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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 6 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU 
 
Definição 
Uma função polinomial de 2º grau também pode ser chamada de função quadrática. 
É toda função que pode ser reduzida à forma f ( x ) = ax2 + bx + c , com a ≠ 0. 
 
Exemplos 
São exemplos de funções quadráticas: 
 • f ( x ) = x 2 – 2x + 1, em que a = 1 , b = –2 e c = 1; • y = – x 2, em que a = –1 , b = 0 e c = 0. 
 
 Gráfico de uma Função Polinomial de 2º Grau 
Toda função polinomial de 2º grau tem uma representação gráfica dada por uma curva denominada de parábola, a 
qual intercepta o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto de coordenadas ( 0 , c ). 
Se a função de 2º grau tiver o parâmetro a positivo, isto é, a > 0, a curva terá a sua concavidade voltada para cima e 
a função terá um ponto de mínimo. 
Se o valor de a for negativo, ou seja, a < 0, a concavidade da curva será voltada para baixo e a função terá, então, 
um ponto de máximo. 
Observe: 
 
Raízes de uma Função Polinomial de 2º Grau 
Para encontrar as raízes x1 e x2 (ou x’ e x’’), que são os pontos nos quais a parábola intercepta o eixo das abscissas 
(eixo x), deve-se igualar a função do 2º grau a zero e resolver a equação do 2º grau resultante. 
Para tanto, usa-se a fórmula de Bháskara (ou Báscara, conforme outros autores): 
 ou 
O símbolo Δ recebe o nome de discriminante e seu valor corresponde a Δ = b2 – 4 . a . c. 
Ainda em relação ao discriminante Δ, conforme o seu valor, podemos saber o que esperar em relação às raízes x1 e 
x2 obtidas da fórmula de Bháskara. 
Assim, se: 
• Δ > 0 (positivo), a função possui duas raízes reais e diferentes. A parábola interceptará o eixo x em dois 
pontos: x1 e x2; 
• Δ = 0 (nulo), a função possui duas raízes reais e iguais. A parábola “encostará” no eixo x no ponto x1 = x2, e; 
• Δ < 0 (negativo), a função não possui raízes reais. Isso implica que a parábola não interceptará o eixo x. 
 
Coordenadas do Vértice de uma Função Polinomial de 2º Grau 
Toda parábola possui um vértice, que é o ponto no qual o gráfico representativo da função de 2º grau deixa de ser 
crescente e passa a ser decrescente ou vice-versa. 
As coordenadas do vértice são determinadas por: 
xV = − 
b
2a
 e yV = − 
Δ
4a
 
Observe atentamente os gráficos genéricos esquematizados abaixo: 
x = − b ± b
2 − 4 . a . c 
2 . a
x = − b ± Δ 
2 . a
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Observação 
Quando se conhecem os valores das raízes x1 e x2 de uma função do 2º grau e o valor do parâmetro “a”, pode-se 
escrever a função do 2º grau que resultou nessas raízes. 
Para tanto, utiliza-se a forma fatorada da função do 2º grau, que é: 
y = a ( x – x1 ) . ( x – x2) 
Exemplos 
1) Sabendo que –2 e 3 são raízes de uma função quadrática e que o ponto (–1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, 
determine a função que deu origem a essas raízes, verificando se a função possui ponto de máximo ou de mínimo e a 
ordenada desse ponto. 
Solução: 
Sabe-se que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x – x1)(x – x2) , em que x1 e x2, são os 
zeros ou raízes da função. 
Portanto, pode-se escrever: 
y = a[x – (– 2 )](x – 3) = a(x + 2)(x – 3) ⇒ y = a(x + 2)(x – 3) 
 
Como o ponto (–1,8) pertence ao gráfico da função, obtém-se: 
8 = a(–1 + 2)( –1 – 3) ⇒ 8 = a(1)( –4) ⇒ 8 = – 4.a ⇒ a = – 2 
 
A função é então: y = –2(x + 2)(x – 3) ⇒ y = (–2x –4)(x – 3) ⇒ 
y = –2x2 + 6x – 4x + 12 ⇒ y = –2x2 + 2x + 12 
 
