Métodos Numéricos para Engenharia Civil - TRABALHO

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Rio de Janeiro, 25 de abril de 2017 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS PRAÇA XI 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NÚMERICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
TRABALHO AV1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: José Roberto Santos Cordeiro 
PROFESSOR: Jorge Pinheiro 
MATRÍCULA: 201402463821 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS PRAÇA ONZE 
Considere a treliça articulada abaixo com E = 200 GPa e A = 600 mm2. Determine pelo método dos elementos finitos 
os deslocamentos dos nós e os esforços internos das barras. 
 
 
 
CONDIÇÕES DE CONTORNO: 
u2 = 0, v2 = 0, u4 = 0, v4 = 0 
R1x = 0, R1y = 0, R3x = 0, R3y = -(5000) 
 
 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ: 
 
ELEMENTO ÂNGULO COS SEN COS² COS*SEN SEN²
1 - 2 0 1 0 1 0 0
1 - 3 53 3/5 4/5 9/25 0,48 0,64
2 - 3 127 - 3/5 4/5 9/25 - 12/25 16/25
3 - 4 0 1 0 1 0 0
COS SEN COS²
1 0 1
P1x c² cs -c² -cs u1
P1y = EA/L cs s² -cs -s² v1
P2x -c² -cs c² cs u2
P2y -cs -s² cs s² v2
P1x 1 0 -1 0 u1
P1y = EA/L 0 0 0 0 v1
P2x -1 0 1 0 u2
P2y 0 0 0 0 v2
SEN²
0
ÂNGULO
1 - 2 0
ELEMENTO
ELEMENTO 1 - 2
COS*SEN 
0
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS PRAÇA ONZE 
 
 
 
 
 
 
COS SEN COS²
3/5 4/5 9/25
P1x c² cs -c² -cs u1
P1y = EA/L cs s² -cs -s² v1
P2x -c² -cs c² cs u2
P2y -cs -s² cs s² v2
P1x 9/25 12/25 - 9/25 - 12/25 u1
P1y = EA/L 12/25 16/25 - 12/25 - 16/25 v1
P2x - 9/25 - 12/25 9/25 12/25 u3
P2y - 12/25 - 16/25 12/25 16/25 v3
ELEMENTO 1 - 3
ELEMENTO ÂNGULO COS*SEN SEN²
1 - 3 53 12/25 16/25
COS SEN COS²
- 3/5 4/5 9/25
P1x c² cs -c² -cs u1
P1y = EA/L cs s² -cs -s² v1
P2x -c² -cs c² cs u2
P2y -cs -s² cs s² v2
P1x 9/25 - 12/25 - 9/25 12/25 u1
P1y = EA/L - 12/25 16/25 12/25 - 16/25 v1
P2x - 9/25 12/25 9/25 - 12/25 u3
P2y 12/25 - 16/25 - 12/25 16/25 v3
ELEMENTO 2 - 3
ELEMENTO ÂNGULO COS*SEN SEN²
2 - 3 127 - 12/25 16/25
COS SEN COS²
1 0 1
P1x c² cs -c² -cs u1
P1y = EA/L cs s² -cs -s² v1
P2x -c² -cs c² cs u2
P2y -cs -s² cs s² v2
P1x 1 0 -1 0 u3
P1y = EA/L 0 0 0 0 v3
P2x -1 0 1 0 u4
P2y 0 0 0 0 v4
3 - 4 0 0 0
ELEMENTO 3 - 4
ELEMENTO ÂNGULO COS*SEN SEN²
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS PRAÇA ONZE 
EQUILÍBRIO DOS NÓS: 
Nó 01: 
R1x – P1x (elemento 1-2) – P1x (elemento 1-3) = 0 
R1x – P1y (elemento 1-2) – P1y (elemento 1-3) = 0 
 
Nó 02: 
R2x – P2x (elemento 1-2) – P2x (elemento 2-3) = 0 
R2x – P2y (elemento 1-2) – P2y (elemento 2-3) = 0 
 
Nó 03: 
R3x – P3x (elemento 1-3) – P3x (elemento 2-3) – P3x (elemento 3-4) = 0 
R3y – P3y (elemento 1-3) – P3y (elemento 2-3) – P3y (elemento 3-4) = 0 
 
