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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Exerc´ıcios Programados 4 - Gabarito
Questa˜o 1: Para a func¸a˜o f cujo o gra´fico e´ dado, determine o valor de cada um dos limites abaixo.
Caso na˜o exista, explique o motivo
a) lim
x→−6
f(x) d) lim
x→4
f(x)
b) lim
x→0+
f(x) e) Determine ass equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais.
c) lim
x→0−
f(x)
Soluc¸a˜o: a) Pelo gra´fico podemos ver que lim
x→−6−
f(x) = 0 = lim
x→−6+
f(x) e, portanto, lim
x→−6
f(x) = 0.
b) Observe que quando x se aproxima de 0 com valores maiores que zero a func¸a˜o vai para −∞ e,
portanto, lim
x→0+
f(x) = −∞.
c) Para valores menores que zero temos lim
x→0−
f(x) = +∞.
d) Observando o gra´fico vemos que lim
x→4−
f(x) = −∞ = lim
x→4+
f(x) e, portanto, lim
x→4
f(x) = −∞.
e) Observando o gra´fico vemos que os valores para os quais a func¸a˜o vai para mais e menos infinito
sa˜o −5 e 4, respectivamente. Portanto, as equac¸o˜es das assintotas verticais sa˜o: x = −5 e x = 4.
Questa˜o 2: Estime a func¸a˜o nos nu´meros dados. Use os resultados para conjecturar qual o valor do
limite, ou explicar por que eel na˜o existe
a) Se g(x) = x−1
x3−1 estime para x = 0, 2; 0, 4; 0, 9; 0, 99; 1, 2; 1, 1; 1, 01. Calcule enta˜o o limx→1
x− 1
x3 − 1.
b) Se h(x) = 1−x
2
x2+3x−10 estime para x = 3; 2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; 2, 00001. Calcule enta˜o o
lim
x→2+
1− x2
x2 + 3x− 10.
1
Soluc¸a˜o: a) e b) Vamos montar uma tabela com os valores de g(x) e de h(x). Depois interpretamos
os valores encontrados
x g(x) x h(x)
0, 2 0, 806452 3 −1
0, 4 0, 641026 2, 1 −4, 80282
0, 8 0, 409836 2, 01 −43, 368
0, 9 0, 369004 2, 001 −429, 082
0, 99 0, 336689 2, 0001 −4286, 22
1, 4 0, 229358 2, 00001 −42857, 7
1, 2 0, 274725
1, 1 0, 302115
1, 01 0, 330022
Como tanto lim
x→1−
x− 1
x3 − 1 se aproxima de 0, 33 assim como limx→1+
x− 1
x3 − 1 e´ razoa´vel que o limx→1
x− 1
x3 − 1 =
0, 33.
Agora veja que
lim
x→1
x− 1
x3 − 1 = limx→1
x− 1
(x− 1)(x2 + x+ 1) = limx→1
1
x2 + x+ 1
=
1
3
= 0, 3333...
Para a func¸a˜o h(x) temos que lim
x→2+
1− x2
x2 + 3x− 10 = +∞. De fato,
lim
x→2+
1− x2
x2 + 3x− 10 =
(
lim
x→2+
1− x2
5 + x
)(
lim
x→2+
1
x− 2
)
=
(−3
7
)(
lim
x→2+
1
x− 2
)
= −∞.
Questa˜o 3: Calcule os limites:
a) lim
x→5+
6
x− 5 d) limx→0
x− 1
x2(x+ 2)
b) lim
x→3
1
(x− 3)3 e) limx→−1+
1
x3 − 1
c) lim
x→−2+
x− 1
x2(x+ 2)
Soluc¸a˜o: a) Quando x → 5+ o numerador de 6x−5 que e´ 6 e´ sempre positivo. O denominador vai
para zero, mas com valores positivos, pois x esta se aproximando de 5 com valores maiores que 5.
Temos que lim
x→5+
6
x− 5 = +∞.
b) Observe que o numerador e´ sempre diferente de zero ja´ o denominador (x − 3)8 vai para zero
com valores positivos ou negativos dependendo de x → 3+ ou x → 3−, respectivamente. Portanto,
lim
x→3+
1
(x− 3)3 = +∞ e limx→3−
1
(x− 3)3 = −∞.
c) Observer que o numerador de x−1
x2(x+2)
e´ diferente de zero em −2. Logo
lim
x→−2+
x− 1
x2(x+ 2)
=
(
lim
x→−2+
x− 1
x2
)(
lim
x→−2+
x− 1
x+ 2
)
=
−3
4
(
lim
x→−2+
1
x+ 2
)
= −∞.
d)
lim
x→0
x− 1
x2(x+ 2)
=
(
lim
x→0
x− 1
x− 2
)(
lim
x→0
1
x2
)
=
−1
2
(
lim
x→0
1
x2
)
= −∞.
2
e)
lim
x→−1+
1
x3 − 1 = limx→−1+
1
(x− 1)(x2 + x+ 1) =
(
lim
x→−1+
1
x2 + x+ 1
)(
lim
x→−1+
1
x− 1
)
=
1
1
(
1
−2) = −
1
2
.
Veja que neste limite na˜o era necessa´rio fazer a fatorac¸a˜o do polinoˆmio que esta no denominador,
pois, (−1)3 − 1 = −2. Da´ı,
lim
x→−1+
1
x3 − 1 = −
1
2
.
Questa˜o 4: Determine os valores de a tais que
lim
x→3−
x− 3
x2 + ax+ 9
= −∞.
Soluc¸a˜o: Para que o limite deˆ −∞ o denominador deve ir tambe´m para zero, como o numerador vai
para zero quando x → 3−, enta˜o o denominador deve ir para zero mais ra´pido. Logo o denominador
deve ter 3 como raiz dupla, isto e´, (x− 3)2 = x3 − 6x+ 9. Da´ı, se a = −6 temos
lim
x→3−
x− 3
x2 − 6x+ 9 = limx→3−
x− 3
(x− 3)2 = limx→3−
1
x− 3 = −∞.
Podemos ainda perceber que a deve ser igual a -6, vendo que ao dividir x2+ ax+9 por x− 3 obtemos
x2 + ax+ 9 = (x− 3)(x+ (a+ 3)) + (3a+ 18)
Para que o denominador va´ para zero quando x→ 3− precisamos que a constante 3a+18 = 0⇒ a = −6
e por sorte com esta condic¸a˜o x+ a+ 3 = x− 3, e portanto, x = 3 e´ raiz repetida do denominador.
Questa˜o 5: Esboce o gra´fico da func¸a˜o e use-o para determinar os valores de a para os quais o
lim
x→a f(x) existe:
f(x) =

2− x se x < −1
x se −1 ≤ x < 1
x− 1 se x ≥ 1
Soluc¸a˜o: Fazendo o gra´fico temos
Pelo gra´fico vemos que lim
x→−1−
f(x) = 3, lim
x→−1+
f(x) = −1 e, portanto, o lim
x→−1
f(x) na˜o existe.
Assim como em x = 1 temos lim
x→1−
f(x) = 1, lim
x→1−
f(x) = 0 e, portanto, o lim
x→−1
f(x) na˜o existe. Ale´m
disso, podemos concluir que o limite existe para todos os valores exceto x = −1 e x = 1.
3
4