Prova Teórica 1 de Cálculo Numérico 2016 2 (2)

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Joinville
Prova Teo´rica 1A - Ca´lculo Nume´rico - 2016/2 (001)
Nome:
Nota
Obs : O desenvolvimento das questo˜es e´ a parte central da avaliac¸a˜o, por este motivo exponha seus
ca´lculos de maneira clara e aponte os teoremas utilizados!
Questa˜o 1 - Demonstre que o erro absoluto na n-e´sima interac¸a˜o do me´todo da bissec¸a˜o obedece a` [1.5 pt]
relac¸a˜o:
EAn <
b− a
2n
R: Como a raiz (p) sempre esta´ localizada entre an e bn e pn e´ o ponto me´dio podemos afirmar que a
distaˆncia entre p e pn e´ inferior ao tamanho do intervalo divido por dois, ou seja,
EAn = |p− pn| ≤ bn − an
2
Como a cada passo o intevalo e´ segmentado em dois temos que:
b2 − a2 = b− a
2
b3 − a3 = b− a
4
b4 − a4 = b− a
8
bn − an = b− a
2n−1
Assim,
EAn ≤ bn − an
2
=
(b− a)/(2n−1)
2
=
b− a
2n
Questa˜o 2 - Explique o funcionamento do me´todo de Newton-Raphson e deduza a formula de iterac¸a˜o [2.0 pt]
do me´todo a partir da interpretac¸a˜o gra´fica.
R: O me´todo de Newton consiste em um me´todo nume´rico para determinar a raiz de uma func¸a˜o f(x)
onde raiz da func¸a˜o e´ aproximada pela ponto onde a reta tangente cruza o eixo das abcissas, conforme
figura abaixo:
Dado xn a aproximac¸a˜o para a raiz na iterac¸a˜o nos xn, podemos trac¸ar uma reta tangente a curva,
conforme mostrado na figura, e denotando xn+1 o ponto em que a reta cruza o eixo das abcissas notamos
que
tan θ = f ′(xn)
tan θ =
f(xn)− 0
xn+1 − xn
Assim,
f(xn)
xn − xn+1 = f
′(xn)
Por fim,
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
Questa˜o 3 - Obtenha a fo´rmula para o ca´lculo da i-e´sima varia´vel no processo de substituic¸a˜o regressiva. [1.5 pt]
R: Como o processo de substituic¸a˜o regressiva e´ aplicado a matrizes triangulares superiores, a i-e´sima
equac¸a˜o tera a forma:
ai,ixi + ai, i+ 1xi+1 + ai, i+ 2xi+2 + . . . ai,nxn = bi
Isolando a i-e´sima varia´vel teremos:
xi =
bi − (ai,i+1xi+1 + ai,i+2xi+2 + . . . ai,nxn)
ai,i
Logo
xi =
bi −
∑n
j=i+1 aijxj
aii
Questa˜o 4 - Some as afirmac¸o˜es corretas: [2.5 pt]
(01) Caso uma matriz [A] possa ser decomposta no produto [L][U ] enta˜o essa decomposic¸a˜o e´ unica.
(Falso).
Justificativa: Em geral existem infinitas decomposic¸o˜es do tipo [L][U ] tal que uma matriz [A] =
[L][U ]. Isto ocorre pois existem mais inco´gnitas (componentes na˜o nulas das matriz [L] e [U ]) do
que equac¸o˜es (uma para cada componente de [A]).
(02) Se uma matriz pode ser escalonada por eliminac¸a˜o gaussina sem pivotamento (sem troca de linha)
enta˜o esta possui uma decomposic¸a˜o [L][U ]. (Verdadeiro)
Justificativa: Tal afirmac¸a˜o e´ na realidade o teorema sobre a existeˆncia de decomposic¸a˜o LU.
(04) Para encontrar a soluc¸a˜o de um sistema triangular superior de tamanho (n× n) sa˜o realizadas da
ordem de n2 operac¸o˜es de ponto flutuante. (Verdadeiro)
Justificativa: Obtemos que a etapa de escalonamento requer da ordem de n3 operac¸o˜es mas a parte
da substituic¸a˜o regressiva so´ requer da ordem de n2 operac¸o˜es.
(08) Com base no teorema de convergeˆncia dos me´todos de Jacobi e Gauss-Seidel podemos afimar que
ambos os me´todos convergira˜o se aplicados ao sistema linear abaixo (Falso)
20 −4 −2 6 −7
6 22 5 −4 −4
4 −4 25 7 −5
−6 9 2 20 −9
0 9 3 3 18


