2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro aluno, 
 
Este material servirá de roteiro para parte das aulas de Cálculo II no curso de Engenharia de Produção, 
não devendo ser considerado como única fonte de consulta e de exercícios. Você deverá complementar seus 
estudos, consultando a bibliografia recomendada para consulta e aprofundamento da parte teórica e resolução 
de mais exercícios. 
Consulte a bibliografia recomendada nesta lista. 
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Capítulo 4 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
1. Definição 
 
Sejam 
)(xF
 e 
)(xf
 funções tais que 
dxxfdF )(
 e 
f
 contínua. 
Chama-se integral definida de 
)(xf
 no intervalo 
 ba,
 o número real 
)()( aFbF 
. 
Em símbolos: 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
a)
 
4
0
)0()4( FFdxx
 
 
 
 
 
 
 
 
b)
 

3
1
3
1
3
2 )5
3
()5( Cx
x
dxx
 
 
 =  








 CC )1(5
3
1
3.5
3
3 33
3
88
3
1
295
3
1
159  CC
 
 
Note que a integral definida independe do valor de 
C
. 
 
2. Exercícios 
 
1. Calcule: 
 
a) 

4
2
dxx
 b) 

1
1
dxx
 
 
c) 
 
1
1
2 )3( dxx
 d) 
 
4
1
)1( dxx
 
 
e) 

1
0
dxex
 f) 

e
dx
x1
1 
 
g) 
 20 sen

dxx
 h) 



0
cos d
 
i) 

2
1
2 dxx
 j) 

b
a
dxk
 
 
)()()( aFbFdxxf
b
a

88  CC
 
Cálculos 
  IRCC
x
dxxxF ,
2
)(
2 
 
CCxF  8
2
4
)(
2 
 
CCF 
2
0
)0(
2 
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k) 
 
1
2
e
dxx
 l) 

1
1
3 dxx
 
 
2. Considere as figuras abaixo e calcule, em cada caso: 
 
i) 
 a) a área da região hachurada 
 
 b) 

3
2
)( dxxf
 
 
 
c) Compare os resultados encontrados nos itens a 
e b. 
 
 
ii) 
 a) a área da região hachurada 
 
 b) 

4
0
)( dxxf
 
 
 c) Compare os resultados encontrados nos itens a 
 e b. 
 d)

0
4
)( dxxf
 
 
iii) 
a) a área da região hachurada 
 
 b) 

3
1
)( dxxf
 
 
c) Compare os resultados encontrados nos itens 
a e b. 
 
 d) 

1
3
)( dxxf
 
 
iv) 
a) a área da região hachurada 
 
 b) 

3
2
)( dxxf
 
 
 c) Compare os resultados nos itens a e b. 
 
 d) 

2
3
)( dxxf
 
 
 
3. A integral definida e a área sob uma curva 
 
 
 
 
 
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De modo geral, como vimos nos exercícios anteriores, a área sob uma curva contínua 
)(xf
, com 
bxa 
 pode ser calculada pela integral definida de 
)(xf
no intervalo 
 ba,
. Assim 
para cada caso podemos assumir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(xfy 
 
a
 
b
 
 
x
 
c 
 
)(xfy 
 
x
 
a
 
b
 

b
a
dxxfA )(
 
 
b
c
a
c
dxxfdxxfA )()(
 
 
x
 
a
 
b
 
)(xfy 
 

b
a
dxxfA )(
 

a
b
dxxfA )(
 

b
a
dxxfA )(
 
1o. Caso 
2o. Caso 
3o. Caso 
0)( xf
 
0)( xf
 
0)()(  bfaf
 
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x
 
 
x
 
3.1- Exercícios 
 
1. Calcule a área de cada região abaixo: 
i) ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) iv) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v) vi) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 Como vimos até aqui a área de uma região sob uma curva 
IRkkxf  ,)(
 (função 
constante) com 
bxa 
 é 
dkA .
 
abdonde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Mas se a função não for constante, para calcularmos a área sob o gráfico de 
)(xfy 
 
com 
f
contínua e não negativa no intervalo 
 ba,
, podemos subdividir o intervalo 
 ba,
 em 
n
 
pequenos subintervalos de comprimento 
ndddd ,...,,, 321
considerar que 
)(xf
 é constante em 
cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada pequeno intervalo a área sob o gráfico é aproximadamente a área de um 
retângulo. 
 