Nessa situação, a = – 2 , b = 2 e c = 12. 
Como a é negativo, conclui-se que a função possui ponto de máximo. A ordenada desse ponto vai ser dada por: 
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 
 Resposta: A função procurada é y = –2x2 + 2x + 12, que possui um ponto de máximo dado pela ordenada . 
2) Determinar as raízes da função f ( x )= – x 2 + 2 x – 3 e construir o seu gráfico representativo. 
Solução: 
Para encontrar as raízes da função, usa-se a fórmula de Bháskara após igualar a função a zero. Assim: 
⇒ ⇒ ⇒ 
 Como o valor do discriminante Δ = – 8 é negativo, não é possível extrair a raiz quadrada no conjunto dos números 
reais e, portanto, não há valores para x1 e para x2. 
 Isto significa que a parábola não intercepta o eixo x. 
 Calculando as coordenadas do vértice da parábola encontra-se: 
⇒ ⇒ e ⇒ ⇒ 
Portanto, sabemos que: 
• o gráfico interceptará o eixo das ordenadas no ponto (0 , – 3); 
• o vértice tem coordenadas V ( 1, – 2 ); 
• a parábola não intercepta o eixo x pois Δ = – 8. 
yV = − 
Δ
4 . a yV = − 
b2 − 4 . a . c
4 . a
yV = − 
22 − 4 . − 2( ) . 12
4 . − 2( ) yV = − 
100
− 8 yV = 12,5
12,5yv =
xV =
− b ± b2 − 4 . a . c
2 . a
xV =
− 2 ± 22 − 4 . − 1( ) . − 3( )
2 . − 1( ) xV =
− 2 ± 4 − 12
− 2
xV =
− 2 ± − 8
− 2
xV = − 
b
2 . a xV = − 
2
2 . − 1( ) xV = 1 yV = − 
Δ
4 . a yV = − 
− 8
4 . − 1( ) yV = − 2
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FUNÇÕES RACIONAIS 
 
 Uma função é denominada de função racional quando pode ser representada como o quociente entre dois polinômios, 
sendo o polinômio do divisor não nulo (diferente de zero). 
 A notação usual é: f x( ) = a x( )
b x( ) 
Determinação do domínio de uma função racional 
Para a determinação do domínio de uma função racional basta estabelecer que o polinômio que está no denominador 
deve ser diferente de zero. 
O domínio de uma função racional consiste de todos os números reais tais que b ( x ) ≠ 0. 
O domínio de uma função racional será dado por: 
D ( f ) = { x ∈ IR | b ( x ) ≠ 0 }. 
Exemplos 
Determine o domínio das funções racionais: 
1) f x( ) = x
2 + 2x
x −1
 . 
Solução: 
Devemos estabelecer a condição de que o polinômio que está no denominador seja diferente de zero, ou seja: 
x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 
Logo, D ( f ) = { x ∈IR | x ≠ 1 }. 
2) f x( ) = 7
x2 − 5x + 6
 . 
Solução: 
Estabelecendo a condição de que o polinômio que está no denominador seja diferente de zero, vem: 
x2 − 5x + 6 ≠ 0 . Resolvendo essa inequação, encontramos: x ≠ 2 e x ≠ 3. 
Logo, D ( f ) = { x ∈IR | x ≠ 2 e x ≠ 3}. 
3) f x( ) = 1+ 2x +
3
x −1
. 
Solução: 
Como temos dois denominadores, devemos estabelecer a condição de cada um dos denominadores seja diferente de 
zero, ou seja: 
x ≠ 0 e x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1. 
Assim, D ( f ) = { x ∈IR | x ≠ 0 e x ≠ 1}. 
 
