Aula_4_C_I

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – AULA 4 2ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 1 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO SENO 
 
 Seja f ( x ) = sen x. Calculando-se a derivada desta função com a utilização de limites, obtém-se: 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
sen x + Δx( ) − sen x
Δx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . Para poder desenvolver esse limite, deve-se lembrar da fórmula trigonométrica 
dada por sen p – sen q = 2 . sen p − q
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cos p + q
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Aplicando esse conceito, tem-se: 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
sen x + Δx( ) − sen x
Δx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
2 . sen x + Δx − x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cos x + Δx + x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
Δx
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
2 . sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cos 2x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
Δx
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
2 . sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
2 . Δx
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 . lim
Δx → 0
cos 2x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
Δx
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 . lim
Δx → 0
cos 2x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. Sabe-se lim
x → 0
sen x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1 (um dos limites fundamentais já 
estudados) e, portanto, tem-se: 
 f ‘ ( x ) = 1 . cos 2x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ f ‘ ( x ) = 1 . cos x ⇒ f ‘ ( x ) = cos x. 
 Assim: 
Se f ( x ) = sen x, a sua derivada é f ‘ ( x ) = cos x. 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO 
 
 Seja f ( x ) = cos x. Calculando-se a derivada desta função com a utilização de limites, obtém-se: 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
cos x + Δx( ) − cos x
Δx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . Utilizando-se a fórmula trigonométrica dada por: 
 cos p – cos q = – 2 . sen p + q
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen p − q
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, obtém-se: 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
cos x + Δx( ) − cos x
Δx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
− 2 sen x + Δx + x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen x + Δx − x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Δx
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
− 2 sen 2x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Δx
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
− 2 sen x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Δx
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ 
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Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 2 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
− 2 sen x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 . Δx
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒ f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
− sen x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Δx
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒ 
 f ‘ ( x ) = lim
Δx → 0
− sen x + Δx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. lim
Δx → 0
sen Δx
2
Δx
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 ⇒ f ‘ ( x ) = – sen x . 1 ⇒ f ‘ ( x ) = – sen x. 
 Portanto: 
 Se f ( x ) = cos x, a sua derivada é f ‘ ( x ) = – sen x. 
 
DERIVADA DAS DEMAIS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 Tendo em vista que as outras funções trigonométricas são obtidas por intermédio das funções seno e cosseno, é 
possível obter as suas derivadas utilizando-se a derivada dessas funções. 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada da função f ( x ) = tg x. 
 Como f ( x ) = tg x = sen x
cos x
, tem-se, utilizando a propriedade operatória da derivação de um quociente: 
 f x( ) = u x( )
v x( ) ⇒ f ' x( ) =
u ' x( ) . v x( ) −u x( ) . v ' x( )
v x( )( )2
 ⇒ 
u x( ) = sen x ⇒ u ' x( ) = cos x
v x( ) = cos x ⇒ v ' x( ) = − sen x
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
. Logo: 
 f ( x ) = tg x = sen x
cos x
 ⇒ f ‘ ( x ) = 
cos x . cos x − sen x . − sen x( )
cos x( )2
 ⇒ f ‘ ( x ) = cos
2 x + sen2 x
cos2 x
. 
 Como a expressão sen2 x + cos2 x = 1, vem: 
 f ‘ ( x ) = 1
cos2 x
 ⇒ f ‘ ( x ) = sec2 x . 
 Portanto: 
 Se f ( x ) = tg x, a sua derivada é f ‘ ( x ) = sec2 x. 
 
 Procedendo-se da mesma maneira, encontram-se as derivadas das demais funções trigonométricas. 
 
 a) Se f ( x ) = cotg x ⇒ f ‘ ( x ) = – cossec2 x. b) Se f ( x ) = sec x ⇒ f ‘ ( x ) = sec x . tg x. 
 c) Se f ( x ) = cossec x ⇒ f ‘ ( x ) = – cossec x . cotg x. 
 
