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Capítulo 3 1 de 8 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da 
sua derivada. 
 
Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é 
denominada equação diferencial ordinária. 
 
EXEMPLOS: 5+= x
dx
dy
; 023
2
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
; 3' =+yxy ; xcosyy(y =++ ' )'' 2''' 2 
 
Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação 
é denominada equação diferencial parcial. 
 
EXEMPLOS: 
y
z
xz
x
z
¶
¶+=
¶
¶ ; yx
y
z
x
z +=
¶
¶+
¶
¶ 2
2
2
2
2
 
 
 
ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela 
aparece. 
 
GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma 
polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. 
 
 
SOLUÇÃO OU INTEGRAL GERAL: é toda a função que verifica, identicamente, a 
equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes 
arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, 
se é de segunda ordem, duas constantes, etc.. 
Capítulo 3 2 de 8 
Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas 
(denominadas curvas integrais). 
 
EXEMPLO: a equação diferencial xsen
dx
dy = tem como solução geral a seguinte 
família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial: 
 
 
SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação 
diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) 
constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família 
de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral. 
 
EXEMPLO: no caso anterior para a constante c=2 temos 
 
 
Capítulo 3 3 de 8 
Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral 
particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo 
valor da variável independente, condições iniciais. 
 
Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral 
ou integral geral ou sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular 
que as satisfazem. 
 
Forma Geral das Equações Diferenciais e das suas Soluções Gerais 
 
Ordem Forma Geral da Equação Diferencial Forma Geral da Solução Geral 
1ª 0)' =y,y,x(f 0c) =,y,x(f 
2ª 0)'' ,' ,,( =yyyxf 021 =),cf(x,y,c 
... ... ... 
n 0)' =ny,...,y,y,x(f 01 =),...,cf(x,y,c n 
 
 
Inversamente, sendo dada uma família de curvas, é sempre possível determinar a 
equação diferencial que lhe está associada, isto é, a equação diferencial que admite 
essa família de curvas como solução geral. Para isso, deverá Ter-se em conta o 
número de constantes arbitrárias que aparecem na família de curvas, o que nos 
indicará a ordem da equação diferencial que se pretende obter, procedendo-se do 
seguinte modo: 
¾ derivar a função que representa a família de curvas dada, até à ordem que 
coincida com a ordem da equação diferencial procurada; 
¾ eliminar as constantes arbitrárias entre a equação da família de curvas dada 
e as equações obtidas por derivação. 
 
Capítulo 3 4 de 8 
EXEMPLO: Determinar a equação diferencial associada à família de curvas 
ycxy 22 += . 
 
A equação procurada é de primeira ordem, derivando em ordem a x, tem-se 
' 2' 2 ycyy += ou )(yyc 1' 2 -= , eliminando a constante arbitrária vem 
y)(yxyy 21' 22 +-= . 
 
Teorema da existência e unicidade da solução 
 
TEOREMA: Se na equação ÷÷
ø
ö
çç
è
æ - ÷ø
öç
è
æ
= 1 n)n( y,...,''y,'y,y,xfy , a função 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ - ÷ø
öç
è
æ 1
 
n
y,...,''y,'y,y,xf e as suas derivadas parciais em ordem a 
÷
ø
öç
è
æ -1
 
n
y,...,''y,'y,y forem funções contínuas num certo domínio 
1+ÂÍ nD e se ( ) Da,...,a,a,a
n
Î210 , então existe uma solução única 
( )xy j= da equação diferencial que satisfaz as ( ) 10 aay = , 
( ) 20' aay = ,..., ( ) ( ) nn aay =- 01 . 
 
Forma Diferencial ou Forma Canónica de uma equação diferencial 
 
Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma normal, tem a estrutura 
)y,x(f'y = . Como )y,x(f pode sempre ser considerada um quociente da forma 
)y,x(N
)y,x(M
)y,x(f
-
= , a equação diferencial pode também escrever-se 
)y,x(N
)y,x(M
dx
dy
-
= 
ou seja 
 
0=+ dy)y,x(Ndx)y,x(M 
ESEP 
 
ESEP 
 
Capítulo 3 5 de 8 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 
Se numa equação diferencial da forma 0=+ dy)y,x(Ndx)y,x(M , é possível 
decompor os coeficientes )y,x(M e )y,x(N em factores tais que as variáveis x e y 
aparecem separadas, isto é, )y(b).x(a)y,x(M = e )y(d).x(c)y,x(N = , a equação 
classifica-se de variáveis separáveis. 
 
 
Resolução de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 
 
Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma 
canónica 0=+ dy)y,x(Ndx)y,x(M para a forma 0=+ dy)y(d).x(cdx)y(b).x(a . 
Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam 
respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas. 
Assim vem: 
 
0=+ dy
)y(b
)y(d
dx
)x(c
)x(a
 
 
Integrando temos: 
 
ò ò =+ cdy)y(b
)y(d
dx
)x(c
)x(a
 
 
A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis. 
 
 
 
 
Capítulo 3 6 de 8 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÉNEAS 
 
DEFINIÇÃO: Uma função diz-se homogénea, de grau n, nas variáveis x e y, se para 
todo o real l se tiver )y,x(f)y,x(f nl=ll . 
 
 
Consideremos uma equação diferencial na forma canónica 0=+ dy)y,x(Ndx)y,x(M 
e sejam )y,x(M e )y,x(N funções homogéneas e do mesmo grau, a equação 
classifica-se de equação homogénea. 
 
 
Resolução de Equações Diferenciais Homogéneas 
 
Para resolver uma equação diferencial homogénea fazemos a substituição y=xt. 
Substituindo a variável y teremos de substituir dy. Como y=xt vem dy=tdx+xdt, 
diferencial de uma função de duas variáveis. 
 
A equação transformada que se obtém da equação homogénea é uma equação de 
variáveis separáveis. 
 
No final eliminamos t, fazendo 
x
yt = . 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 7 de 8 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 
 
Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função 
incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por 
 
)x(Qy)x(Py' =+ 
 
com P(x) e Q(x), funções contínuas. 
 
Se Q(x)=0, 0=+ y)x(Py' diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação 
de variáveis separáveis. Se 0Q(x) ¹ , a equação linear é não homogénea, completa ou 
com segundo membro. 
 
 
Resolução de Equações Diferenciais Lineares 
 
Para resolver equações diferenciais lineares utilizamos expressão 
 
úû
ù
êë
é òò- +ò= 1cdx)x(Qeey
dx)x(Pdx)x(P 
 
com c1 constante arbitrária. 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 8 de 8 
EQUAÇÕES DE BERNOUILLI 
 
Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma 
canónica 
nyxQyxPy )()(' =+ 
 
com P(x) e Q(x), funções contínuas e n constante. 
 
 
Resolução de Equações de Bernouilli 
 
Para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os 
membros da equação por ny- e obtemos 
 
)()( 1' xQyxPyy nn =+ -- 
 
Seguidamente fazemos a mudança de variável nyz -= 1 com ')1(' yynz n--= e 
obtemos 
 
)()(
1
'
xQzxP
n
z =+
-
 Þ )()1()()1(' xQnzxPnz -=-+ 
 
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
Integra-see seguidamente regressa-se à variável y fazendo nyz -= 1