Gráficos de uma função racional 
Algumas considerações se fazem importante ao se trabalhar com funções racionais, no que diz respeito aos gráficos 
gerados por elas. 
Ao contrário dos polinômios, cujos gráficos são curvas contínuas, sem interrupções, os gráficos de funções racionais 
podem apresentar interrupções nos pontos em que o denominador da função for igual a zero. 
Assim, uma função racional pode não estar definida para determinados valores da variável independente “x”. Próximo 
desses valores, algumas funções racionais têm gráficos que se aproximam bastante de uma reta vertical denominada de 
assíntota vertical. Em alguns gráficos essa reta pode aparecer representada, mas deve-se tomar o cuidado de representá-la 
por uma linha tracejada. 
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Outra característica de algumas funções racionais, é o fato de que algumas delas “começam” ou “terminam” cada vez 
mais perto de uma reta horizontal, denominada assíntota horizontal. 
Uma exceção é o caso em que, apesardo denominador ser igual a zero para um determinado valor da variável 
independente “x”, este pode ser cancelado no processo de fatoração e simplificação da função racional. 
Neste caso, a representação gráfica da função racional apresentará um “furo” no ponto onde o denominador é igual a 
zero. 
 
 
Exemplos 
1) Representar graficamente a função f x( ) = x
2 + 2x
x + 2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porque isso acontece: 
Observe o processo de fatoração e simplificação: 
f x( ) = x
2 + 2x
x + 2
⇒ f x( ) = x . x + 2( )x + 2 ⇒ f x( ) = x . 
Apesar de ter ocorrido a simplificação, a função original tinha o denominador x + 2 que, por se localizar no 
denominador, não pode se anular. Então, x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ – 2. 
Logo, no ponto dessa abscissa, a função não pode ter representação gráfica uma vez que o D ( f ) = { x ∈IR | x ≠ – 2 }. 
Observe os gráficos de outras funções racionais. 
2) A representação gráfica da função f x( ) = 1x −1 é: 
 
 2) As representações gráficas das funções f x( ) = x
2 + 2x
x2 −1
 e g x( ) = 7
x2 + 2
 são: 
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APLICAÇÕES DE FUNÇÕES RACIONAIS 
 Existem inúmeras situações do quotidiano que se representam por funções racionais e se resolvem por intermédio 
dessas funções. 
Veremos, a seguir, um exemplo: 
Uma espécie rara de insetos foi descoberta recentemente em uma floresta tropical. Os cientistas resolveram 
transportar alguns desses insetos para estudos laboratoriais. A população de insetos, depois de “t” meses de levados ao 
laboratório, era dada pela função P t( ) = 50 1+ 0,5t( )
2 + 0,01t
. Com base nesses dados, responda: 
a) qual o domínio da função representativa da população de insetos? 
b) quantos insetos foram transportados para o laboratório? 
c) qual será a população estimada de insetos após 5 anos? 
d) passados quantos anos, a população de insetos atingirá o número de 1.000 insetos? 
Solução: 
a) Determinação do domínio da função: 
Devemos estabelecer que o polinômio que está no denominador deve ser diferente de zero, ou seja: 
2 + 0,01 t ≠ 0 ⇒ 0,01 t ≠ – 2 ⇒ t ≠ 
−  2
0,01
 ⇒ t ≠ – 200. 
Logo, D ( P ) = { t ∈ IR | t ≠ – 200} 
b) Determinação da população de insetos que foram transportados ao laboratório: 
No instante do transporte ao laboratório, t = 0. Então: 
P t( ) = 50 1+ 0,5t( )
2 + 0,01t
 ⇒ P t( ) = 50 1+ 0,5 . 0( )
2 + 0,01 . 0
 ⇒ P t( ) = 50
2
 ⇒ P t( ) = 25 . 
Logo, foram transportados ao laboratório 25 insetos. 
c) Determinação da população de insetos após 5 anos: 
Como a função dada tem o tempo “t” em meses, para substituir na função devemos colocar o tempo dado em meses, 
ou seja, 5 anos = 60 meses. Assim: 
P t( ) = 50 1+ 0,5t( )
2 + 0,01t
⇒P t( ) = 50 1+ 0,5 . 60( )
2 + 0,01 . 60
⇒P t( ) = 50 31( )
2,6
⇒ P t( ) = 1550
2,6
 ⇒ P t( ) = 596,1538462... . 
Então, podemos afirmar que a população de insetos após 5 anos será de, aproximadamente, 596 insetos. 
d) Determinação do tempo para que a população de insetos chegue aos 1.000 insetos: 
P t( ) = 50 1+ 0,5t( )
2 + 0,01t
 ⇒1000 =
50 1+ 0,5t( )
2 + 0,01t
⇒1000 . 2 + 0,01t( ) = 50 1+ 0,5t( ) ⇒ 2000 +10t = 50 + 25t ⇒ 
25t - 10t = 2000 - 50 ⇒ 15t = 1950 ⇒ t =
1950
15
 ⇒ t = 130. 
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Portanto, serão necessários 130 meses ou 10 anos e 10 meses para a população de insetos chegar aos 1.000 
insetos. 
 