x1
x2
x3
x4
x5
 =

1
2
0
−1
3

Justificativa: O Teorema garante a convergeˆncia do me´todo se a matriz for extritamente diagonal
dominante. Pore´m na u´ltima linha temos que |a55| < |a15|+ |a25|+ |a35|+ |a45|
(16) Seja um sistema [A]~x = ~b onde [A] e´ tringular inferior, enta˜o se a11 = 0 e b1 = 1 podemos afirmar
que o sistema e´ indeterminado. (Falso)
Justificativa: Nesta situac¸a˜o a primeira equac¸a˜o ficaria 0x1 = 1, que claramente na˜o tem soluc¸a˜o.
(32) No me´todo LU, o sistema linear [A]~x = ~b e´ convertido em dois sistemas triangulares. (Verdadeiro)
Justificativa: Este e´ o objetivo da decomposic¸a˜o, transformar o sistema original nos sistemas,
[L]~y = ~b (triangular inferior) e [U ]~x = ~y (triangular superior).
Questa˜o 5 - Some as afirmac¸o˜es corretas: [2.5 pt]
(01) Podemos afirmar que g(x) = 12 sin
(
pix
2
)
+ 14 possui um u´nico ponto fixo no intervalo (0, 1) e que a
aplicac¸a˜o da iterac¸a˜o do ponto fixo converge para qualquer chute po ∈ (0, 1) (Verdadeiro)
Justificativa: Temos que os valores de g(x) no intervalo (0, 1) esta˜o entre (1/2, 3/4) o que ja´ garante
a existeˆncia de pelo menos um ponto fixo no intervalo. Temos que |g′(x)| = pi4 | cos
(
pix
2
) | < 1,
cumprindo assim a exigeˆncia para existeˆcia de um u´nico ponto fixo no intervalo.
(02) Podemos afirmar que a func¸a˜o g(x) = x2f(x) + 2x e´ uma func¸a˜o auxiliar va´lida do problema de
raiz f(x) = 0. (Falso)
Justificativa: Seja x¯ = 0 um raiz de f(x), enta˜o f(x¯) = 0. Substituindo na func¸a˜o g(x) temos
g(x¯) = 2x¯, o que na˜o e´ um problema de ponto fixo.
(04) Para a func¸a˜o e estimativa inicial mostrados abaixo, podemos afirmar que o me´todo de Newton-
Raphson convergira´. (Falso)
(08) O nu´mero (0, 6)10 na˜o pode ser armazenado de forma exata em um ponto flutuante de 32 bits.
(Verdadeiro)
Justificativa: A conversa˜o resulta em uma dizima perio´dica.
2× 0, 6 = 1, 2
2× 0, 2 = 0, 4
2× 0, 4 = 0, 8
2× 0, 8 = 1, 6
2× 0, 6 = 1, 2
Logo (0, 6)10 = (0, 1001001001)2
(16) O nu´mero armazenado em ponto flutuante de 32 bits no formato IEEE-754 mostrado abaixo e´
(−3, 0)10. (Verdadeiro)
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Justificativa: Temos que
s = 1
c = (10000000)2 = (128)10
f = (0.10000000000000000000000)2 = (0.5)10
x = (−1)s2c−127(1 + f) = (−1)(2)(1 + 0.5) = −3
(32) Um dos aspectos negativos do me´todo da bissec¸a˜o e´ a instabilidade do me´todo. (Falso)
Justificativa: O me´todo da bisec¸a˜o e´ incondicionalmente esta´vel, ou seja, sempre converge.
(001)
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8
7
6
5
4
3
2
1
0
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Prova
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Q 04
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