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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 2o Semestre de 2017 Exerc´ıcios Programados 4 - Gabarito Questa˜o 1: Para a func¸a˜o f cujo o gra´fico e´ dado, determine o valor de cada um dos limites abaixo. Caso na˜o exista, explique o motivo a) lim x→−6 f(x) d) lim x→4 f(x) b) lim x→0+ f(x) e) Determine ass equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais. c) lim x→0− f(x) Soluc¸a˜o: a) Pelo gra´fico podemos ver que lim x→−6− f(x) = 0 = lim x→−6+ f(x) e, portanto, lim x→−6 f(x) = 0. b) Observe que quando x se aproxima de 0 com valores maiores que zero a func¸a˜o vai para −∞ e, portanto, lim x→0+ f(x) = −∞. c) Para valores menores que zero temos lim x→0− f(x) = +∞. d) Observando o gra´fico vemos que lim x→4− f(x) = −∞ = lim x→4+ f(x) e, portanto, lim x→4 f(x) = −∞. e) Observando o gra´fico vemos que os valores para os quais a func¸a˜o vai para mais e menos infinito sa˜o −5 e 4, respectivamente. Portanto, as equac¸o˜es das assintotas verticais sa˜o: x = −5 e x = 4. Questa˜o 2: Estime a func¸a˜o nos nu´meros dados. Use os resultados para conjecturar qual o valor do limite, ou explicar por que eel na˜o existe a) Se g(x) = x−1 x3−1 estime para x = 0, 2; 0, 4; 0, 9; 0, 99; 1, 2; 1, 1; 1, 01. Calcule enta˜o o limx→1 x− 1 x3 − 1. b) Se h(x) = 1−x 2 x2+3x−10 estime para x = 3; 2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; 2, 00001. Calcule enta˜o o lim x→2+ 1− x2 x2 + 3x− 10. 1 Soluc¸a˜o: a) e b) Vamos montar uma tabela com os valores de g(x) e de h(x). Depois interpretamos os valores encontrados x g(x) x h(x) 0, 2 0, 806452 3 −1 0, 4 0, 641026 2, 1 −4, 80282 0, 8 0, 409836 2, 01 −43, 368 0, 9 0, 369004 2, 001 −429, 082 0, 99 0, 336689 2, 0001 −4286, 22 1, 4 0, 229358 2, 00001 −42857, 7 1, 2 0, 274725 1, 1 0, 302115 1, 01 0, 330022 Como tanto lim x→1− x− 1 x3 − 1 se aproxima de 0, 33 assim como limx→1+ x− 1 x3 − 1 e´ razoa´vel que o limx→1 x− 1 x3 − 1 = 0, 33. Agora veja que lim x→1 x− 1 x3 − 1 = limx→1 x− 1 (x− 1)(x2 + x+ 1) = limx→1 1 x2 + x+ 1 = 1 3 = 0, 3333... Para a func¸a˜o h(x) temos que lim x→2+ 1− x2 x2 + 3x− 10 = +∞. De fato, lim x→2+ 1− x2 x2 + 3x− 10 = ( lim x→2+ 1− x2 5 + x )( lim x→2+ 1 x− 2 ) = (−3 7 )( lim x→2+ 1 x− 2 ) = −∞. Questa˜o 3: Calcule os limites: a) lim x→5+ 6 x− 5 d) limx→0 x− 1 x2(x+ 2) b) lim x→3 1 (x− 3)3 e) limx→−1+ 1 x3 − 1 c) lim x→−2+ x− 1 x2(x+ 2) Soluc¸a˜o: a) Quando x → 5+ o numerador de 6x−5 que e´ 6 e´ sempre positivo. O denominador vai para zero, mas com valores positivos, pois x esta se aproximando de 5 com valores maiores que 5. Temos que lim x→5+ 6 x− 5 = +∞. b) Observe que o numerador e´ sempre diferente de zero ja´ o denominador (x − 3)8 vai para zero com valores positivos ou negativos dependendo de x → 3+ ou x → 3−, respectivamente. Portanto, lim x→3+ 1 (x− 3)3 = +∞ e limx→3− 1 (x− 3)3 = −∞. c) Observer que o numerador de x−1 x2(x+2) e´ diferente de zero em −2. Logo lim x→−2+ x− 1 x2(x+ 2) = ( lim x→−2+ x− 1 x2 )( lim x→−2+ x− 1 x+ 2 ) = −3 4 ( lim x→−2+ 1 x+ 2 ) = −∞. d) lim x→0 x− 1 x2(x+ 2) = ( lim x→0 x− 1 x− 2 )( lim x→0 1 x2 ) = −1 2 ( lim x→0 1 x2 ) = −∞. 2 e) lim x→−1+ 1 x3 − 1 = limx→−1+ 1 (x− 1)(x2 + x+ 1) = ( lim x→−1+ 1 x2 + x+ 1 )( lim x→−1+ 1 x− 1 ) = 1 1 ( 1 −2) = − 1 2 . Veja que neste limite na˜o era necessa´rio fazer a fatorac¸a˜o do polinoˆmio que esta no denominador, pois, (−1)3 − 1 = −2. Da´ı, lim x→−1+ 1 x3 − 1 = − 1 2 . Questa˜o 4: Determine os valores de a tais que lim x→3− x− 3 x2 + ax+ 9 = −∞. Soluc¸a˜o: Para que o limite deˆ −∞ o denominador deve ir tambe´m para zero, como o numerador vai para zero quando x → 3−, enta˜o o denominador deve ir para zero mais ra´pido. Logo o denominador deve ter 3 como raiz dupla, isto e´, (x− 3)2 = x3 − 6x+ 9. Da´ı, se a = −6 temos lim x→3− x− 3 x2 − 6x+ 9 = limx→3− x− 3 (x− 3)2 = limx→3− 1 x− 3 = −∞. Podemos ainda perceber que a deve ser igual a -6, vendo que ao dividir x2+ ax+9 por x− 3 obtemos x2 + ax+ 9 = (x− 3)(x+ (a+ 3)) + (3a+ 18) Para que o denominador va´ para zero quando x→ 3− precisamos que a constante 3a+18 = 0⇒ a = −6 e por sorte com esta condic¸a˜o x+ a+ 3 = x− 3, e portanto, x = 3 e´ raiz repetida do denominador. Questa˜o 5: Esboce o gra´fico da func¸a˜o e use-o para determinar os valores de a para os quais o lim x→a f(x) existe: f(x) = 2− x se x < −1 x se −1 ≤ x < 1 x− 1 se x ≥ 1 Soluc¸a˜o: Fazendo o gra´fico temos Pelo gra´fico vemos que lim x→−1− f(x) = 3, lim x→−1+ f(x) = −1 e, portanto, o lim x→−1 f(x) na˜o existe. Assim como em x = 1 temos lim x→1− f(x) = 1, lim x→1− f(x) = 0 e, portanto, o lim x→−1 f(x) na˜o existe. Ale´m disso, podemos concluir que o limite existe para todos os valores exceto x = −1 e x = 1. 3 4
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