Exercícios Cálculo 4 - EDO

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IBMEC - ECONOMIA
Disciplina: Ca´lculo III Profa.: Cla´udia
PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1) Determine a ordem da equac¸a˜o e verifique se ela e´ ou na˜o linear:
(a) y4e2x +
dy
dx
= 0 R: 1a; na˜o
(b) y′′ + sen (x+ y) = senx R: 2a; na˜o
(c)
d3y
dx3
+ x
dy
dx
+ (cos2 x)y = x3 R: 3a; sim
(d) t
..
y +t2
.
y −(sen t)√y = t2 − t R:2a; na˜o
(e) x
d3y
dx3
− 2
(
dy
dx
)4
+ y = 0 R: 3a; na˜o
(f) (y + senx− 1)dx− cosx dy = 0 R: 1a; sim
2) Verifique se y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o:
(a) y′′(x)− y(x) = 0, y1(x) = ex, y2(x) = e−x R: y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es
(b) yiv + 4y′′′ + 3y = x, y1(x) =
x
2
, y2(x) = e
−x +
x
3
R: y1(x) na˜o e´ soluc¸a˜o e y2(x) e´ soluc¸a˜o
(c) y′′ − (y′)3 + xy′ = y, y1(x) = x− 1, y2(x) = lnx R: y1(x) e´ soluc¸a˜o e y2(x) na˜o e´ soluc¸a˜o
3) Determine a soluc¸a˜o do PVI
{
y′′ + 4y = 0,
y(0) = 0, y′(0) = 1, sabendo que y(x) = c1sen 2x + c2 cos 2x e´ a soluc¸a˜o
geral da equac¸a˜o diferencial. R:
1
2
senx
4) Verifique se y = xe2x + ex e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′′ − 4y′ + 4y = ex. R: Sim
5) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1senx + c2 cos x satisfac¸a as condic¸o˜es de contorno y(0) =
1, y(pi/2) = 1. R : c1 = c2 = 1
6) Encontre valores de m para que y = emx seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′′ − 5y′ + 6y = 0. R : m = 2 e m = 3
7) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1e
2x+c2e
x+2senx satisfac¸a as condic¸o˜es iniciais y(0) = 0, y′(0) = 1.
R : c1 = −1, c2 = 1
8) Verifique se x3 + x2y − 2y3 = c e´ uma soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o (x2 − 6y2)y′ + 3x2 + 2xy = 0. R: Sim
9) Determine se cada equac¸a˜o e´ ou na˜o separa´vel:
(a) senx dx+y2 dy = 0 (b) xy2 dx−x2y2 dy = 0 (c) (1+xy) dx+y dy = 0 (d) y4e2x+ dy
dx
= 0
R: (a) Sim (b) Sim (c) Na˜o (d) Sim
10) Determine se cada equac¸a˜o e´ ou na˜o exata:
(a) (4x− y − 7)dx− (x+ 2y + 3)dy = 0 R: Sim
(b) xy2 dx− x2y dy = 0 R: Na˜o
(c) senx dx+ y2 dy = 0 R: Sim
(d) y4e2x +
dy
dx
= 0 R: Na˜o