Testes 2012-2

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 20 de setembro de 2012
Primeiro Teste
1. Um sistema com mais equações do que variáveis pode
ter uma solução única.
(a) A afirmativa é verdadeira
(b) A afirmativa é falsa
(c) Não sei.
2. Existe uma única maneira de escrever a parametriza-
ção de uma reta em R3
(a) A afirmativa é falsa
(b) A afirmativa é verdadeira
(c) Não sei.
3. O conjunto de vetores {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 1,−1)}
é linearmente independente
(a) A afirmativa é verdadeira
(b) A afirmativa é falsa
(c) Não sei.
4. Considere os sistemas cujas matrizes aumentadas são:
A =


1 2 −7
1 −2 3
2 0 1
−1 −2 7


e
B =


1 0 0 2
2 0 0 4
0 1 0 3


(a) Os sistema A e B não possuem solução
(b) Os sistemas A e B possuem infinitas soluções
(c) O sistema A possui solução única e o sistema B
não possui solução
(d) O sistema A não possui solução e o sistema B
possui infinitas soluções
(e) Não sei.
5. Seja ax+by+cz = d uma equação cartesiana do plano
que passa pelos pontos {(1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1)}.
Podemos afirmar que o vetor (a, b, c) é paralelo a:
(a) (1, 0,−1)
(b) (1, 2, 1)
(c) (1, 1, 1)
(d) (1,−1, 0)
(e) Não sei.
6. Seja a forma escalonada de A~x = ~b dada abaixo:
[
A ~b
]
∼


1 2 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0

 .
Pode-se afirmar que A(−1, 1, 0, 3) = ~b ?
(a) Não
(b) Sim
(c) Não sei.
7. Considere o seguinte sistema:

x1 + x2 − 3x3 = 1
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 + 2x2 − 2x3 = 6
O conjunto solução
do sistema acima pode ser expresso por
(a) {(2, 1, 1) + t(0,−1, 1)|t ∈ R}
(b) {(4, 0, 1) + t(0,−1, 1)|t ∈ R}
(c) {(4, 0, 1) + t(−1, 1, 0)|t ∈ R}
(d) {(2, 1, 1) + t(−1, 1, 0)|t ∈ R}
(e) Não sei.
Nome: Teste 444, pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton, Mo-
nique
Data: 9 de outubro de 2012
Segundo Teste
1. Qual a dimensão do espaço gerado pelos vetores de
R
4 abaixo?
{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}
(a) 4
(b) 2
(c) 1
(d) 3
(e) Não sei.
2. Os vetores {(1, 1, 1), (1, 0, 1)} formam uma base para
o subespaço das soluções da equação x+ y − z = 0
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
3. Suponha que a forma escalonada de A~x = ~b é a dada
abaixo:
[
A ~b
]
∼


1 2 1 0 1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0

 .
Pode-se afirmar que
(a) A(−1, 1, 0, 3) = ~b
(b) A(1, 0, 3, 0) = ~0
(c) A(1, 0, 3, 0) = ~b
(d) A(−4, 4,−2, 6) = 2~b
(e) Não sei.
4. Considere a, b, c tais que (179, 373, 51, 41) =
a(11, 13, 0, 1)+b(13, 11, 17, 7)+c(17, 7, 17, 7). Pode-se
afirmar que a soma a+ b+ c é igual a
(a) 23
(b) 21
(c) 19
(d) 17
(e) Não sei.
5. A dimensão do núcleo de uma matriz M é sempre
maior do que zero se:
(a) M tem mais colunas do que linhas.
(b) M tem mais linhas do que colunas.
(c) M tem o mesmo número de linhas e colunas.
(d) As colunas de M formam um conjunto linear-
mente independente.
(e) Não sei.
6. Se os vetores ~u,~v, ~w são linearmente independentes,
então os vetores ~u − ~v,~v − ~w, ~w + ~u são linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é falsa.
(b) A afirmativa é verdadeira.
(c) Não sei.
7. Se os vetores ~u,~v, ~w são linearmente independentes,
então os vetores ~u − ~v,~v − ~w, ~w − ~u são linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é falsa.
(b) A afirmativa é verdadeira.
(c) Não sei.
Nome: Teste 344, pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton e
Monique
Data: 30 de outubro de 2012
Terceiro Teste
1. Considere a transformação linear T : R3 → R3 de-
finida por T (x, y, z) = (3 y + x, 3 z + 2x,−2 z − x).
Então,
(a) dim(Nuc(T )) = 3 e dim(Im(T )) = 3.
(b) dim(Nuc(T )) = 0 e dim(Im(T )) = 3.
(c) dim(Nuc(T )) = 1 e dim(Im(T )) = 3.
(d) dim(Nuc(T )) = 0 e dim(Im(T )) = 2.
(e) Não sei.
2. Assinale a alternativa correta:
(a) Toda transformação linear T : R2 → R3 que é
injetiva é sobrejetiva.
(b) Toda transformação linear T : R5 → R4 com
dim(Nuc(T )) = 1 é sobrejetiva.
(c) Existe uma transformação linear T : R3 → R7
tal que dim(Nuc(T )) = dim(Im(T )).
(d) Existe uma transformação linear T : R3 → R2
que é injetiva.
(e) Não sei.
3. O sistema linear A~x = ~b, A =


