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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Toledo Curso: Engenharia Bioprocessos e Biotecnologia Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professora: Regiane Slongo Fagundes Lista 9 de Exercícios Conteúdo Abordado: Taxa de variação e taxas relacionadas 1) Se V for o volume de um cubo com aresta de comprimento x e à medida que o tempo passa o cubo se expande, encontre /dV dt em termos de /dx dt . R: 2/ 3 /dV dt x dx dt 2) (a) Se A for a área do círculo com raio r e à medida que o tempo passa o círculo se expande, encontre /dA dt em termos de /dr dt . (b) Suponha que o óleo sai por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um padrão circular. Se o raio do óleo derramado cresce a uma taxa constante de 1m/s, quão rápido a área do derramamento está crescendo quando o raio é igual a 30m? 3) Se 3 2y x x e / 5dx dt , encontre /dy dt quando x=2. R: 70 4) Se 2 2 25x y e / 6dy dt , encontre /dx dt quando y=4. 5) Se 2 2 , / 2 e / 3z x y dx dt dy dt , encontre /dz dt quando x=5 e y=12. R: 46 13 Nos exercício de 6 a 9, responda: (a) Quais são as grandezas dadas no problema? (b) Qual a grandeza desconhecida? (c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t. (d) Escreva uma equação que relacione as grandezas. (e) Termine resolvendo o problema. 6) Se uma bola de neve derrete de forma que a sua área de superfície decresce a uma taxa de 1cm 2 /min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro esta a 10cm. 7) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 15 pés. Um homem com 6 pés de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 5pés/s de acordo com uma trajetória reta. Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando ele está a 40 pés do poste? R: 25/3 pés 8) Ao meio dia, o navio A está a 150km a oeste do navio B. O navio A está navegando para leste a 35 km/h, e o navio B está navegando para norte a 25km/h. Quão rápido estará variando a distância entre os navios às 4 horas da tarde? 9) Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste a 25mi/h. A que taxa esta crescendo a distancia entre os carros duas horas depois? R: 65 mi/h 10) Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12m de distância dele. Se um homem de 2m de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6m/s, quão rápido decresce sua sombra sobre a parede quando ele está a 4m dela? 11) Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35km/h, e o B está indo para o norte a 25km/h. Quão rápido está variando a distância entre eles as 4 horas da tarde? R: 720 ~ 55,5 / 13 km h 12) Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min. Ao mesmo tempo está sendo bombeada a água para dentro do tanque a uma taxa constante de 6m de altura, e o diâmetro no topo é de 4m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água esta sendo bombeada dentro do tanque. R: (10.000 + 800.000 9 ) 13) Um cocho tem 10 pés de comprimento, e suas extremidades têm a forma de triângulos isósceles com 3 pés na base e 1 pé de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 12 pés 3 /min, quão rápido estará se elevando o nível da água quando ele estiver com 6 polegadas de profundidade? 14) Dois lados de um triangulo são 4m e 5m, e o ângulo entre eles esta crescendo a uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual está crescendo quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é de 3 . R: 0,5m 2 /s 15) Uma escada de 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base as escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2pés/s, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é de 4 rad? R: 2 / 5 rad s 16) Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre eles e o ponto mais próximo P em uma praia reta do continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1km de P? 17) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas onde t é medido em dias. (a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50 ? R: 54 gramas/dia (b) Quanto a ave aumentará no 5lº dia? R: 54,5 gramas (c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80 ? R: 24,4 gramas dia 18) A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm³ e volume v em cm³ estão relacionadas pela igualdade vp = c , onde c é constante. Achar a razão de variação do volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm³. R: 19) Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t 2 litros, determinar: (a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina; R: 6 horas (b) taxa média de escoamento no intervalo [ 2,5]; R: 1750 litros/h (c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. R: 10.000 litros/h 20) Um apartamento está alugado por R$ 4.500,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de R$ 1.550,00. (a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos. R: f(t) =4500 + 1550t (b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos. R: R$1.550,00 (c) Qual a porcentagem de variação do aluguel depois de 1 ano do primeiro reajuste? R: 25,6% (d) Que acontecerá à porcentagem de variação depois de alguns anos? R: '100. ( ) lim 0 ( )t f t f t 21) Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de 5 ( ) 20 1 p t t milhares (a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? R: 0,8 milhares de pessoas ano (b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês? R: 0,068965 milhares de pessoas 22) Seja r a raiz cúbica de um número real x . Encontre a taxa de variação de r em relação a x quando x for igual a 8. R: 1/12 23) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura. No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m 3 /h. Com que velocidade o nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio? R: x = 10π horas 24) Achar a razão de variação do volume v de um cubo em relação ao comprimento de sua diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação do volume quando a diagonal mede 3 m? R: 36 3 /m s 25) Uma usina de britagem produz pó de pedra, que, ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base. (a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. R: 24 3 r (b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m? R: 21,066 /cm s 26) Os lados de um triângulo eqüilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s. (a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de comprimento? R: 215 3 /cm s (b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de comprimento?R: 7,5cm/s 27) Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação. R: 18 unidades/min 28) Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra? R: 119,09 km/h 29) O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h . Determinar a taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone. R: 3 2 3V ua/uv 30) O custo total C(q) da produção de q unidades de um produto é dado por. 3 21( ) 5 10 120 2 C q q q q a) Qual é o custo fixo? R: 120 b) Qual é o custo marginal quando o nível de produção é q-20 unidades? R: 410 c) Determinar se existem os valores de q tais que o custo marginal é nulo. R: 5,44 e 1,2
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