No contexto do problema apresentado, não tem significado que os meses sejam negativos, então também é possível 
estabelecer que o domínio da função seja representado por: D ( P ) = { t ∈ IR | t ≥ 0}. 
 
FUNÇÕES IRRACIONAIS 
 
Uma função f ( x ), real de variável real, é denominada de função irracional se a variável independente “x” figurar em 
um radicando. 
A notação mais usual é: 
f x( ) = a x( ) n 
Determinação do domínio de uma função irracional 
Para determinar o domínio de uma função irracional f x( ) = a x( ) n , onde n ∈ ℤ, é necessário ter em atenção que: 
a) se “n” for um número par, D ( f ) = { x ∈IR | a ( x ) ≥ 0 }, e; 
b) se “n” for um número ímpar, não existe nenhuma restrição ao domínio da função, portanto D ( f ) = IR. 
 
Exemplos 
Determine o domínio das funções irracionais dadas a seguir: 
1) f x( ) = 4x 3 . 
Solução: 
Como o índice do radical é um número inteiro ímpar, não há restrição alguma para o domínio da função. 
Logo: D ( f ) = IR. 
2) g x( ) = x3 . 
Solução: 
Sendo o índice do radical um número inteiro par, significa que o radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja: 
x
3
≥ 0⇒ x ≥ 0 . 3⇒ x ≥ 0 . 
Portanto: D ( g ) = { x ∈  | x ≥ 0 } 
3) f x( ) = x
x2 −1
 . 
Solução: 
Como o índice do radical é um número inteiro par, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Mas, no radicando 
temos uma fração que apresenta uma variável no denominador e, portanto, temos: x
x2 −1
≥ 0 . 
Assim, tem-se: 
x ≥ 0 ⇒ solução I 
x2 – 1 ≠ 0 ⇒ x1 ≠ – 1 e x2 ≠ 1 ⇒ solução II 
Portanto: 
 
 
Portanto, o domínio da função irracional f x( ) = x
x2 −1
 será dado por: D ( f ) = { x ∈ IR | x ≥ 0 e x ≠ 1 } 
 
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APLICAÇÃO DE FUNÇÕES IRRACIONAIS 
 