1 2 3
0 1 5
1 1 −2
1 0 −6

 e
~b =


0
−3
3
5

, possui solução única, cuja soma das
entradas é
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) −1
(e) Não sei.
4. Assinale a transformação linear de
T : R3 → R4 cujo núcleo é dado pela solução do
sistema{
y − z = 0
e cuja imagem é dada pela solução de

x− w = 0
y = 0
z = 0
(a) T (x, y, z) = (−y + z, 0, 0,−y + z)
(b) T (x, y, z) = (0,−x+ z,−x+ z, 0)
(c) T (x, y, z) = (x− y + z, 0, 0, x− y + z)
(d) T (x, y, z) = (x− y, 0, 0,−y + z)
(e) Não sei.
5. Seja A a matriz que representa a projeção ortogonal
de R2 na reta {(x, y) ∈ R2|(x, y) = t(1, 0), t ∈ R2}
seguida pela rotação de π/4 radianos no sentido anti-
horário. A soma dos elementos da diagonal de A é
(a)
√
2/2
(b) −√2
(c) −√2/2
(d)
√
2
(e) Não sei.
6. Assinale a alternativa FALSA.
(a) Um sistema linear homogêneo tem pelo menos
uma solução.
(b) Um sistema linear com mais equações do que
incógnitas pode possuir solução única.
(c) Um sistema linear com mais equações do que
incógnitas pode não ter solução.
(d) Um sistema linear pode ter apenas duas solu-
ções.
(e) Não sei.
7. Seja A =


2 2 1
2 1 1
1 2 1


A soma dos elementos da diagonal da matriz inversa
é
(a) 0
(b) 1
(c) 3
(d) 2
(e) Não sei.
Nome: Teste 370, pág. 1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton e
Monique
Data: 22 de novembro de 2012
Quarto Teste
1. Seja T : Rn → Rn uma transformação linear e λ ∈ R.
Assinale a alternativa FALSA:
(a) Se λ é um autovalor associado a T então
dim(Nuc(T − λI)) > 0.
(b) Se det(T − λI) = 0 então λ é um autovalor de
A.
(c) ~0 é um autovetor de T.
(d) Se Tv = λv e v 6= ~0 então v é um autovetor de
T associado ao autovalor λ.
(e) Não sei.
2. O determinante da matriz A =


1 2 1 4
0 1 0 0
10 11 0 1
12 13 0 2

 é
(a) −28
(b) −38
(c) −18
(d) −8
(e) Não sei.
3. Seja A =


3 0 0
−1 4 0
−15 −5 −1


. Sabendo-se que o ve-
tor (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor 3,
determine os valores de a e b.
(a) a = −1, b = 5
(b) a = −1, b = −5
(c) a = 1, b = −5
(d) a = 1, b = 5
(e) Não sei.
4. O espaço gerado pelas colunas de uma matriz A 5 x
3 tem dimensão 2. O conjunto solução de Ax = 0 e o
conjunto solução de ATx = 0 têm dimensão
(a) 1 e 2 respectivamente
(b) 2 e 3 respectivamente
(c) 2 e 1 respectivamente
(d) 1 e 3 respectivamente
(e) Não sei.
5. Seja A =


−1 0 0
0 32 −
3
2
0 − 32
3
2


. Os autovalores da ma-
triz A são
(a) 3, 0,−1
(b) −5, 0,−1
(c) 1, 3,−5
(d) 3,−1,−5
(e) Não sei.
6. Assinale a afirmativa Falsa
(a) {~v = (v1, v2, v3) ∈ R
3|v1v2 = 0} é um subespaço
vetorial.
(b) O conjunto de todas as combinações lineares dos
vetores {(1, 0, 1), (1, 1, 1)} é um subespaço veto-
rial.
(c) O conjunto das matrizes 2 x 2 inversíveis não é
subespaço vetorial.
(d) {~v = (v1, v2, v3) ∈ R
3|v1 + v2 + v3 = 0} é um
subespaço vetorial.
(e) Não sei.
7. Seja A uma matriz n × n. Assinale a alternativa
FALSA:
(a) Se detA 6= 0 então dim(Nuc(A)) = 0.
(b) Se detA = 0 então A é invertível.
(c) Se detA 6= 0 então A é invertívele det(A−1) =
1
det(A) .
(d) Se detA = 0 então o sistema Ax = 0 possui
infinitas soluções.
(e) Não sei.
Nome: Teste 376, pág. 1
Gabarito 
Primeiro Teste 
Teste 444: 1A 2A 3B 4D 5C 6B 7C 
Segundo Teste 
Teste 344: 1D 2B 3D 4A 5A 6B 7A 
Terceiro Teste 
Teste 370: 1B 2B 3C 4A 5A 6D 7D 
Quarto Teste 
Teste 376: 1C 2D 3C 4D 5A 6A 7B