AulaTeorica 5 Definição Derivada

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1 
 
 
Derivada 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
 
Eng. Mecatrônica e Eng. Naval 
Prof. Victor Simões Barbosa 
2 
Conteúdos da Aula 
 A Reta Tangente; 
 A Derivada de uma Função num Ponto; 
 A Derivada de uma Função; 
 Continuidade de Funções Deriváveis; 
 Derivadas Laterais 
3 
A Reta Tangente 
Vamos definir a inclinação de uma curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , para em 
seguida encontrar a equação da reta tangente a curva num ponto 
dado. 
Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 uma curva definida no 
intervalo (𝑎, 𝑏); 
 
Sejam 𝑃(𝑥1, 𝑦1) e Q(𝑥2, 𝑦2) dois pontos 
distintos da curva; 
 
Seja 𝑠 a reta secante que passa pelos 
ponto 𝑃 e 𝑄. 
4 
A Reta Tangente 
 Considerando o triângulo retângulo PMQ, temos que a 
inclinação da reta 𝑠 é dada por 12
12tg
xx
yy
x
y






5 
A Reta Tangente 
 Considere que P está fixo; 
 
 Considere que Q move-se da direita para a esquerda sobre a 
curva. 
 
6 
A Reta Tangente 
 O que acontece com a inclinação da reta secante s? 
 
 A inclinação da reta 𝑠 variará. 
 
A medida que 𝑄 vai se 
aproximando cada vez mais de 
𝑃, a inclinação da secante 
varia cada vez menos, 
tendendo para um valor limite 
constante. 
7 
A Reta Tangente 
,limlim)(
12
12
1
xx
yy
x
y
xm
PQPQ 






O valor limite descrito acima é chamado inclinação da reta 
tangente no ponto 𝑃(𝑥1, 𝑦1), ou também inclinação da 
curva em 𝑃. 
 
onde Q 𝑥2, 𝑦2 . 
8 
A Reta Tangente 
 Definição (Inclinação da Reta Tangente): 
 Dada uma curva y = f(x), seja P(x1, y1) um ponto sobre 
ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é 
dada por: 
,
)()(
limlim)(
12
12
1
12 xx
xfxf
x
y
xm
xxPQ 






quando o limite existe, onde Q 𝑥2, 𝑦2 . 
Fazendo 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥, podemos reescrever o limite acima 
como 
x
xfxxf
xm
x 



)()(
lim)( 11
0
1
9 
 Definição (Equação da Reta Tangente): 
 Se a função f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à 
curva y = f(x) em P(x1, f(x1)) é: 
 (𝑖) A reta que passa por 𝑃 e tem inclinação 
 
 
 
))(()( 111 xxxmxfy 
,
)()(
lim)( 11
0
1
x
xfxxf
xm
x 



Neste caso temos: 
se o limite for finito. 
𝑓(𝑥1) 
𝑥1 
))(()( 111 xxxmxfy 
10 
 (𝑖𝑖) A reta vertical de equação 𝑥 = 𝑥1 se x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
for infinito. 
𝑥1 
𝑥 = 𝑥1 
𝑓(𝑥1) 
11 
Exemplo 1 
 Encontre a inclinação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
no ponto (x1, y1), em seguida apresente a equação da reta 
tangente que passa pelo ponto (3,4). 
12)( 2  xxxfy
x
xfxxf
xm
x 



)()(
lim)( 11
0
1
 Resolução: 
?)( 1 xf
Ponto de partida 
O que calcular? 
?)( 1  xxf
Objetivo? 
?)( 1 xm
? 
12 
x
xfxxf
xm
x 



)()(
lim)( 11
0
1
12)( 1
2
11  xxxf
Escrevendo 
Substituindo em 
? 
  12)()( 1
2
11  xxxxxxf 122)(2 1
2
1
2
1  xxxxxx
12)( 2  xxxf
13 
x
xxxxxxxx
xm
x 



)12(122)(2
lim)( 1
2
11
2
1
2
1
0
1
x
xxxx
xm
x 



2)(2
lim)(
2
1
0
1
Simplificando 
x
xxx
xm
x 



)22(
lim)( 1
0
1
ou 
12)( 2  xxxf
14 
Tomando o limite 
22)(22lim)( 111
0
1 

xxmxxxm
x
12)( 2  xxxf
tgm
x
xxm



423.2)3(
:3 Se
22)(
: tangentereta da Inclinação
1
11
84ou 
)3.(44
)()3()(
 : tangentereta da Equação
11



xy
xy
xxmxfy
15 
A Derivada de uma Função 
num Ponto 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)( 11
0
1
'
se o limite existe e é finito. 
Também podemos escrever: 
A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por 
f´(x1), é definida pelo limite: 
 