Muitas situações do quotidiano podem ser traduzidas com a utilização de funções irracionais. Observe o exemplo 
dado a seguir. 
A equação de procura de um determinado bem de consumo é dada por intermédio da função matemática dada por 
p x( ) = 60 − 0,5 . x − 2( ) , onde “x” representa o número de unidades procuradas por mês e p ( x ) é o preço por unidade do 
bem. De posse desses dados, determine quantas unidades desse bem são procuradas no mês em que o preço de oferta do 
produto seja R$ 25,00. 
Solução: 
a) Em primeiro lugar, devemos estabelecer o domínio da função para verificar quais os resultados que poderão ser 
aceitos. A única “parte” da função que necessita ser examinada é a que está sob o símbolo de radical, ou seja, o radicando 
deve ser maior ou igual a zero: 
0,5 . (x – 2) ≥ 0 ⇒ x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ⇒ D ( p ) = {x ∈ IR | x ≥ 2}. 
b) Resolvendo a situação exposta pelo problema, temos: 
p x( ) = 60 − 0,5 . x − 2( ) ⇒ 25 = 60 − 0,5 . x − 2( ) ⇒ 0,5 . x − 2( ) = 60 − 25 ⇒ 0,5 . x − 2( ) = 35⇒ 
0,5 . x − 2( ) = 352 ⇒ x − 2 = 12250,5 ⇒ x = 2450 + 2⇒ x = 2452 
Como este número está contemplado no domínio da função determinado no item a, podemos aceitá-lo como solução 
do problema. 
Resposta: No mês em que o preço de oferta for de R$ 25,00, serão procuradas 2.452 unidades desse bem. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) O lucro de uma indústria é função da produção diária de determinada peça. Tal lucro obedece à regra definida pela 
função f ( x ) = 0,2 . x 2 + 10 . x − 1500 reais. Qual é, então, o lucro dessa indústria, em reais, quando a produção diária for de 
100 peças? Resp.: R$ 1.500,00 
2) Determinar as raízes das equações dadas abaixo: 
 a) f ( x ) = 2 x 2 – 6 x – 20 . Resp.: x1 = – 2 e x2 = 5. 
 b) f ( x ) = 2 + . Resp.: x = – 6. 
 c) f ( x ) = 3 x 2 – 7x + 2. Resp.: x1 = e x2 = 2. 
3) Sabe-se que 2 e 3 são raízes de uma função quadrática. O ponto de coordenada ( 1, 8 ) pertence ao gráfico dessa 
função. Com base nessas informações, responda corretamente: 
 a) Qual é a expressão matemática que representa essa função? Resp.: y = 4 x2 – 20 x + 24. 
 b) Qual o ponto no qual o gráfico da função intercepta o eixo das ordenadas? Resp.: (0, 24). 
 c) Quais são ascoordenadas do vértice dessa função? Resp.: xV = e yV = – 1. 
4) Determinar as coordenadas do vértice da parábola que apresentam como lei de formação as expressões 
matemáticas dadas abaixo: 
 a) f ( x ) = 4x 2 + 2x – 3. Resp.: xV = e yV = . 
b) f ( x ) = – x 2 + 2x + 3. Resp.: xV = 1 e yV = 4. 
c) f ( x ) = x2 – 8x – 9. Resp.: xV = 4 e yV = – 25. 
5) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função: y = 3x² – x + m passe pelo 
ponto (1;6). Resp.: m = 4. 
6) Calcule os valores dos parâmetros a e b para que o gráfico representativo da função f ( x ) = a x 2 + b x + 6 tenha 
como coordenadas do seu vértice xV = e yV = . Resp.: a = 1 e b = – 5. 
7) Qual o valor de m para que o gráfico da função quadrática f x( ) = 2m − 5( )x2 + 6x + 3 tenha concavidade voltada 
para cima? Resp.: m > 5
2
. 
8) Qual o valor de k para que a função f x( ) = k − 3( )x2 − 4 não possua zeros reais? Resp.: k < 3. 
x
3
1
3
5
2
− 1
4
− 13
4
5
2
− 1
4
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9) Em um determinado dia, foi detectada em um doente uma infecção cutânea, que evoluiu de acordo com o seguinte 
modelo matemático A t( ) = − t2 + 6t +16 , sendo A t( ) a área de pele infectada, em mm2, e t o tempo, em dias, contado 
a partir do momento em que foi detectada. Sabe-se que a área infectada começou a diminuir quando foi administrado 
antibióticos. Com base nesses dados, responda: 
 a) qual a área de pele atingida após 2 dias de infecção? Resp.: 7 mm2. 
 b) em que dia se iniciou o tratamento com antibiótico? Resp.: No 5º dia após o início da infecção. 
c) a infecção afetou uma área de 12 mm2? Em caso positivo, isso aconteceu depois de quantos dias? Resp.: 
No 3º dia de infecção, antes de iniciar o tratamento, e no 7º dia, após o início do tratamento. 
 d) ao fim de quantos dias, após o início do tratamento, a infecção se extinguiu? Resp.: Após 4 dias. 
10) O custo de produzir x unidades por dia de um produto é C x( ) = 0,5x2 + 20x +15 e a equação de demanda é 
p = 30 – x. Determine: 
a) o preço que maximiza o lucro, e; Resp.: p = R$ 26,67. 
b) o intervalo em que deve variar o preço para que o lucro seja não negativo. Resp.: p = R$ 25,61 a 
p = R$ 27,72. 
Observação: A função lucro é dada por L ( x ) = R ( x ) – C ( x ); a função receita é dada por R ( x ) = p . x. 
11) Determine as coordenadas do vértice da parábola representativa da função f x( ) = 14 x + 4( ) x − 8( ) . Resp. xV = 2 e 
yV = – 9. 
12) Determine o domínio das funções racionais dadas abaixo: 
 a) y = x
2 + 2x
x2 −1
. e) f x( ) = x
2 +1
9x
. 
 b) y = 7
x2 + 2
. f) f x( ) = x +1x −1 . 
 c) f x( ) = x2 + 3x . g) f x( ) =
1
x2 + 4x − 5
. 
 d) f x( ) = x
x2 − 9
. h) f x( ) = 74x +
1
4x − 5
. 
 Respostas: a) D = { x ∈  | x ≠ – 1 e x ≠ 1} ; b) D = { x ∈  | x ≠ – 2 e x ≠ 2 } ; c) D ( f ) = { x ∈  | x ≠ 0} 
 d) D ( f ) = {x ∈IR | x ≠ ± 3} ; e) D ( f ) = {x ∈IR | x ≠ 0} ; f) D ( f ) = {x ∈IR | x ≠ 1} ; g) D ( f ) = {x ∈IR | x ≠ – 5 e x ≠ 1} 
 h) D = x ∈ | x ≠ 0 e x ≠ 5
4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
13) Considere as funções racionais f x( ) = − 1x − 2 ; g x( ) =
3x + 7
x + 4
; h x( ) = x
2 + x +1
x −1
 e w x( ) = 2x +1
x2 + x − 2
, determine: 
a) o domínio de cada uma dessas funções, e; 
b) a equação das assíntotas verticais de cada um dos gráficos destas funções. 
Resp.: a) D ( f ) = {x ∈IR | x ≠ 2}; D ( g ) = {x ∈IR | x ≠ – 4} ; D ( h ) = {x ∈IR | x ≠ 1} e D ( w ) = {x ∈IR | x ≠ – 2 e x ≠ 1} 
b) para a função f ( x ) → assíntota é a reta dada por x = 2; para a função g ( x ) → assíntota é a reta dada por x = – 4; 
para a função h ( x ) → assíntota é a reta dada por x = 1; para a função w ( x ) → são duas assíntotas dadas por x = 1 
e x = – 2. 
14) Segundo estudos matemáticos, há uma função que descreve bem a evolução do valor de um carro de uma 
determinada marca e modelo com o decorrer do tempo: V t( ) = 500 . t + 85000t + 4 , com V expresso em reais e t em anos. Com 
base nesses dados, determine: 
a) O valor do carro zero quilômetro. 
b) Qual é o valor do carro após 2 anos? 
c) Ao final de quanto tempo o carro terá valor de R$ 8.800,00. 
d) Para se obter R$ 5.000,00 com a venda do carro, em quanto tempo se deverá fazê-lo? Dê a resposta em 
anos e meses. 
e) Se o carro continuar com o mesmo proprietário, após 30 anos, hipoteticamente, qual o valor do veículo? 
Resp.: a) R$ 21.250,00 ; b) R$ 14.333,33 ; c) Em 6 anos ; d) 14 anos e 5 meses e ) R$ 2.941,18. 
 