Consideremos 
nkkkk ,...,,, 321
, respectivamente, os valores de 
)(xf
, supostos 
constantes, em cada um dos pequenos intervalos, temos que a área 
 
nndkdkdkdkA  ...332211
 
 
 
Quanto maior for o número de subdivisões do intervalo 
 ba,
 mais a soma 
 
nndkdkdkdk  ...332211
 
 
aproximar-se-á do valor da área da região. 
Note que a área A sob o gráfico 
IRkkxf  ,)(
 é 
  dxkakbkabkA
b
a
.... 
 (Observe as figuras) 
Podemos generalizar que a área sob o gráfico de 
)(xfy 
 no intervalo 
 ba,
 é 

b
a
dxxf )(
. 
 
Eis o procedimento: 
 
a) Subdividimos o intervalo 
 ba,
 em 
n
 pequenos intervalos de comprimento 
xdxdxdxd n,...,,, 321
; 
 
b) em cada pequeno intervalo consideramos 
)(xf
constante 
1)( kxf 
 no 
º1
pequeno intervalo 
2)( kxf 
 no 
º2
pequeno intervalo 
 
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3)( kxf 
 no 
º3
pequeno intervalo 
.
.
.
 
nkxf )(
 no 
ésimon 
 pequeno intervalo 
 
c) É lógico que existe um 
1x
 no 
º1
pequeno intervalotal que 
11)( kxf 
e, analogamente, 
)( 22 xfk 
para algum 
2x
 no 
º2
pequeno intervalo 
)( 33 xfk 
para algum 
3x
 no 
º3
pequeno intervalo 
)( 44 xfk 
para algum 
4x
 no 
º4
pequeno intervalo 
.
.
.
 
)( nn xfk 
 para algum 
nx
 no 
ésimon 
 pequeno intervalo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever, portanto que 
 
xdkxdkxdkxdkA nn ...332211
 
 
xdxfxdxfxdxfxdxfA nn)(...)()()( 332211 
 
 



n
i
ii xdxfA
1
)(
 
Aumentando, sucessivamente, o valor de n, os intervalos vão ficando cada vez menores e 
então a soma dos 
xdxf ii )(
 aproxima-se cada vez mais do número 

b
a
dxxf )(
 
 
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Portanto a área de 
A
 sob uma curva 
)(xfy 
 contínua e não-negativa num intervalo 
 ba,
 é 
 

b
a
dxxfA )(
. 
 
2. Determine a área da região limitada pelos gráficos das equações: 
10,,  xexxyey x
 
 
3. Calcule a área da região limitada pelos gráficos 
020,6 3  xyexyxy
. 
 
4. Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das equações 
42 22  xyeyx
. 
 
5. A taxa de depreciação de certa peça de equipamento, no intervalo de tempo 
 3,0
, pode ser 
aproximada por 
9
1)(
2t
tg 
 com 
t
dado em anos e 
)(tg
 em 
00,100$R
. Determine a 
depreciação total ao fim dos seguintes períodos: 
 
a) 6 meses b) 1 ano c) 18meses d) 2 anos 
 
6. Uma substância é distribuída continuamente no intervalo 
 10,0
 do eixo 
x
(em cm). A 
concentração é dada pela função 
210 xxC 
 (
C
 medido em mg/cm). Determine: 
a) onde está localizada a concentração máxima 
b) a massa total 
M
. 
 
7. Uma firma que realiza tomada de opinião pública mediante entrevistas telefônicas acha que o 
tempo gasto por um empregado para fazer uma entrevista depende do número de entrevistas que 
ele já tenha feito previamente. 
Suponhamos que, para certa pesquisa, o número de minutos necessários para completar 
a 
ésimon 
entrevista seja dado por: 
2,0)1(6)(  nnf
 
Determine, aproximadamente, o tempo necessário para um empregado completar: 
 
a) 100 entrevistas b) 200 entrevistas 
 
8. Se no problema anterior o entrevistado recebe 
60,3$R
 por hora, estime quão mais caro é 
utilizar dois empregados para fazerem 
100
 entrevistas cada um, do que utilizar em empregado 
para fazer 
200
entrevistas. 
 
