AP2 2017.2 MDII Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 de Me´todos Determin´ısticos II – 28/10/2017
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x−1
x2 . Calcule o dom´ınio e as suas assintotas.
Soluc¸a˜o: Para que uma func¸a˜o racional fac¸a sentido, precisamos que o denominador seja diferente
de zero, logo, x2 ̸= 0⇒ x ̸= 0. Portanto, D(f) = {x ∈ R : x ̸= 0}. Quanto a`s assintotas, o ponto
x = 0 e´ um candidato a ser assintota vertical. Para ter certeza vamos calcular os limites abaixo:
lim
x→0−
x− 1
x2
= −∞ e lim
x→0+
x− 1
x2
= −∞.
lim
x→±∞
x− 1
x2
= lim
x→±∞
(
x
x
)(1− 1/x
x
)
= 0
Portanto, x = 0 e´ uma assintota horizontal e y = 0 e´ a assintota vertical.
Questa˜o 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: Derivando obtemos que
f ′(x) = 2− x
x3
e f ′′(x) = 2(x− 3)
x4
.
Veja que o sinal da f ′(x) depende de 2−x e x3, ja´ o sinal de f ′′ depende somente de x−3. Portanto,
f ′(x) > 0 se 0 < x < 2, nos outros valores ela assume valores negativo. Ja´ f ′′(x) < 0 se x < 3 e
nos outros valores f ′′(x) e´ positiva.
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de
f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Inicie marcando as assintotas x = 0 e y = 0. No intervalo (−∞, 0) a f ′(x) e f ′′(x) sa˜o
negativas. Portanto, a boca e´ voltada para baixo, e a func¸a˜o e´ sempre decrescente. Levando em
considerac¸a˜o os limites podemos fazer esta porc¸a˜o do gra´fico.
Quando x > 0 precisamos marcar os pontos x = 2 e x = 3 sobre o eixo dos x. Veja que a func¸a˜o
tem boca voltada para baixo para 0 < x < 3 e e´ crescente quando 0 < x < 2. Portanto, levando
em considerac¸a˜o que f(2) = 14 e os limites tambe´m podemos fazer esta parte do gra´fico.
Nome da Disciplina AP1 2
Questa˜o 4[2,4pts] Encontre a quantidade q a qual maximiza o retorno se a receita, R(q), e o custo
total, C(q), sa˜o dadas em reais por
R(q) = 5q − 0, 003q2, C(q) = 300 + 1, 1q
onde 0 ≤ q ≤ 800 unidades. Qual o n´ıvel de produc¸a˜o que da´ o menor retorno.
Soluc¸a˜o: E´ sabido que para maximizar o n´ıvel de produc¸a˜o tem que ocorrer R′(q) = C ′(q), isto e´,
a receita marginal = ao custo marginal. Resolvendo obtemos
5− 0, 006q = 1, 1⇔ q = 3, 90, 006 = 650 unidades.
Se produzirmos e vendermos esta quantidade obtemos de lucro L(650) = R(650)−C(650) = 967, 50
reais.
Para terminarmos precisamos checar o que acontece com os extremos. Avaliando em q = 0 e
q = 800, obtemos L(0) = −300 e L(800) = 900. Portanto, o ma´ximo so´ e´ atingido realmente ao
produzir 650 unidades. O menor retorno ocorre quando q = 0, ou seja, quando na˜o ha´ produc¸a˜o
nenhuma.
Questa˜o 5 [1,8pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas retas y = x2, y =
√
x, e calcule a
sua a´rea.
Soluc¸a˜o: Observe que ao procurarmos os valores de x onde os gra´ficos se interceptam encontramos:
x2 =
√
x ⇔ x4 − x = x(x3 − 1) = 0. O que nos leva a x = 0 e x = 1. Ao fazermos o gra´fico
obtemos
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Nome da Disciplina AP1 3
logo para calcular a a´rea precisamos fazer
∫ 1
0
√
x− x2 dx =
[
2x3/2
3 −
x3
3
]1
0
= 13 .
Questa˜o 6 [1,8pt] Calcule a derivada de h(t) = ln
(
3t+
√
1 + 9t2
)
.
Soluc¸a˜o: Derivando
h′(t) =
3 + 18t2√9t2+1
3t+
√
9t2 + 1
=
6
√
9t2+1+18t
2
√
9t2+1
3t+
√
9t2 + 1
=
6(3t+√9t2+1)
2
√
9t2+1
3t+
√
9t2 + 1
= 3√
9t2 + 1
.
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