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15) Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo 
matemático P t( ) = 12 . t + 5t + 3 , onde P ( t ) representa o peso médio, em quilogramas, de um animal em função do tempo t, em 
meses de vida, desde o seu nascimento. Com essas informações, determine: 
a) qual o peso médio de um animal recém-nascido? 
b) com que idade um cão desta raça atinge 9 kg. de peso? 
c) até que idade o peso médio do animal não excede 5 kg.? 
Resp.: a) 1 kg e 666 gramas ; b ) 7 meses e 10 dias e c) 1 mês e 13 dias, aproximadamente. 
16) A altura, em metros, de uma árvore, “t” anos após do momento em que foi plantada, é dada por h t( ) = 6 . t +1t + 2 . 
Segundo essas informações: 
a) com que altura a árvore foi plantada? 
b) qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada? 
c) passado quanto tempo a árvore atinge uma altura de 4 metros? 
Resp.: a) 0,5 metro ; b) 4,5 metros e c) 3 anos. 
17) O custo de produção de uma unidade de um certo modelo de aparelho depende do número de aparelhos 
produzidos e é dado, em reais, pelo modelo matemático C n( ) = 500 . n+ 6004 . n , sendo “n” o número de aparelhos produzidos. 
Com base nessas informações, determine: 
a) o custo de uma unidade quando o nível de produção for de 100 aparelhos. 
b) caso o custo de produção de uma unidade seja de R$ 200,00, quantos aparelhos estarão sendo 
produzidos? 
c) quantos aparelhos deverão estar sendo produzidos para que o custo de produção, por aparelho, não 
ultrapasse R$ 150,00? 
Resp.: a) C ( n ) = R$ 126,50 ; b) 2 aparelhos e c) 6 aparelhos. 
18) No início de um mês, foi lançado um produto em um certo hipermercado. Os fabricantes estimam que ao final de 
“t” meses, esse produto atinja uma percentagem do mercado, dentro dos produtos similares vendidos nesse hipermercado, 
dado pela expressão matemática p t( ) = 80 − 70t +1 , com t ≥ 0. Determine: 
a) qual a percentagem de mercado que este produto deverá atingir ao final do 1º trimestre de vendas, 
supondo que obedeça à expressão matemática dada? 
b) a partir de que mês este produto terá mais de 70% do mercado, se obedecer à expressão matemática 
dada? Resp.: a) 62,5% e b) t > 6, ou seja, após seis meses de vendas. 
19) Determine o domínio das seguintes funções irracionais: 
a) f x( ) = 1− 2x . 
b) g x( ) = x − −x . 
c) h x( ) = x
x2 − x 
. 
d) w x( ) = 1− x
3 
9 − 4x 
.
 