9. Um pequeno fabricante de peças estima que o tempo necessário para um operário montar 
determinado item depende do número de itens previamente montados por ele. Se o tempo (em 
minutos) necessário para montar o 
ésimon 
 item é dado por 
3)1(20)( 4,0  nxf
, determine 
aproximadamente o tempo necessário para manter as seguintes quantidades: 
 
a) 1 item b) 4 itens c) 8 itens d) 16 itens 
 
10. Os custos 
)(tM
 de manutenção de uma fábrica aumentam com o envelhecimento da fábrica 
e do equipamento. Se os custos de manutenção aumentam a uma taxa anual de 
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dólarest
dt
dM
900075 2 
 
onde 
t
 representa o número de anos, calcule os custos totais de manutenção da fábrica do 
quarto ao sexto ano. 
11. Dado o gráfico da função 
23)( xxxf 
, abaixo, calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A área da região limitada pela curva 
f
 e o eixo 
x
, com 
21  x
. 
b) 

3
0
)( dxxf
 
12. Dado o gráfico de uma função 
)(xfy 
 e sabendo que 
7,3IA
, 
3,8IIIA
 e 
 
d
a
dxxf 1,9)(
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Encontre 

c
a
dxxf )(
. 
b) Encontre 

d
b
dxxf )(
. 
 
4. A integral definida e o volume de um sólido de rotação. 
 
4.1- Exercícios Preliminares 
 Considere as figuras abaixo e calcule em cada caso: 
i) 
a) o volume 
V
 do sólido gerado pela 
rotação do retângulo ABCD, em torno 
do eixo 
x
. 
b)
 
4
1
2
)(. dxxf
 
c) compare os resultados encontrados em 
a e b. 
 
 
 
 
 
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ii) 
 
a) o volume 
V
 do sólido gerado pela 
rotação do triângulo OAB, em torno do 
eixo 
x
. 
b)
 
2
0
2
)(. dxxf
 
c) compare os resultados encontrados em 
a e b. 
 
 
 
iii) 
 
a) o volume 
V
 do sólido gerado pela 
rotação do retângulo hachurado, em 
torno do eixo 
x
. 
b) 
 
b
a
dxxf
2
)(.
 
c) compare os resultados encontrados 
em a e b. 
 
 
 
iv) 
a) o volume 
V
do sólido gerado pela 
rotação do semicírculo hachurado, 
em torno do eixo 
x
. 
b) 
 
r
r
dxxf
2
)(.
 
c) compare os resultados encontrados 
em a e b. 
 
 
 
 
v) 
 
a) o volume do sólido gerado pela 
rotação do trapézio da figura, em 
torno do eixo 
x
. 
b)
 
3
1
2
)(. dxxf
 
c) compare os resultados encontrados 
em a e b. 
 
 
 
 
 De modo geral, o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo 
x
, 
de uma curva contínua 
)(xfy 
 tal que 
0)( xf
 e 
bxa 
 é 
 
 
b
a
dxxfV
2
)(.
 
 
 
 
 
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 De fato: 
 
a) Subdividimos o intervalo 
 ba,
 em n pequenos subintervalos de comprimentos 
xdxdxdxd n,...,, 321
: 
 
b) Em cada pequeno intervalo consideramos 
)(xf
 constante 
1)( kxf 
 no 
º1
pequeno intervalo 
2)( kxf 
 no 
º2
pequeno intervalo 
3)( kxf 
 no 
º3
pequeno intervalo 
. . 
. . 
. . 
nkxf )(
 no 
ésimon 
 pequeno intervalo 
 
c) Existe no 1º pequeno intervalo um 
1x
 tal que 
11)( kxf 
 e, analogamente, 
)( 22 xfk 
 para algum 
2x
 no 
º2
pequeno intervalo 
)( 33 xfk 
 para algum 
3x
 no 
º3
 pequeno intervalo 
)( 44 xfk 
 para algum 
4x
 no 
º4
pequeno intervalo 
. 
. 
. 
)( nn xfk 
 para algum 
nx
 no 
ésimon 
 pequeno intervalo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão: 
 Note que o sólido gerado, pela rotação, em torno do eixo 
x
, da curva 
rxf )(
 
)( IRr
, com 
bxa 
, é um cilindro circular reto de raio 
r
 e altura 
abh 
 e por isso o 
volume do sólido é 
hrV 2
. 
 