Mudança de variável 𝑥 = 𝑥1 + ∆𝑥 
1
1
1
' )()(lim)(
1 xx
xfxf
xf
xx 



16 
Observação: 
Como vimos anteriormente este limite nos dá a inclinação 
da reta tangente a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ponto 𝑥1, 𝑓 𝑥1 . 
Portanto, geometricamente a derivada da função 
𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥1, representa a inclinação da curva 
neste ponto, ou seja, 
𝑓′ 𝑥1 = 𝑚 𝑥1 , 
quando 𝑚(𝑥1) é finito. 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
17 
A Derivada de uma Função 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(
0
'
 Função derivável: 
 “Quando existe a derivada em todos os pontos de seu 
domínio” 
se o limite existir e for finito. 
A derivada de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é a função 
denotada por 𝑓′(𝑥), tal que seu valor em qualquer 
𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) é dado por: 
 
18 
 Diferentes notações: 
  ; a relação em derivada se-lê)((i) xxfxfDx 
A Derivada de uma Função ; a relação em de derivada se-lê(ii) xyyDx 
; a relação em de derivada se-lê(iii) xy
dx
dy

; de linha se-lê(iv) ' xyy 
xfxf de linha se-lê)((v) ' 
19 
Exemplo 2 
 (i) Encontre f´(2) para 
165)( 2  xxxf
x
xfxxf
xf
x 



)()(
)(
' 11
0
1 lim
 Resolução: 
(i) Ponto de partida 
Para 𝑥1 = 2 dado: 
x
fxf
f
x 



)2()2(
lim)2(
0
'
(ii) Dada 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+3
, encontre 𝑓´ 𝑥 . 
20 
x
xx
f
x 



)()()(' 1262512625lim)2(
22
0
x
xxx
f
x 



1220612)(52020
lim)2(
2
0
'
x
xx
x
xx
f
xx 






)526(
lim
)(526
lim)2(
0
2
0
'
  26526lim2
0


xf
x
)(
'
165)( 2  xxxf
21 
22 
Continuidade de Funções Deriváveis 
 Se f(x) é contínua em x1 não implica a existência de 
f'(x1). A recíproca porém é verdadeira, como mostra 
teorema. 
 Teorema: 
Toda função derivável num ponto x1 é contínua 
nesse ponto. 
 Definição: 
 Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada 
à direita de f em x1 é definida por: 
 
 
 
 
 
 caso o limite exista e é finito. 
23 
Derivadas Laterais 
1
1
11
0
1
'
)()(
lim
)()(
lim)(
1 xx
xfxf
x
xfxxf
xf
xx
x











24 
Derivadas Laterais 
 Definição: 
 Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada 
à esquerda de f em x1 é definida por: 
 
 
 
 
 
 caso o limite exista e é finito. 
1
1
11
0
1
'
)()(
lim
)()(
lim)(
1 xx
xfxf
x
xfxxf
xf
xx
x











25 
Derivadas Laterais 
 Importante: 
 Uma função é derivável em um ponto, quando as 
derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são 
iguais. 
 Se forem diferentes, dizemos que este é um ponto 
anguloso do gráfico da função. 
26 
Exemplo 5: 
 Seja f a função definida por: 
2. em derivável é seVerificar c)
2. em contínua é queMostrar b)
. de gráfico oEsboçar a)
2 se ,7
2 se ,13
)(
f
f
f
 xx
 x x
xf






a) 
27 
Exemplo 5: 
 Resolução: b) 
.2 em contínua é Logo
.5)2()(lim finalmente E iii)
5)(lim Logo, 
5)12.3()13(lim)(lim 
 e 5)27()7(lim)(lim ii)
5)2( i)
2
2
22
22












xf
fxfxf
xxf
xxf
f
x
x
xx
xx






2 se ,7
2 se ,13
)(
 xx
 x x
xf
28 
Exemplo 5: 
x
xfxxf
xf
x 




)()(
)(
' 11
0
1 lim
x
xfxxf
xf
x 




)()(
)(
' 11
0
1 lim
   
laterais. derivadas de definições as Usar :Dica
.2 e 2Encontrar '' ff 
 Resolução: c) 






2 se ,7
2 se ,13
)(
 xx
 x x
xf
29 
Exemplo 5: x
fxf
f
x 




)2()2(
lim)2(
0
'
x
fxf
f
x 




)2()2(
lim)2(
0
'
x
x
x 



5)2(7
lim
0x
x
x 


 0
lim
3)3(lim
0

x
x
x
x 



51)2(3
lim
0x
x
x 



3
lim
01)1(lim0  x
 Como 𝑓+
′ (2) ≠ 𝑓−
′(2), segue que a função 𝑓(𝑥) não é 
derivável em 𝑥1 = 2. 
 Logo 𝑥1 = 2 é um ponto anguloso de 𝑓 𝑥 . 






2 se ,7
2 se ,13
)(
 xx
 x x
xf