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Questão 1/5 - Equações Diferenciais Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3 Nota: 20.0 A y=√4x39−2x+2c3y=4x39−2x+2c3 Você acertou! Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação e obter 3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos y=√4x93−2x+2c3y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema. B y=4x3−2xy=4x3−2x C y=x5−6y=x5−6 D y=3x+exy=3x+ex Questão 2/5 - Equações Diferenciais Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por (1+y)dy−xdx=0(1+y)dy−xdx=0. Nota: 20.0 A 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0 Você acertou! No método de solução para equações separáveis, basta integrar a expressão no formato padrão. Assim, após a integração obtemos y+y22−x22+c=0y+y22−x22+c=0. Multiplicando por 2 essa equação, temos 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0. B x+5y+xy=2x+5y+xy=2 C 2y+x2=32y+x2=3 D x2+y2=0x2+y2=0 y+y2−x2−3=0y+y2−x2−3=0 Questão 3/5 - Equações Diferenciais Seja a equação diferencial dydx=3x2ydydx=3x2y. Analise as setenças a seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as alternativas falsas: ( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação linear; ( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação não linear; ( ) Se dydx=3x2ydydx=3x2y, então y=ex3y=ex3 é uma solução para a equação. Agora, marque a sequência correta: Nota: 0.0 A V,F,V B F,V,V A afirmativa I é falsa e a II é verdadeira, pois dydx=3x2ydydx=3x2y possui o produto x² que é um termo não linear. A afirmativa III é verdadeira, pois ao derivarmos y=ex3y=ex3, temos dydx=3x2ex3dydx=3x2ex3 Como y=ex3y=ex3, podemos substituir esse valor no resultado dessa derivação. Assim teremos dydx=3x2ydydx=3x2y que é a equação diferencial apresentada no problema. C V,F,F D F,V,F Questão 4/5 - Equações Diferenciais Encontre uma solução geral para a equação diferencial y′+5y=t3e−5ty′+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores integrantes. Nota: 20.0 A y=x+lnxy=x+lnx B y=ex+cy=ex+c C y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c D y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t Você acertou! Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t. Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema. Questão 5/5 - Equações Diferenciais Para modelar uma equação diferencial de crescimento de uma população P que cresce a uma taxa proporcional à população inicial, podemos utilizar a equação dPdt=kPdPdt=kP, onde k é uma constante de proporcionalidade. Como estamos falando do crescimento da população, analise as setenças a seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as alternativas falsas: ( ) k>0k>0 ( ) dPdt<0dPdt<0 ( ) dPdt>0dPdt>0 Agora, marque a sequência correta: Nota: 20.0 A F,F,F B F,F,V C V,F,V Você acertou! Afirmativas I e III são verdadeiras, pois o modelo trata de uma taxa de crescimento da população P. D F,V,V Questão 1/5 - Equações Diferenciais Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução de y′−12y=4y′−12y=4 no ponto inicial y(0)=1y(0)=1 Nota: 20.0 A y=tet−ty=tet−t B y=e−2t+2ety=e−2t+2et C y=−13+4e12t3y=−13+4e12t3 Você acertou! D y=(1−t)ety=(1−t)et Questão 2/5 - Equações Diferenciais Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como solução y1=x3y1=x3. Nota: 20.0 A y′′+1=0y″+1=0 Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos: 6x+1=06x+1=0 Essa igualdade não é verdadeira. B xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0 Você acertou! Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0, temos: x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira, pois os cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero. C y′′′=0y‴=0 Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em y′′′=0y‴=0, temos: 6=06=0 Essa igualdade não é verdadeira. D y′′′+y′=0y‴+y′=0 Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y‴+y′=0, temos: 6+3x2=06+3x2=0 Essa igualdade não é verdadeira. Questão 3/5 - Equações Diferenciais Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral de y′−5y=−25xy′−5y=−25x Nota: 20.0 A y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x Você acertou! Como temos 1 multiplicando y' e P(x)=−5P(x)=−5, podemos utilizar a fórmula μ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)= e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)= e∫P(x)dx=e∫−5dx Assim, temos que (e−5xy)′=−25xe−5x(e−5xy)′=−25xe−5x integrando em x e−5xy=−25∫xe−5xe−5xy=−25∫xe−5x que após a integração por partes, temos e−5xy=e−5x(5x+1)+Ce−5xy=e−5x(5x+1)+C isolando y y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x B y=5ex+Cy=5ex+C C y=e−5Cy=e−5C D y=C−25exy=C−25ex Questão 4/5 - Equações Diferenciais Utilize a integração direta para encontrar a solução geral de y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) Nota: 20.0 A y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C B y=2x−cos(x)y=2x−cos(x) C y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C y=x33+sen(x)+C Você acertou! Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C D y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x) Questão 5/5 - Equações Diferenciais Utilize o método dos fatores integrantes para calcular z′+z=0z′+z=0 no ponto inicial z(0)=1z(0)=1 Nota: 20.0 A z=−etz=−et B z=e2tz=e2t C z=et2z=et2 D z=e−tz=e−t Você acertou! Após identificar p(t)=1p(t)=1, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, μ(t)=e∫1dt=etμ(t)=e∫1dt=et. Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos ddt[et.z]=et.0ddt[et.z]=et.0. Integrando essa expressão e isolando z, temos z=ce−tz=ce−t que é a solução geral para o problema. Para obter a solução particular, substituímos a condição inicial z(0)=1z(0)=1, ou seja: 1=ce−01=ce−0 que resulta em c=1c=1 e podemos escrever a solução particular z=e−tz=e−t Questão 1/5 - Equações Diferenciais Obtenha uma solução geral. Nota: 20.0 A y(t)=C1e−2t+C2e4ty(t)=C1e−2t+C2e4t B y(t)=C1e2t−C2e−4ty(t)=C1e2t−C2e−4t C y(t)=C1e2+C2e−4y(t)=C1e2+C2e−4 D y(t)=C1e2t+C2e−4ty(t)=C1e2t+C2e−4t Você acertou! Se Questão 2/5 - Equações Diferenciais Encontre a equação característica de e obtenha a solução geral da EDO Nota: 0.0 A y(t)=(C1+tC2)e2ty(t)=(C1+tC2)e2t B y(t)=(C1+tC2)e−2ty(t)=(C1+tC2)e−2t a solução geral para o caso de raízes repetidas é dada pela equação C y(t)=(C1+C2)e−2ty(t)=(C1+C2)e−2t D y(t)=(C1+tC2)ety(t)=(C1+tC2)et Questão 3/5 - Equações Diferenciais Encontre a equação característica de e obtenha a solução geral da EDO. Nota: 0.0 A y(t)=C1cost+C2senty(t)=C1cost+C2sent substituindo na equação geral temos B y(t)=C1cost−C2senty(t)=C1cost−C2sent C y(t)=C1cos2t+C2senty(t)=C1cos2t+C2sent D y(t)=C1cost+C2sen2ty(t)=C1cost+C2sen2t Questão 4/5 - Equações Diferenciais Seja a Equação Diferencial dada por: d3ydt3−d2ydt2−2dydt=0d3ydt3−d2ydt2−2dydt=0 encontre sua solução geral. Nota: 0.0 A y(t)=C1+C2e−t+C3e2ty(t)=C1+C2e−t+C3e2t B y(t)=C1e−t+C2e2ty(t)=C1e−t+C2e2t C y(t)=C1+C2e−ty(t)=C1+C2e−t D y(t)=C1+C2e−t+C3e2t+C4ty(t)=C1+C2e−t+C3e2t+C4tQuestão 5/5 - Equações Diferenciais Encontre a solução geral de y′′4−4y′+25y=0y″4−4y′+25y=0 Nota: 0.0 A y=e8t(c1cos(6t)+c2sen(6t))y=e8t(c1cos(6t)+c2sen(6t)) B y=e8tc1cos(6t)y=e8tc1cos(6t) C y=e8tc1sen(6t)y=e8tc1sen(6t) D y=c1cos(6t)+c2sen(6t)y=c1cos(6t)+c2sen(6t) Questão 1/5 - Equações Diferenciais Seja a função: Nota: 20.0 A y=c1ex/5+c2−x2 B y=c1ex/5+c2−2x2−20 Você acertou! C y=c1ex/5+c2−2x2+4 D y=c_1e^{x/5}+c_2-4x^2 Questão 2/5 - Equações Diferenciais Seja a função: Nota: 20.0 A B Você acertou! C D Questão 3/5 - Equações Diferenciais Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo {y+z′=cosx+senxy′+z=cosx−senx Encontre a solução geral para y(x) e para z(x) Nota: 20.0 A y(x)=cosx+senx−c1ex+c2e−x z(x)=c1ex+c2e−x Você acertou! B y(x)=cosx+senx z(x)=c1ex+c2e−x C y(x)=c1ex+c2e−x z(x)=cosx+senx D y(x)=cosx+senx−c1ex z(x)=c2e−x Questão 4/5 - Equações Diferenciais Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo {2y′+z′−4y−z=0y′+3y+z=0 Encontre a solução geral para y(x). Isole y' na segunda equação e substitua o valor encontrado na primeira, para obter uma expressão em z'. Resolva o sistema formado pelo y' e z' encontrados. Nesse novo sistema, a dica é derivar a primeira equação. Nota: 0.0 A y(x)=c1cosx+c2senx B y(x)=c1cosx−c2senx C y(x)=c1cos2x+c2sen2x D y(x)=c1cos(x/2)+c2sen(x/2) Questão 5/5 - Equações Diferenciais Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo {y″−2z′−y=0y′−z″−2z=0 Encontre a solução geral para z(x) Dica: multiplique a primeira equação por D e a segunda por (D2−1) Nota: 20.0 A z(x)=c1e√2x+c2cosx+c3senx B z(x)=c1e√2x+c2e−√2x+c3cosx+c4senx Você acertou! C z(x)=c1e√2x+c2senx D z(x)=c1e−√2x+c3cosx+c4senx
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