Resp.: a) D f( ) = x ∈ | x ≤ 12
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
; b) D g( ) = x ∈ | x ≤ 0{ } ; c) D f( ) = x ∈ | x < 0 e x >1{ } e d) D f( ) = x ∈ | x < 94
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 
20) A procura por um determinado bem, em centenas de unidades e em função do preço oferecido “p”, é dado pela 
função matemática x = 300 − 6p , sendo o preço em dezenas de reais. Sendo assim, determine: 
a) o domínio da função matemática. 
b) o preço “p” para o qual a procura pelo bem seja de 12 centenas de unidades. 
Resp.: a) D = p∈ | 0 ≤ x ≤ 50{ } e o zero deve estar incluído no domínio da função, pois não tem sentidoa procura de 
um bem ser negativa e b) p = R$ 260,00 ou 26 dezenas de reais. 
 21) Pretende-se ligar um fábrica F a uma central de tratamento de resíduos C, utilizando-se para tal um tipo de 
encanamento especial. O trajeto a ser percorrido pelo encanamento é o seguinte: 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 6 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 
Com base nessas informações: 
a) qual a função matemática que representa o preço de colocação da tubulação, em milhares de reais, em 
função de x, da fábrica até a central de tratamento de resíduos? 
b) qual o domínio da função? 
c) qual o valor de “x” para que o preço de colocação da tubulação seja mínimo? 
Resp.: a) p x( ) = 12 − 3x + 5 . x2 + 4 ; b) D = x ∈ | 0 < x < 4{ } e c ) Resolvendo-se a equação para p ( x ) = 0, obtém-
se dois valores para a variável “x”: x1 = 13,76048779... e x2 = 0,639512213.... Como a variável “x” deve ser maior que zero e 
menor que 4 – domínio da função, descarta-se o valor superior a 4 e aceita-se o valor contido no intervalo. Portanto o valor de 
“x” será de 0, 639512213 km ou 639,51 metros. 	
  
A tubulação deve seguir ao longo do muro, até um certo ponto B, e daí em 
diante em linha reta até a central de tratamento C. 
A distância da fábrica até o ponto A é de 4 km e a distância deste ponto à 
central de tratamento é de 2 km. 
A distância entre A e B está sendo representada por x. 
Sabe-se, também, que a colocação deste tipo de tubulação custa R$ 3.000,00 
por quilômetro ao longo do muro e R$ 5.000,00 por quilômetro em partes 
desencostadas do muro.