 
 
 
 É importante é notar também 
que: 
 
 abrhrVcil 
22 
 
 


b
a
dxr
arbr
2
22

 
 
 
 
b
a
cil dxxfV
2
)(.
 
 
 
 
 
 
Mas se a função não for constante, para calcular o volume do sólido de revolução que se 
obtém com a rotação da curva)(xfy 
, contínua e não-negativa no intervalo 
 ba,
, podemos 
subdividir o intervalo em pequenos subintervalos de componentes 
ndddd ,...,,, 321
 e considerar 
)(xf
 constante em cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada pequeno intervalo o volume aproxima-se do volume de uma fatia cilíndrica. 
 Consideramos 
nkkkk ,...,,, 321
, respectivamente, os valores de 
)(xf
, supostos constantes, 
em cada um dos pequenos intervalos, temos que o volume do sólido é 
 
 
 
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nn dkdkdkdkV
2
3
2
32
2
21
2
1 ...   
 
 É importante notar que: 
 Quanto maior for o número de subdivisões do intervalo 
 ba,
 mais a soma 
nndkdkdkdk
2
3
2
32
2
21
2
1 ...  
 aproximar-se-á do volume 
V
 do sólido. 
 Podemos dizer que o volume 
V
 do sólido é aproximadamente a soma dos volumes das 
“fatias cilíndricas” . Assim: 
       
 




n
i
ii
nn
nn
xdxfV
xdxfxdxfxdxfxdxfV
dkdkdkdkV
1
2
2
3
2
32
2
21
2
1
2
3
2
32
2
21
2
1
)(
)(...)()()(
...



 
 Aumentando, sucessivamente, o valor de 
n
, os pequenos intervalos vão ficando cada vez 
menores e as “fatias cilíndricas” cada vez mais finas de forma tal que a soma dos 
  xdxf ii
2
)(
 
aproxima-se cada vez do número 

b
a
dxr2
. 
Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação, em trono do eixo 
x
, de uma curva 
)(xfy 
, com 
0)( xf
 e 
bxa 
 é 
 
b
a
dxxfV
2
)(.
 
 
4.2- Exercícios de fixação 
 
a) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pela curva 
2)( xxf 
, o eixo 
x
 e as retas 
1x
 e 
2x
, em torno do eixo das abscissas. 
 
c) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo 
x
, da região limitada pela 
curva 
3xy 
 e as retas 
0y
 e 
2x
. 
 
d) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região hachurada na figura 
quando esta gira em torno do eixo 
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 - Integrais impróprias 
 
5.1 - Exercícios de aprendizagem 
 
 
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1 - Considere a função 
  0 x,
1

x
xf
. Calcule a área da região limitada pela curva f e eixo x 
quando: 
 
a) 
21  x
 b) 
ex 1
 c) 
51  x
 
 
d) 
1001  x
 e) 
10001  x
 f) 
1x
 
 
2 - Considere a função 
  0 x,
1
2

x
xf
. Calcule a área da região limitada pela curva f e eixo x 
quando: 
 
a) 
21  x
 b) 
51  x
 c) 
101  x
 
 
d) 
1001  x
 e) 
10001  x
 f)
1x
 
 
3 – Calcule: 
 
 a) 


1
1
dx
x
 b) 
dx
x

2
2
1
 c) 



0
dxe x
 d) 



1
2
1
dx
x
 
 
 e) 



 dxxe x
2
 f) 




_
1 2 dxxe x
 g) 

3
0
1
dx
x
 h) 
dx
x
5
0
2
1
 
 
 i) 


0
dxe x
 j) 



0
)( dxxfe px
 com 
0,0,0,)(   pxexf x   
 
 k) 


0
sen xdx
 l) 



1
2 )1( dxex x
 m) 

1
0
3 x
dx
 n) 

2
0
3x
dx
 
 
 o) 


2
1
3x
dx
 p) 

1
0
ln xdx
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
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0
2 dxe x
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dx
x


8
0
3 8
1