 Como é possível ter expressões mais complexas no lugar da variável “x”, deve-se aplicar a regra da cadeia e, assim, 
encontram-se as seguintes regras de derivação: 
 
1) f ( x ) = sen u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = cos u ( x ) . u ‘ ( x ); 
2) f ( x ) = cos u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = – sen u ( x ) . u ‘ ( x ); 
3) f ( x ) = tg u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = sec2 u ( x ) . u ‘ ( x ); 
4) f ( x ) = cotg u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = – cossec2 u ( x ) . u ‘ ( x ); 
5) f ( x ) = sec u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = sec u ( x ) . tg u ( x ) . u ‘ ( x ), e; 
6) f ( x ) = cossec u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = – cossec u ( x ) . cotg u ( x ) . u ‘ ( x ). 
EXEMPLOS 
 Determinar as derivadas das funções dadas abaixo: 
 1) f ( x ) = sen ( x2 ). 
 Solução: 
 Como f ( x ) = sen u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = cos u ( x ) . u ‘ ( x ). Assim, u ( x ) = x2 ⇒ u ‘ ( x ) = 2x. Portanto: 
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 f ‘ ( x ) = cos ( x2 ) . 2x. 
 Logo: f ( x ) = sen ( x2 ) ⇒ f ‘ ( x ) = 2x . cos ( x2 ). 
 2) f ( x ) = cos 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Solução: 
 Sendo f ( x ) = cos u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = – sen u ( x ) . u ‘ ( x ). Portanto: u ( x ) = 1
x
 ⇒ u ‘ ( x ) = − 1
x2
. 
 Assim: 
 f ( x ) = cos 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ f ‘ ( x ) = – sen 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . − 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ f ‘ ( x ) = 1
x2
 . sen 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 3) f ( x ) = 3 . tg x + cot g 3x( ) . 
 Solução: 
 Como f ( x ) = tg u ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = sec2 u ( x ) . u ‘ ( x ) e f ( x ) = cotg v ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = – cossec2 v ( x ) . v ‘ ( x ), 
tem-se: 
 u ( x ) = x ⇒ u ‘ ( x ) = 1
2 x 
 e v ( x ) = 3x ⇒ v ‘ ( x ) = 3. Realizando as devidas substituições, obtém-se: 
 f ‘ ( x ) = 0 . tg x + 3 . sec2 x . 1
2 x 
 + − cossec2 3x( ) . 3( ) ⇒ f ‘ ( x ) = 3 . sec2 x 
2 x 
− 3 . cossec2 3x( ) . 
 4) f ( x ) = cos x
1+ cot g x
. 
 Solução: 
 Como é um quociente de duas funções, deve-se utilizar f x( ) = u x( )
v x( ) ⇒ f ' x( ) =
u ' x( ) . v x( ) −u x( ) . v ' x( )
v x( )( )2
. 
 Como as funções envolvidas tem-se: u ( x ) = cos x ⇒ u ‘ ( x ) = – sen x e v ( x ) = 1 + cotg x ⇒ v ‘ ( x ) = – cossec2 x. 
 f ' x( ) = u ' x( ) . v x( ) −u x( ) . v ' x( )
v x( )( )2
 ⇒ f ' x( ) =
− sen x . 1+ cot g x( ) − cos x . − cossec2 x( )
1+ cotg x( )2
 ⇒ 
 f ' x( ) = − sen x −sen x . cotg x + cos x . cossec
2 x
1+ cotg x( )2
. 
 5) f ( x ) = sec x2 + 3x + 7( ) . 
 Solução: 
 u ( x ) = x2 + 3x + 7 ⇒ u ‘ ( x ) = 2x + 3. Dessa maneira, pode-se fazer: 
 f ‘ ( x ) = sec u ( x ) . tg u ( x ) . u ‘ ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = sec x2 + 3x + 7( ) . tg x2 + 3x + 7( ) . 2x + 3( ) ⇒ 
 f ‘ ( x ) = 2x + 3( ) . sec x2 + 3x + 7( ) . tg x2 + 3x + 7( ) . 
 6) f ( x ) = cossec x +1
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
Solução: 
h ( x ) = x +1
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ h ( x ) = 
u x( )
v x( ) ⇒ 
u x( ) = x +1⇒ u ' x( ) = 1
v x( ) = x −1⇒ v ' x( ) = 1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 e, portanto, h ‘ ( x ) = 
1 . x−1( ) − x +1( ) . 1
x −1( )2
 ⇒ 
h ‘ ( x ) = − 2
x −1( )2
. Com isso, obtém-se: 
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f ‘ ( x ) = – cossec x +1
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cotg x +1
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . − 2
x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 ou f ‘ ( x ) = 2
x −1( )2
 . cossec x +1
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cotg x +1
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
 Não se vai demonstrar como se obtém as derivadas das funções trigonométricas inversas. Se necessitar ver as 
demonstrações, procure-as nos livros indicados na bibliografia básica (ou complementar) constantes na ementa da disciplina, 
disponível no plano de ensino da mesms. 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO: 
1) ARCO SENO: Seja f ( x ) = arc sen x ⇒ f ‘ ( x ) = 1
1− x2
. 
2) ARCO COSSENO: Seja f ( x ) = arc cossen x ⇒ f ‘ ( x ) = − 1
1− x2
. 
3) ARCO TANGENTE: Seja f ( x ) = arc tg x ⇒ f ‘ ( x ) = 1
1+ x2
. 
4) ARCO COTANGENTE: Seja f ( x ) = arc cotg x ⇒ f ‘ ( x ) = − 1
1+ x2
. 
5) ARCO SECANTE: : Seja f ( x ) = arc sec x , com x ≥1 ⇒ f ‘ ( x ) = 1
 x . x2 − 1
, com x >1 . 
6) ARCO COSSECANTE: Seja f ( x ) = arc cossec x , com x ≥1 ⇒ f ‘ ( x ) = − 1
 x . x2 − 1
, com x >1 . 
 
