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089400 - Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais - 2o./2013
Se´tima Lista de Exerc´ıcios
Profa. Vera Lu´cia Carbone 20 de agosto de 2013
1. Nos problemas abaixo encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
a) y′′ + 2y′ − 3y = 0 b) 4y′′ − 9y = 0 c) y′′ − 2y′ − 2y = 0
d) y′′ + 5y′ = 0 e) y′′ − 9y′ + 9y = 0.
2. Nos problemas abaixo encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado e esboce o gra´fico
da soluc¸a˜o. Descreva seu comportamento quando t aumenta.
a)

y′′ + y′ − 2y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 1
b)

y′′ + 3y′ = 0
y(0) = −2
y′(0) = 3
c)

2y′′ + y′ − 4y = 0
y(0) = 0
y′(0) = 1.
3. Determine o intervalo no qual o problema de valor dado possui uma u´nica soluc¸a˜o.
a)
{
ty′′ + 3y = t
y(1) = 1, y′(1) = 2
b)
{
(t− 1)y′′ − 3ty′ + 4y = sin(t),
y(−2) = 2 y′(−2) = 1 c)
{
y′′ + (cos(t))y′ + 3(ln(|t|))y = 0,
y(2) = 3, y′(2) = 1.
4. Mostre que, se y = φ(t) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′′ + p(t)y′ + q(t)y = g(t), onde
g(t) na˜o e´ identicamente nula, enta˜o y = cφ(t), onde c e´ qualquer constante diferente de 1, na˜o
e´ soluc¸a˜o. Explique por que esse fato na˜o contradiz o teorema visto em sala de aula.
5. Verifique que ex e e−x sa˜o soluc¸o˜es de y′′ − y = 0. Mostre enta˜o que sinh(x) = ex−e−x2 e
cosh(x) = e
x+e−x
2 sa˜o tambe´m soluc¸o˜es desta equac¸a˜o diferencial.
6. Encontre o conjunto fundamental de soluc¸o˜es, com a propriedade
{
y1(t0) = 1
y′1(t0) = 0
{
y2(t0) = 0
y′2(t0) = 1
para as seguintes equac¸o˜es:
a) y′′ + y′ − 2y = 0, t0 = 0 b) y′′ + 4y′ + 3y = 0, t0 = 1
1
7. Verifique que as func¸o˜es y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial dada. Elas constituem um
conjunto fundamental de soluc¸o˜es?
a)
{
y′′ + 4y = 0
y1(t) = cos(2t), y2(t) = sin(2t)
b)
{
y′′ − 2y′ + y = 0
y1(t) = e
t, y2(t) = te
t
c)
{
x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, x > 0
y1(x) = x, y2(x) = xe
x
d)
{
(1− x cot(x))y′′ − xy′ + y = 0, 0 < x < pi
y1(x) = x, y2(x) = sin(x)
8. Prove que as func¸o˜es y1, y2 sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes da equac¸a˜o diferencial dada.
(i)
{
y′′ − y = 0,
y1(x) = e
x, y2(x) = e
−x (ii)
{
y′′ − y = 0,
y1(x) = cosh(x), y2(x) = sinh(x)
(iii)
{
y′′ − y′ − 6y = 0
y1(x) = e
−2x, y2(x) = e3x
(iv)
{
x2y′′ + xy′ − 4y = 0 x > 0,
y1(x) = x
2, y2(x) = x
−2
9. Considere o problema de valor inicial
{
3u′′ − u′ + 2u = 0
u(0) = 2, u′(0) = 0.
a. Encontre a soluc¸a˜o u(t) desse problema.
b. Encontre o primeiro instante no qual |u(t)| = 10.
10. Considere o problema de valor inicial
{
y′′ + 2y′ + 6y = 0,
y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0. (1)
a. Encontre a soluc¸a˜o y(t) desse problema.
b. Encontre α tal que y = 0 quando t = 1.
c. Encontre o menor valor positivo de t, em func¸a˜o de α, para o qual y = 0.
d. Determine o limite da expressa˜o encontrada no item (c), quando α→∞.
2
11. Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dada:
1) y′′ − 2y′ + 2y = 0 2) y′′ + 6y′ + 13y = 0 3) y′′ − 2y′ + 6y = 0
4) y′′ + 4y′ + 6, 25y = 0 5) y′′ + 2y′ + 2y = 0 6) y′′ + 2y′ + 1, 25y = 0
12. Resolva os PVI´s:
1)
{
y′′ + y = 0
y(pi/3) = 2, y′(pi/3) = −4 2)
{
y′′ + 2y′ + 2y = 0
y(pi/4) = 2, y′(pi/4) = −2 3)
{
y′′ + 4y′ + 5y = 0
y(0) = 1, y′(0) = 0
13. Use a Fo´rmula de Euler para mostrar que
cos(t) =
eit + e−it
2
sin(t) =
eit − e−it
2i
.
14. Resolva os problemas de valor inicial dado e descreva o comportamento das soluc¸o˜es quando
t→ +∞.
(1)
{
y′′ − 6y′ + 9y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 2
(2)
{
9y′′ + 6y′ + 82y = 0,
y(0) = −1, y′(0) = 2 (3)
{
y′′ + 4y′ + 4y = 0,
y(−1) = 2, y′(−1) = 1.
15. Use o Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o para as equac¸o˜es
dada. Escreva a soluc¸a˜o geral dessas equac¸o˜es.
(i)
{
t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, t > 0
y1(t) = t
2
(ii)
{
t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0
y1(t) = t
(iii)
{
t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0, t > 0
y1(t) = t
(iv)
{
(x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, x > 1
y1(t) = e
x
16. Nos problemas abaixo determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
(1) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2t (2) y′′ + 2y′ + 5y = 3 sin(2t) (3) y′′ − 2y′ − 3y = −3te−t
(4) y′′ + 2y′ = 3 + 4 sin(2t) (5) 2y′′ + 3y′ + y = t2 + 3 sin(t) (6) y′′ + y′ + 4y = 2 sinh(t)
3
(7)
{
2y′′ + 5y′ + 4y = x2 + x+ 1,
y(0) = 1, y′(0) = 0
(8)
{
y′′ − 4y = cos(2x) + sin(2x),
y(0) = 0, y(pi/2) = 1
(9)
{
y′′ + 4y′ + 4y = 2ex,
y(0) = 2, y(2) = 0
Para o ı´tem (6), lembre-se que sinh(t) = e
t−e−t
2
17. Encontre a soluc¸a˜o do Problema de Valor Inicial dado:
1.
{
y′′ + y′ − 2y = 2t
y(0) = 0, y′(0) = 1
2.
{
y′′ − 2y′ − 3y = 3te2t
y(0) = 1, y′(0) = 0
18. Use o Me´todo da Variac¸a˜o dos Paraˆmetros para encontrar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
dada:
i) y′′ + y = tan(t), 0 < t < pi/2 ii) y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0
19. Nos itens abaixo verifique que as func¸o˜es dadas satisfazem a equac¸a˜o homogeˆnea associada,
depois encontre uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea dada.
i)
{
t2y′′ − 2y = 3t2 − 1, t > 0
y1(t) = t
2 y2(t) = t
−1 ii)
{
x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 ln(x), x > 0
y1(x) = x
2 y2(x) = x
2 ln(x)
iii)
{
(1− x)y′′ + xy′ − y = g(x), 0 < x < 1
y1(x) = e
x y2(x) = x
em iii) g(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua arbitra´ria.
20. Apresente, usando o Me´todo dos coeficientes a determinar, a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es
diferenciais:
i) y′′ − 9y = 54 ii) y′′ + y′ = 3 iii) y′′ + 4y′ + 4y = 2x+ 6
iv) y′′ − 2y′ − 3y = 4ex − 9 v) y′′ − 2y′ + 5y = ex sin(x) vi) y′′ + 2y′ + y = x2e−x
4
OBS: Se necessa´rio veja exerc´ıcios adicionais em Boyce e Diprima: Equac¸o˜es Diferenciais
Elementares e Problemas de Valores de Contorno.
Bom trabalho a todos!
5