Exercícios de Séries e Equações Diferenciais

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089400 - Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais - 2o./2013
Primeira lista de exerc´ıcios
Profa. Vera Lu´cia Carbone 20 de agosto de 2013
1. Mostre que
a) lim
n→∞ r
n = 0, se |r| < 1,
b) lim
n→∞ |r
n| =∞, se |r| > 1.
2. Se k e´ um inteiro positivo, mostre que lim
n→∞
1
kn
= 0.
3. Calcule caso exista, lim
n→∞ an, sendo an igual a
a)
n3 + 3n+ 1
4n3 + 2
(Resp. 1/4) b)
√
n+ 1−√n (Resp. 0)
c) 6
(
−5
6
)n
(Resp. 0) d)
2√
n2 + 9
(Resp. 0)
e)
1
n
sinn (Resp. 0) f) 8− (78)n (Resp. 8)
g)
cosn
n
(Resp. 0) h)
(
cos2 n
3n
)
(Resp. 0)
4. Calcule os seguintes limites:
i) lim
n→+∞
ln(n+ 1)
ln(n)
ii) lim
n→+∞
2n− 1
n
.
5. Verifique se as sequeˆncias abaixo sa˜o convergentes ou na˜o. Caso convirjam determine seu limite.
(a)
{
1 + (−1)n(n+ 1)
2n
}
n∈N
(b)
{
n
n+ 1
}
n∈N
(c)
{
n+ d 1n
}
n∈N
(d)
{
n sin(
1
n
)
}
n∈N
(e)
{
cos(npi)
}
n∈N
(f)
{
n2
n+ 1
}
n∈N
(g)
{
(n+ 1)2
254(n+ 1)
}
n∈N
(h)
{ √
n
| sin2(n)|
}
n∈N
(i)
{
en
n4
}
n∈N
(j)
{
3
√
n
}
n∈N
(k)
{√
n+ 2
2
√
n
}
n∈N
(l)
{
ln(n+ 1)− ln(n)
}
n∈N
(m)
{
1
n(1 + e−n2)
}
n∈N
.
6. Mostre que a sequeˆncia {sin(npi2 ) + cos(npi)}n∈N e´ limitada, mas na˜o e´ convergente.
7. Analise quanto a` convergeˆncia as sequeˆncias {an}n>1, onde an sa˜o dadas por:
i)
n3 + 3n+ 1
4n3 + 2
ii)
√
n+ 1−√n iii)
(
1 +
2
n
)n
iv)
∫ n
0
1
1 + x2
dx v)
∫ n
2
1
x2 − x dx
1
8. Calcule lim
n→∞
an+1
an
, onde
a) an =
n!
nn
b) an = n, Use o fato que lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e.
9. Considere a sequeˆncia a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, · · ·
a) Verifique que a sequeˆncia e´ crescente e limitada superiormente por 2.
b) Calcule lim
n→∞ an. (Resp. 2)
10. Em cada um dos itens abaixo diga se a sequeˆncia (an), e´ mono´tona e se e´ limitada.
a) an =
3
n
b) an =
(−1)n
n
c) an =
n
2n
d) an =
n+ 1
n
e) an = ln(
n+ 1
n
).
11. Se {xn} for uma sequeˆncia convergente com lim
n→∞xn = 0 e yn for uma sequeˆncia limitada, mostre
que a sequeˆncia {xnyn} sera´ convergente com lim
n→∞xnyn = 0.
12. Determine o limite da sequeˆncia
(
5n
e2n
)
. (Resp. 0)
13. Prove que a sequeˆncia de termo geral
an =
∫ n
1
sin2 x
x2
ds
e´ convergente.
14. Seja an =
n∑
k=0
[1 + (−1)k], n ≥ 0. Prove que lim
n→∞ an =∞.
15. Mostre que:
a) lim
n→∞(
1
n
+
2
n
+ · · ·+ n
n
) =∞ b) lim
n→∞(
1
n2
+
2
n2
+ · · ·+ n
n2
) =
1
2
c) lim
n→∞(
1
n3
+
2
n3
+ · · ·+ n
n3
) = 0 d) lim
n→∞(
1
n5
+
2
n5
+ · · ·+ n
n5
) = 0
Sugesta˜o: Use o fato que
1 + . . .+ n =
n(n+ 1)
2
.
2