 Da mesma forma já vista anteriormente, é possível ter outras funções no lugar da variável “x” das funções 
trigonométricas inversas. Então, as fórmulas que devem ser utilizadas passam a ser: 
1) ARCO SENO: Seja f ( x ) = arc sen u x ( )⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ f ‘ ( x ) = 
u ' x ( )
1− u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2
. 
2) ARCO COSSENO: Seja f ( x ) = arc cossen u x ( )⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ f ‘ ( x ) = 
− u ' x ( )
1− u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2
. 
3) ARCO TANGENTE: Seja f ( x ) = arc tg u x ( )⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ f ‘ ( x ) = 
 u ' x ( )
1+ u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2 . 
4) ARCO COTANGENTE: Seja f ( x ) = arc cotg u x ( )⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ f ‘ ( x ) = 
 − u ' x ( )
1+ u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2 . 
5) ARCO SECANTE: : Seja f ( x ) = arc sec u x ( )⎡⎣ ⎤⎦ , com x ≥1 ⇒ f ‘ ( x ) = 
u ' x ( )
 u x ( ) . u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
22
− 1
, com 
 x >1 . 
6) ARCO COSSECANTE: Seja f ( x ) = arc cossec u x ( )⎡⎣ ⎤⎦ , com x ≥1 ⇒ f ‘ ( x ) = 
− u ' x ( )
 u x ( ) . u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
22
− 1
, 
com x >1 . 
 