Nó 04: 
R4x – P4x (elemento 3-4) = 0 
R4y – P4y (elemento 3-4) = 0 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL: 
Matriz obtida através da soma em cada um dos nós utilizando as matrizes elementares 
 
 
Calculando os elementos e inserindo as condições de contorno obtemos a seguinte matriz: 
 
Tomando somente as equações onde as forças externas são conhecidas, 1, 2, 5 e 6 e considerando as condições de 
contorno de deslocamento, tem-se: 
 
R1x = 0 25/3 + 9/2,5 12/2,5 -25/2,5 0 -9/2,5 -12/,25 0 0 u1 = ?
R1y = 0 = EA/25L 12/2,5 16/2,5 0 0 -12/2,5 -16/2,5 0 0 v1 = ?
R2x = ? -25/2,5 0 25/3 + 9/2,5 -12/2,5 -9/2,5 12/2,5 0 0 u2 = 0
R2y = ? 0 0 -12/2,5 16/2,5 12/2,5 -16/2,5 0 0 v2 = 0
R3x = 0 -9/2,5 -12/2,5 -9/2,5 12/2,5 9/2,5 + 9/2,5 + 25/1,5 12/2,5 - 12/2,5 - 25/2,5 -25/2,5 0 u3 = ?
R3y = -(5000) -12/2,5 -16/2,5 12/2,5 -16/2,5 12/2,5 - 12/2,5 16/2,5 + 16,2,5 0 0 v3 = ?
R4x = ? 0 0 0 0 -25/1,5 0 25,2,5 0 u4 = 0
R4y = ? 0 0 0 0 0 0 0 0 v4 = 0R1x = 0 11,93 4,80 -8,33 0 -3,60 -4,80 0 0 u1=?
R1y = 0 4,80 6,40 0 0 -4,80 -6,40 0 0 v1=?
R2x=? -8,33 0 11,93 -4,80 -3,60 4,80 0 0 u2 = 0
R2y =? = EA / 25 0 0 -4,80 6,40 4,80 -6,40 0 0 v2 = 0
R3x = 0 -3,60 -4,80 -3,60 4,80 23,87 0,00 -16,67 0 u3=?
R3y = -(5000) -4,80 -6,40 4,80 -6,40 0,00 12,80 0 0 v3=?
R4x=? 0 0 0 0 -16,67 0 16,67 0 u4 = 0
R4y=? 0 0 0 0 0 0 0 0 v4 = 0
R1x = 0 25/3 + 12/2,5 12/2,5 -9/2,5 -12/2,5 u1 = ?
R1y = 0 = EA/25L 12/2,5 16/2,5 -12/2,5 -16/2,5 v1 = ?
P3x = 0 -9/2,5 -12/2,5 18/2,5 + 25/1,5 0 u3 = ?
R3y = -(5000) -12/2,5 -16/2,5 0 32/2,5 v3 = ?
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS PRAÇA ONZE 
u1 = 0, v1 = -0,23 mm, u3 = -0,047 mm, v3 = -0,198 mm. 
R2x = -3749,76 N 
R2y = 4999,68 N 
R4x = 3760 N 
R4y = 0 
 
ESFORÇOS INTERNOS NAS BARRAS: 
P1(1-2) = EA/L = [c.(u1 – u2) + s. (v1 – v2)] = 0 
P1(1-3) = EA/L = [c.(u1 – u3) + s. (v1 – v3)] = 0 
P1(2-3) = EA/L = [c.(u2 – u3) + s. (v2 – v3)] = 6250 (compressão) 
P1(3-4) = EA/L = [c.(u3 – u4) + s. (v3 – v4)] = -3750 (tração) 
 
 
RESULTADOS OBTIDOS UTILIZANDO O SOFTWARE LISA 8.0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS PRAÇA ONZE 
COMPARATIVOS DE RESULTADOS: 
 
QUADRO COMPARATIVO DOS RESULTADOS 
U, V e R CÁLCULOS LISA 
u1 0 mm 0 
v1 -0,23 mm -0,23 
u3 0,047 mm -0,047 
v3 -0,198 mm -0,181 
R2x 3749,76 N -3125 
R2y -4999,68 N -5000 
R4x 3760N 3750 
R4y 0 0