ED2 P2 TX - 2013

Prévia do material em texto

P2 - Segunda Prova de Equac¸o˜es Diferenciais 2
Maicon Soˆnego - 23/10/2013
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. O problema abaixo pode descrever a interac¸a˜o entre duas espe´cies (Predador-Presa) com den-
sidades populacionais x e y em determinado ambiente fechado:{
x′(t) = x(1− 0, 5x− 0, 5y)
y′(t) = y(−0, 25 + 0, 5x).
(a) (10 pontos) Determine todos os pontos cr´ıticos.
(b) (10 pontos) Explique porque dizemos que o problema acima e´ autoˆnomo e porque ele pode
ser aproximado por um sistema linear perto de cada ponto cr´ıtico.
(c) (15 pontos) Interprete o que cada ponto cr´ıtico representa no problema, analise seu tipo
e sua estabilidade.
(d) (10 pontos) Explique o que deve acontecer com a trajeto´ria da soluc¸a˜o quando t −→ ∞
no caso em que as condic¸o˜es iniciais esta˜o suficientemente pro´ximas do ponto (0, 5; 1, 5).
2. Seja f : R→ R tal que f(x+ pi) = f(x) e
f(x) =
 0, −
pi
2
< x < 0
pi
2
, 0 < x <
pi
2
.
(a) (15 pontos) Encontre a se´rie de Fourier de f .
(b) (10 pontos) Determine o limite da se´rie encontrada no ı´tem (a) quando x =
1
2
, x = −pi
2
e
depois quando x = 0.
(c) (15 pontos) Mostre que
pi
4
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ . . . =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
.
3. (20 pontos) Considere o seguinte problema de valores de contorno:{
y′′ + λy = 0
y′(0) = 0, y(pi) = 0.
O que significa dizer que λ e´ autovalor do problema acima? Encontre todos os autovalores reais
e autofunc¸o˜es.
Boa prova!