EXEMPLOS 
 Determinar as derivadas das funções dadas abaixo: 
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 1) f ( x ) = arc sen (x + 1). 
 Solução: 
 u ( x ) = x + 1 ⇒ u ‘ ( x ) = 1. Portanto: 
 f ‘ ( x ) = 
u ' x ( )
1− u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2
 ⇒ f ‘ ( x ) = 1
1− x +1( )2
 ⇒ f ‘ ( x ) = 1
1− x2 + 2x +1( )
 ⇒ f ‘ ( x ) = 1
1− x2 − 2x −1
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = 1
−x2 − 2x
. 
 2) f ( x ) = arc tg 1− x
2
1+ x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Solução: 
 u ( x ) = 1− x
2
1+ x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ u ( x ) = 
h x ( )
w x ( ) ⇒ 
h x ( ) = 1− x2 ⇒ h ' x ( ) = − 2x
w x ( ) = 1+ x2 ⇒ w ' x( ) = 2x
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
. Logo: 
 u ‘ ( x ) = 
h ' x ( ) . w x ( ) −h x ( ) . w ' x ( )
w x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2 ⇒ u ‘ ( x ) = 
− 2x . 1+ x2 ( ) − 1− x2 ( ) . 2x
 1+ x2 ( )2
 ⇒ 
 u ‘ ( x ) = 
− 2x − 2x3 − 2x + 2x3
 1+ x2 ( )2
 ⇒ u ‘ ( x ) = − 4x
 1+ x2 ( )2
. 
 f ‘ ( x ) = 
 u ' x ( )
1+ u x ( )⎡⎣ ⎤⎦
2 ⇒ f ‘ ( x ) = 
 − 4x
1+ x2( )2
1+ 1− x
2
1+ x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
 ⇒ f ‘ ( x ) = 
 − 4x
1+ x2( )2
1+
1− x2( )2
1+ x2( )2
 ⇒ f ‘ ( x ) = 
 − 4x
1+ x2( )2
1+ x2( )2 + 1− x2( )2
1+ x2( )2
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = 
 − 4x
1+ x2( )2
1+ 2x2 + x4 +1− 2x2 + x4
1+ x2( )2
 ⇒ f ‘ ( x ) = 
 − 4x
1+ x2( )2
2 + 2x4
1+ x2( )2
 ⇒ f ‘ ( x ) = − 4x
1+ x2( )2
 . 
1+ x2( )2
2 1+ x4( ) ⇒ f ‘ ( x ) = 
− 2x
1+ x4
. 
 3) f ( x ) = 3 . tg (2x + 1) + x . 
 Solução: 
 Deve-se perceber que f ( x ) = u ( x ) . v ( x ) + w ( x ). Assim, tem-se: 
 u ( x ) = 3 ⇒ u ‘ ( x ) = 0 ; v ( x ) = tg (2x + 1) ⇒ v ‘ ( x ) = sec2 (2x + 1) . 2 e w ( x ) = x ⇒ w ‘ ( x ) = 1
2 x
. 
 Portanto: 
 f ‘ ( x ) = u ‘ ( x ) . v ( x ) + u ( x ) . v ‘ ( x ) + w ‘ ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = 0 . tg (2x + 1) + 3 . sec2 (2x + 1) . 2 + 1
2 x
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = 6 . sec2 (2x + 1) + 1
2 x
. 
 4) f ( x ) = e2x . cos ( 3x ). 
 Solução: 
 Tem-se f ( x ) = u ( x ) . v ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = u ‘ ( x ) . v ( x ) + u ( x ) . v ‘ ( x ). 
 u ( x ) = e2x ⇒ u ‘ ( x ) = e2x . 2 e v ( x ) = cos ( 3x ) ⇒ v ‘ ( x ) = – sen ( 3x ) . 3 
 Procedendo-se as devidas substituições: 
 f ‘ ( x ) = u ‘ ( x ) . v ( x ) + u ( x ) . v ‘ ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = e2x . 2 . cos ( 3x ) + e2x . ( – sen ( 3x ) . 3) ⇒ 
 f ‘ ( x ) = 2 . e2x . cos ( 3x ) – 3 . e2x . sen ( 3x ) ⇒ f ‘ ( x ) = e2x . 2 . cos ( 3x ) − 3 . sen ( 3x ) ⎡⎣ ⎤⎦ . 
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EXERCÍCIOS 
Determinar a derivada das funções dadas abaixo: 
1) f ( x ) = cos π
2
− x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 2) f ( θ ) = 2 cos θ2 . sen ( 2θ ) 3) f ( x ) = sen3 (3x2 + 6x) 4) f ( x ) = 3 . sec
2 x
x
 
