Algebra linear aplicada

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Álgebra Linear Aplicada - BICT - 2014.2
Gabarito da Segunda Avaliação
[1] SejaW o subespaço de C3 sobre C gerado pelos vetores {(1, 0, i), (1+ i, 1,−1)}. Verifique
se {(1, 1, 0), (1, i, 1+ i)} é uma base de W.
Solução. Note que (1, 0, i) e (1 + i, 1,−1) são LI e, portanto, constituem uma base de
W. Da mesma forma, (1, 1, 0) e (1, i, 1 + i) são LI e, com isso, para verificar se formam
uma base de W basta verificar se estão em W.
• A equação (1, 1, 0) = a(1, 0, i) + b(1 + i, 1,−1) admite a solução a = −i e b = 1 e
portanto, (1, 1, 0) ∈W.
• A equação (1, i, 1 + i) = c(1, 0, i) + d(1 + i, 1,−1) admite solução c = 2 − i e d = i
e portanto, (1, i, 1+ i) ∈W.
Logo, {(1, 1, 0), (1, i, 1+ i)} é uma base de W. �
[2] Usar interpolação de Lagrange para determinar um polinômio p(t) com coeficientes reais
tal que p(t) tenha grau 6 2 e p(−1) = 6, p(0) = 2, p(1) = 2.
Solução. Os polinômios de interpolação de Lagrange determinados por −1, 0 e 1 são:
L1(t) =
1
2
t(t− 1), L2(t) = −(t+ 1)(t− 1) e L3(t) =
1
2
t(t+ 1)
Portanto,
p(t) = p(−1)L1(t) + p(0)L2(t) + p(1)L3(t),
isto é,
p(t) = 2t2 − 2t+ 2
�
[3] Considere o operador T : P3(R) −→ P3(R) dado por
T(p(x)) = p ′′(x) + xp ′(x) − p(x)
Determine a matriz do operador T em relação à base canônica.
Solução. A base canônica de P3(R) é B = {1, x, x2, x3}. Como
• T(1) = −1
• T(x) = 0
• T(x2) = 2+ x2
• T(x3) = 6x+ 2x3
Portanto,
[T ]B =

−1 0 2 0
0 0 0 6
0 0 1 0
0 0 0 3

�
[4] Encontre a decomposição QR da matriz1 0 −11 1 0
1 1 1

Solução. 1 0 −11 1 0
1 1 1
 =
 1/
√
3 1/
√
3 1/
√
3
−
√
2/3 1/
√
6 1/
√
6
0 −1/
√
2 1/
√
2
 ·

√
3 2/
√
3 0
0
√
2/3 3/
√
6
0 0 1/
√
2

�
[5] Considere o espaço vetorial Mn(R) das matrizes reais de ordem n, munido do produto
interno 〈A,B〉 = tr (BtA), e o elemento U ∈ Mn(R) não-nulo. Definimos a aplicação
P :Mn(R) −→Mn(R) da seguinte forma:
P(A) =
〈U,A〉
〈U,U〉U
para todo A ∈Mn(R).
(a) Mostre que P é um operador linear sobre Mn(R).
Solução. Sejam A,B ∈Mn(R) e λ ∈ R arbitrários. Então
• P(A+ B) =
〈U,A+ B〉
〈U,U〉 U =
〈U,A〉
〈U,U〉U+
〈U,B〉
〈U,U〉U = P(A) + P(B)
• P(λA) =
〈U, λA〉
〈U,U〉 U = λ
〈U,A〉
〈U,U〉U = λP(A)
Portanto, P é linear. �
(b) Mostre que P(W) =W, com W = αU, para todo α ∈ R.
Solução. De fato:
P(W) = P(αU) = αP(U) = α
〈U,U〉
〈U,U〉U = αU =W
�
2
(c) Seja Q(A) = A− 2P(A). Mostre que Q(W) =W, para 〈U,W〉 = 0.
Solução. Suponha que W é ortogonal a U. Então P(W) = On (matriz nula) e
Q(W) =W − 2P(W) =W
�
(d) Dê uma interpretação geométrica para os operadores lineares P e Q.
Solução. Pelo item (a), P é a projeção ortogonal no subespaço [U] e, pelo item (c),
Q é a projeção ortogonal em [U]⊥. �
3