5) f ( θ ) = – cossec2 θ3 6) f ( x ) = a . cos bx( ) 7) f ( u ) = u . tg u( )2 8) f ( θ ) = acotg θ, a > 0 
9) f ( x ) = arc sen x( )2 10) f ( t ) = t . arc cos (3 t ) 11) f ( t ) = arc cos ( sen t ) 12) f ( x ) = arc sec x ( ) 
13) f ( t ) = t2 . arc cossec 2t + 3( ) 14) f ( x ) = sen (2x + 4) 15) f ( θ ) = 2 . cos 2θ2 − 3θ +1( ) 16) f ( α ) = 1+ cos 2α( )2 
17) f ( θ ) = sen2 θ + cos2 θ 18) f ( s ) = cotg4 2s − 3( )2 19) f ( x ) = 1sen x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
 20) f ( x ) = sen2 x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cos2 x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
21) f ( t ) = ln cos2 t( ) 22) f ( x ) = 2log 3x − cos 2x( )⎡⎣ ⎤⎦ 23) f ( t ) = e2 . cos (2t) 24) f ( x ) = arc cos 2x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
25) f ( s ) = 
arc sen s
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
s +1
 26) f ( x ) = arc tg 1
1− x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 
RESPOSTAS 
1) f ‘ ( x ) = sen π
2
− x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 2) f ‘ ( θ ) = 4 . cos θ2 cos 2θ – 4θ . sen 2θ sen θ2 
3) f ‘ ( x ) = 3 . sen2 3x2 + 6x( ) . cos 3x2 + 6x( ) . 6x + 6( ) 4) f ‘ ( x ) = 6x . sec
2 x . tg x − 3 . sec2 x
x2
 
5) f ‘ ( θ ) = 6 . θ2 . cossec2 ( θ3 ) . cotg ( θ3 ) 6) f ‘ ( x ) = 
− ab sen bx( )
2 . cos bx( )
 7) f ‘ ( u ) = 2 . u2 . sec2 u . tg u + 2 . u . tg2 u 
8) f ‘ ( θ ) = – acotg θ . ln a cossec2 θ 9) f ‘ ( x ) = 2 . arc sen x
1− x2
 10) f ‘ ( t ) = − 3t
1− 9t2
+ arc cos 3t( ) 
11) f ‘ ( t ) = – 1 12) f ‘ ( x ) = 1
2x . x −1
 13) f ‘ ( t ) = − 2t
2
 2t + 3 . 2t + 3( )2 −1
+ 2t . arc cossec 2t + 3( ) 
14) f ‘ ( x ) = 2 . cos (2x + 4) 15) f ‘ ( θ ) = – 2 . sen (2θ2 – 3θ + 1) . (4θ – 3) 16) f ‘ ( α ) = – sen (2α) 17) f ‘ ( θ ) = 0 
18) f ‘ ( s ) = – 16 . (2s – 3) . cotg3 (2s – 3) . cossec2 (2s – 3)2 19) f ‘ ( x ) = −2 . cos x
sen3 x
 
20) f ‘ ( x ) = – sen3 x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cos x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 + cos3 x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . sen x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 21) f ‘ ( t ) = – 2 . tg t 22) f ‘ ( x ) = 
3 + 2 . sen 2x( )
3x − cos 2x( ) . log2 e 
23) f ‘ ( t ) = – 4 . sen ( 2t ) . e2 . cos(2t) 24) f ‘ ( x ) = − 2
9 − 4x2
 25) f ‘ ( s ) = 1
s +1( )2
s +1
4 − s2
− arc sen s
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
26) f ‘ ( x ) = 2x
x4 − 2x2 + 2
.